Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Leite die Funktion zunächst mit der Produkt- und Kettenregel ab und dann mit der Quotientenregel.

$\displaystyle f(x) =\frac{2x^3-5}{3x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

Bilde die Ableitung mit der Produktregel und der Kettenregel.

$f(x)=\frac{2x^3-5}{3x}=\frac{u(x)}{v(x)}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2x^2\ -\ 5}{3x}$
	↓	Ursprungsfunktion
$\displaystyle u\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^3-5$
	↓	Zähler der Ursprungsfunktion:
$\displaystyle u´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 6x^2$
	↓	Ableitung des Zählers
$\displaystyle v\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x$
	↓	Nenner der Ursprungsfunktion
$\displaystyle v´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Ableitung des Nenners

$f(x)=\dfrac{\color{#ff6600}{u(x)}}{\color{#009999}{v(x)}}=\dfrac{\color{#ff6600}{2x^3-5}}{\color{#009999}{3x}}$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle (\color{#ff6600}{2x^3-5})\cdot (\color{#009999}{3x})^{-1}$
	↓	Bilde nun mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel die Ableitung von $f(x)$ .
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \color{#ff6600}{u'(x)}\cdot (\color{#009999}{v(x)})^{-1}+\color{#ff6600}{u(x)}\cdot (-1)\cdot (\color{#009999}{v(x)})^{-2}\cdot \color{#009999}{v'(x)}$
	↓	Setze ein
	$=$	$\displaystyle \color{#ff6600}{6x^2}\cdot (\color{#009999}{3x})^{-1}+(\color{#ff6600}{2x^3-5})\cdot (-1)\cdot (\color{#009999}{3x})^{-2}\cdot \color{#009999}{3}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#ff6600}{6x^2}}{\color{#009999}{3x}}+\dfrac{(\color{#ff6600}{2x^3-5})\cdot (-1)\cdot \color{#009999}{3}}{(\color{#009999}{3x})^2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#ff6600}{6x^2}}{\color{#009999}{3x}}+\dfrac{(\color{#ff6600}{2x^3-5})\cdot (-1)\cdot \color{#009999}{3}}{\color{#009999}{3\cdot 3x^2 }}$
	↓	Kürze den 2. Bruch mit dem Faktor 3.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#ff6600}{6x^2}}{\color{#009999}{3x}}+\dfrac{(\color{#ff6600}{2x^3-5})\cdot (-1)}{\color{#009999}{ 3x^2 }}$
	↓	Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6x^3+(2x^3-5)\cdot (-1)}{3x^2}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4x^3+5}{3x^2}$

Die Ableitung von $f(x)$ ist $f'(x)=\dfrac{4x^3+5}{3x^2}$ .

Bilde die Ableitung mit der Quotientenregel.

$f(x)=\dfrac{2x^3-5}{3x}=\dfrac{u(x)}{v(x)}$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{2x^2-5}{3x}$
	↓	Ursprungsfunktion
$\displaystyle u\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^3-5$
	↓	Zähler der Ursprungsfunktion
$\displaystyle u´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 6x^2$
	↓	Ableitung des Zählers
$\displaystyle v\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x$
	↓	Nenner der Ursprungsfunktion
$\displaystyle v´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Ableitung des Nenners

Bilde nun die Ableitung von $f(x)$ , indem du deine Ergebnisse in die Quotientenregel einsetzt.

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#009999}{v(x)} \cdot \color{#ff6600}{u'(x)}- \color{#ff6600}{u(x)} \cdot \color{#009999}{v'(x)}}{(\color{#009999}{v(x)})^2}$
	↓	Setze ein
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#009999}{3x} \cdot \color{#ff6600}{6x^2} - (\color{#ff6600}{2x^3-5}) \cdot \color{#009999}{3}}{(\color{#009999}{3x})^2}$
	↓	Verrechne die Faktoren $3x$ und $6x^2$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{18x^3-(2x^3-5) \cdot 3}{(3x)^2}$
	↓	Multipliziere die $3$ in die Klammer
	$=$	$\displaystyle \dfrac{18x^3-(6x^3+15)}{(3x)^2}$
	↓	Löse die Klammern auf
	$=$	$\displaystyle \dfrac{ 18x^3-6x^3+15}{9x^2}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen
	$=$	$\displaystyle \dfrac{ 12x^3+15}{9x^2}$
	↓	Klammere den Faktor $\color{#ff6600}3$ im Zähler und im Nenner aus
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\color{#ff6600}3\cdot(4x^3+5)}{\color{#ff6600}3\cdot 3\cdot x^2}$
	↓	Kürze mit den Bruch mit $3$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4x^3+5}{3x^2}$

Die Ableitung von $f(x)$ ist $f'(x)=\dfrac{4x^3+5}{3x^2}$ .

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