Geschicktes Umformen kann dir hier das Ableiten erleichtern.

$f(x)=\sqrt{4x}\cdot \sqrt{x}f(x)=\backslash sqrt\{4x\}\backslash cdot\backslash sqrt\; x$

Schreibe $44$ als $2^{2}2^2$.

$\phantom{f(x)}=\sqrt{2^2\cdot x}\cdot \sqrt{x}\backslash phantom\{f(x)\}=\backslash sqrt\{2^2\backslash cdot\; x\}\backslash cdot\backslash sqrt\; x$

Ziehe $2^{2}2^2$ als $22$ aus der Wurzel.

$\phantom{f(x)}=2\cdot \sqrt{x}\cdot \sqrt{x}\backslash phantom\{f(x)\}=2\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\; x\}\backslash cdot\backslash sqrt\; x$

$\phantom{f(x)}=2\cdot x\backslash phantom\{f(x)\}=2\backslash cdot\; x$

Fasse $\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}\backslash sqrt\{\; x\}\backslash cdot\backslash sqrt\; x$ mit Hilfe der Wurzelgesetze zur Multiplikation von Wurzeln zusammen.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2f\text{'}(x)=2$

Die gesuchte Ableitung ist also $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2f\text{'}(x)=2$.

Geschicktes Umformen kann dir hier das Ableiten erleichtern.

Nutze hierfür die Wurzelgesetze zur Addition von Wurzeln und fasse die Terme zusammen.

$g(t)=4\sqrt{t}+5\sqrt{t}-3\sqrt{t}-2\sqrt{t}g(t)=4\backslash sqrt\; t+5\backslash sqrt\; t\; -\; 3\backslash sqrt\; t-2\backslash sqrt\; t$

$\phantom{g(t)}=(4+5-3-2)\sqrt{t}\backslash phantom\{g(t)\}=(4+5-3-2)\backslash sqrt\; t$

$\phantom{g(t)}=4\sqrt{t}\backslash phantom\{g(t)\}=4\backslash sqrt\; t$

$\phantom{g(t)}=4t^{\frac{1}{2}}\backslash phantom\{g(t)\}=4\; t^\{\backslash frac12\}$

Benutze die Potenzgesetze für Wurzeln.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$g^{\mathrm{\prime }}(t)=4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^{-\frac{1}{2}}=2t^{-\frac{1}{2}}g\text{'}(t)=4\backslash cdot\; \backslash dfrac12\; t^\{-\backslash frac12\}=2\; t^\{-\backslash frac12\}$

Die gesuchte Ableitung ist also:

$g^{\mathrm{\prime }}(t)=2t^{-\frac{1}{2}}g\text{'}(t)=2t^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\}$

Wenn du möchtest, kannst du die Ableitung nun auch wieder in eine Schreibweise mit Wurzel umformen:

$g^{\mathrm{\prime }}(t)=2\cdot t^{-\frac{1}{2}}g\text{'}(t)=2\backslash cdot\; t^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\}$

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(t)}=2\cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\backslash phantom\{g\text{'}(t)\}=2\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{t^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}$

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(t)}=2\cdot \frac{1}{\sqrt{t}}\backslash phantom\{g\text{'}(t)\}=2\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\; t\}$

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(t)}=\frac{2}{\sqrt{t}}\backslash phantom\{g\text{'}(t)\}=\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\; t\}$