Aufgaben zum Einfluss der Parameter a, b und c auf die Parabel

Betrachtet werden quadratische Funktionen, bei denen die Funktionsgleichung in der allgemeinen Form $f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ gegeben ist.

Wie verschiebt sich der Funktionsgraph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = 2 \cdot x^{2} + 8 \cdot x + 4$ , wenn der Parameter $b$ um 1 erhöht bzw. um 1 reduziert wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel

Die Ausgangsfunktion lautet: $f (x) = 2 \cdot x^{2} + 8 \cdot x + 4$ .

Der Graph $G_{f}$ ist eine Parabel und in der Abbildung $grün$ gezeichnet.

Bei dieser Funktion hat der Parameter $b$ den Wert $8$ .

Erhöhst du den Parameter $b$ um 1, so lautet nun die Funktionsgleichung $g (x) = 2 \cdot x^{2} + 9 \cdot x + 4$ .

Der Graph $G_{g}$ ist in der Abbildung $rot$ gezeichnet.

Reduzierst du den Parameter $b$ um 1, so lautet nun die Funktionsgleichung $h (x) = 2 \cdot x^{2} + 7 \cdot x + 4$ .

Der Graph $G_{h}$ ist in der Abbildung $violett$ gezeichnet.

Lageuntersuchung der 3 Parabeln

Maßgeblich für die Lage im Koordinatensystem ist der Scheitelpunkt der Parabel. Um die Auswirkungen der Veränderung des Parameters $b$ feststellen zu können, musst du die Scheitelpunkte der $3$ Parabeln berechnen.

Scheitelpunktsberechnung für $f (x)$ :

Wandle die gegebene allgemeine Form $f (x) = 2 \cdot x^{2} + 8 \cdot x + 4$ in die Scheitelform um und lies den Scheitelpunkt ab.

$f (x)$	$=$	$2 \cdot x^{2} + 8 \cdot x + 4$
	↓	2 ausklammern
	$=$	$2 \cdot (x^{2} + 4 x + 2)$
	↓	quadratische Ergänzung
	$=$	$2 \cdot (x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 2)$
	↓	die ersten 3 Terme in der Klammer mit binomischer Formel zusammenfassen
	$=$	$2 \cdot ((x + 2)^{2} - 4 + 2)$
	↓	die letzten beiden Terme in der Klammer zusammenfassen
	$=$	$2 \cdot ((x + 2)^{2} - 2)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$2 \cdot (x + 2)^{2} - 4$

Der Scheitelpunkt des Funktionsgraphen $G_{f}$ $(grüne Parabel)$ lautet: $S_{f} (- 2 | - 4)$

Scheitelpunktsberechnung für $g (x)$ :

Die allgemeine Form $g (x) = 2 \cdot x^{2} + 9 \cdot x + 4$ wird in die Scheitelform umgewandelt und der Scheitelpunkt wird abgelesen.

$g (x)$	$=$	$2 \cdot x^{2} + 9 \cdot x + 4$
	↓	2 ausklammern
	$=$	$2 \cdot (x^{2} + 4,5 x + 2)$
	↓	quadratische Ergänzung
	$=$	$2 \cdot (x^{2} + 4,5 x + {2,25}^{2} - {2,25}^{2} + 2)$
	↓	die ersten 3 Terme in der Klammer mit binomischer Formel zusammenfassen
	$=$	$2 \cdot ((x + 2,25)^{2} - 5,0625 + 2)$
	↓	die letzten beiden Terme in der Klammer zusammenfassen
	$=$	$2 \cdot ((x + 2,25)^{2} - 3,0625)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$2 \cdot (x + 2,25)^{2} - 6,125$

Der Scheitelpunkt des Funktionsgraphen $G_{g}$ $(rote Parabel)$ lautet: $S_{g} (- 2,25 | - 6,125)$

Ergebnis: Wird $b$ um $1$ erhöht, so verschiebt sich der Scheitelpunkt der $roten Parabel$ $S_{g} (- 2,25 | - 6,125)$ im Vergleich zum Scheitelpunkt der $grünen Parabel$ $S_{f} (- 2 | - 4)$ .

In x-Richtung ist die $rote Parabel$ ist im Vergleich zur $grünen Parabel$ um $- 0,25$ (d.h. nach links) verschoben.

In y-Richtung ist die $roten Parabel$ im Vergleich zur $grünen Parabel$ um $- 2,125$ (d.h. nach unten) verschoben.

Scheitelpunktsberechnung für $h (x)$ :

Die allgemeine Form $h (x) = 2 \cdot x^{2} + 7 \cdot x + 4$ wird in die Scheitelform umgewandelt und der Scheitelpunkt wird abgelesen.

$h (x)$	$=$	$2 \cdot x^{2} + 7 \cdot x + 4$
	↓	2 ausklammern
	$=$	$2 \cdot (x^{2} + 3,5 x + 2)$
	↓	quadratische Ergänzung
	$=$	$2 \cdot (x^{2} + 3,5 x + {1,75}^{2} - {1,75}^{2} + 2)$
	↓	die ersten 3 Terme in der Klammer mit binomischer Formel zusammenfassen
	$=$	$2 \cdot ((x + 1,75)^{2} - 3,0625 + 2)$
	↓	die letzten beiden Terme in der Klammer zusammenfassen
	$=$	$2 \cdot ((x + 1,75)^{2} - 1,0625)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$2 \cdot (x + 1,75)^{2} - 2,125$

Der Scheitelpunkt des Funktionsgraphen $G_{h}$ $(violette Parabel)$ lautet: $S_{h} (- 1,75 | - 2,125)$

Ergebnis: Wird $b$ um $1$ reduziert, so verschiebt sich der Scheitelpunkt der $violetten Parabel$ $S_{h} (- 1,75 | - 2,125)$ im Vergleich zum Scheitelpunkt der $grünen Parabel$ $S_{f} (- 2 | - 4)$ .

In x-Richtung ist die $violette Parabel$ ist im Vergleich zur $grünen Parabel$ um $0,25$ (d.h. nach rechts) verschoben.

In y-Richtung ist die $violette Parabel$ im Vergleich zur $grünen Parabel$ um $1,875$ (d.h. nach oben) verschoben.

Eine Veränderung des Parameters $b$ bewirkt sowohl eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung als auch eine Verschiebung in y-Richtung.

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Lageuntersuchung der 3 Parabeln

Scheitelpunktsberechnung für f(x):

Scheitelpunktsberechnung für g(x):

Ergebnis: Wird b um 1 erhöht, so verschiebt sich der Scheitelpunkt der roten Parabel Sg(−2,25|−6,125) im Vergleich zum Scheitelpunkt der grünen Parabel Sf(−2|−4).

In x-Richtung ist die rote Parabel ist im Vergleich zur grünen Parabel um −0,25 (d.h. nach links) verschoben.

Scheitelpunktsberechnung für h(x):

Ergebnis: Wird b um 1 reduziert, so verschiebt sich der Scheitelpunkt der violetten Parabel Sh(−1,75|−2,125) im Vergleich zum Scheitelpunkt der grünen Parabel Sf(−2|−4).

In x-Richtung ist die violette Parabel ist im Vergleich zur grünen Parabel um 0,25 (d.h. nach rechts) verschoben.

Eine Veränderung des Parameters b bewirkt sowohl eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung als auch eine Verschiebung in y-Richtung.