Aufgaben zum Einfluss der Parameter a, b und c auf die Parabel

Betrachtet werden quadratische Funktionen, bei denen die Funktionsgleichung in der allgemeinen Form $f(x)=a\cdot x^2+b \cdot x +c$ gegeben ist.

Wie verschiebt sich der Funktionsgraph $G_f$ der Funktion $f(x)=2\cdot x^2+8 \cdot x +4$ , wenn der Parameter $b$ um 1 erhöht bzw. um 1 reduziert wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel

Die Ausgangsfunktion lautet: $f(x)=2\cdot x^2+8 \cdot x +4$ .

Der Graph $G_f$ ist eine Parabel und in der Abbildung $\textcolor{006400}{\text{grün}}$ gezeichnet.

Bei dieser Funktion hat der Parameter $b$ den Wert $8$ .

Erhöhst du den Parameter $b$ um 1, so lautet nun die Funktionsgleichung $g(x)=2\cdot x^2+9 \cdot x +4$ .

Der Graph $G_g$ ist in der Abbildung $\textcolor{cc0000}{\text{rot}}$ gezeichnet.

Reduzierst du den Parameter $b$ um 1, so lautet nun die Funktionsgleichung $h(x)=2\cdot x^2+7 \cdot x +4$ .

Der Graph $G_h$ ist in der Abbildung $\textcolor{660099}{\text{violett}}$ gezeichnet.

Lageuntersuchung der 3 Parabeln

Maßgeblich für die Lage im Koordinatensystem ist der Scheitelpunkt der Parabel. Um die Auswirkungen der Veränderung des Parameters $b$ feststellen zu können, musst du die Scheitelpunkte der $3$ Parabeln berechnen.

Scheitelpunktsberechnung für $f(x)$ :

Wandle die gegebene allgemeine Form $f(x)=2\cdot x^2+8 \cdot x +4$ in die Scheitelform um und lies den Scheitelpunkt ab.

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot x^2+8 \cdot x +4$
	↓	2 ausklammern
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(x^2+4x+2\right)$
	↓	quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(x^2+4x+4-4+2\right)$
	↓	die ersten 3 Terme in der Klammer mit binomischer Formel zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left((x+2)^2-4+2\right)$
	↓	die letzten beiden Terme in der Klammer zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left((x+2)^2-2\right)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle 2\cdot(x+2)^2-4$

Der Scheitelpunkt des Funktionsgraphen $G_f$ $\textcolor{006400}{\text{(grüne Parabel)}}$ lautet: $S_f\left(-2\vert -4\right)$

Scheitelpunktsberechnung für $g(x)$ :

Die allgemeine Form $g(x)=2\cdot x^2+9 \cdot x +4$ wird in die Scheitelform umgewandelt und der Scheitelpunkt wird abgelesen.

$\displaystyle g(x)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot x^2+9 \cdot x +4$
	↓	2 ausklammern
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(x^2+4{,}5x+2\right)$
	↓	quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(x^2+4{,}5x+2{,}25^2-2{,}25^2+2\right)$
	↓	die ersten 3 Terme in der Klammer mit binomischer Formel zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left((x+2{,}25)^2-5{,}0625+2\right)$
	↓	die letzten beiden Terme in der Klammer zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left((x+2{,}25)^2-3{,}0625\right)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle 2\cdot(x+2{,}25)^2-6{,}125$

Der Scheitelpunkt des Funktionsgraphen $G_g$ $\textcolor{cc0000}{\text{(rote Parabel)}}$ lautet: $S_g\left(-2{,}25\vert -6{,}125\right)$

Ergebnis: Wird $b$ um $1$ erhöht, so verschiebt sich der Scheitelpunkt der $\textcolor{cc0000}{\text{roten Parabel}}$ $S_g\left(-2{,}25\vert -6{,}125\right)$ im Vergleich zum Scheitelpunkt der $\textcolor{006400}{\text{grünen Parabel}}$ $S_f\left(-2\vert -4\right)$ .

In x-Richtung ist die $\textcolor{cc0000}{\text{rote Parabel}}$ ist im Vergleich zur $\textcolor{006400}{\text{grünen Parabel}}$ um $-0{,}25$ (d.h. nach links) verschoben.

In y-Richtung ist die $\textcolor{cc0000}{\text{roten Parabel}}$ im Vergleich zur $\textcolor{006400}{\text{grünen Parabel}}$ um $-2{,}125$ (d.h. nach unten) verschoben.

Scheitelpunktsberechnung für $h(x)$ :

Die allgemeine Form $h(x)=2\cdot x^2+7 \cdot x +4$ wird in die Scheitelform umgewandelt und der Scheitelpunkt wird abgelesen.

$\displaystyle h(x)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot x^2+7 \cdot x +4$
	↓	2 ausklammern
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(x^2+3{,}5x+2\right)$
	↓	quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(x^2+3{,}5x+1{,}75^2-1{,}75^2+2\right)$
	↓	die ersten 3 Terme in der Klammer mit binomischer Formel zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left((x+1{,}75)^2-3{,}0625+2\right)$
	↓	die letzten beiden Terme in der Klammer zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left((x+1{,}75)^2-1{,}0625\right)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle 2\cdot(x+1{,}75)^2-2{,}125$

Der Scheitelpunkt des Funktionsgraphen $G_h$ $\textcolor{660099}{\text{(violette Parabel)}}$ lautet: $S_h\left(-1{,}75\vert -2{,}125\right)$

Ergebnis: Wird $b$ um $1$ reduziert, so verschiebt sich der Scheitelpunkt der $\textcolor{660099}{\text{violetten Parabel}}$ $S_h\left(-1{,}75\vert -2{,}125\right)$ im Vergleich zum Scheitelpunkt der $\textcolor{006400}{\text{grünen Parabel}}$ $S_f\left(-2\vert -4\right)$ .

In x-Richtung ist die $\textcolor{660099}{\text{violette Parabel}}$ ist im Vergleich zur $\textcolor{006400}{\text{grünen Parabel}}$ um $0{,}25$ (d.h. nach rechts) verschoben.

In y-Richtung ist die $\textcolor{660099}{\text{violette Parabel}}$ im Vergleich zur $\textcolor{006400}{\text{grünen Parabel}}$ um $1{,}875$ (d.h. nach oben) verschoben.

Eine Veränderung des Parameters $b$ bewirkt sowohl eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung als auch eine Verschiebung in y-Richtung.

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Lageuntersuchung der 3 Parabeln

Scheitelpunktsberechnung für f(x)f(x)f(x):

Scheitelpunktsberechnung für g(x)g(x)g(x):

In x-Richtung ist die rote Parabel\textcolor{cc0000}{\text{rote Parabel}}rote Parabel ist im Vergleich zur gru¨nen Parabel\textcolor{006400}{\text{grünen Parabel}}gru¨nen Parabel um −0,25-0{,}25−0,25 (d.h. nach links) verschoben.

Scheitelpunktsberechnung für h(x)h(x)h(x):

In x-Richtung ist die violette Parabel\textcolor{660099}{\text{violette Parabel}}violette Parabel ist im Vergleich zur gru¨nen Parabel\textcolor{006400}{\text{grünen Parabel}}gru¨nen Parabel um 0,250{,}250,25 (d.h. nach rechts) verschoben.

Eine Veränderung des Parameters bbb bewirkt sowohl eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung als auch eine Verschiebung in y-Richtung.