Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Funktion $g : x \mapsto 2\cdot \sqrt{x+4}-1$ mit maximaler Definitionsmenge $D_g$ . Der Graph von $g$ wird mit $G_g$ bezeichnet.

Geben Sie $D_g$ und die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_g$ mit der $y$ -Achse an. (2BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich einer Funktion
Bestimmung des Definitionsbereichs $D_g$
Bei der Definitionsmenge hält man immer nach Termen Ausschau, die sie einschränken könnten: Nenner, Wurzeln und Logarithmen. Hier musst du dir überlegen, wann eine Wurzel definiert ist: der Radikand darf nicht negativ werden!
Setze dafür den Term unter der Wurzel größer gleich Null.
$\displaystyle 4+x$ $≥$ $\displaystyle 0$
$\displaystyle x$ $≥$ $\displaystyle -4$
Der Definitionsbereich ist also: $D_g=[-4;\infty[$ .
Schnittpunkt mit der $y$ -Achse
Um den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse zu bestimmen, setze für $x$ den Wert $0$ in die Funktion ein.
$\displaystyle g(0)$ $=$ $\displaystyle 2\cdot\sqrt{4+0}-1=2\cdot2-1=3$
Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse ist also bei $S_y(0|3)$ .
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Beschreiben Sie, wie $G_g$ schrittweise aus dem Graphen der in $\mathbb{R}_0^+$ definierten Funktion $w : x \mapsto \sqrt x$ hervorgeht, und geben Sie die Wertemenge von $g$ an. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertemenge
Wie geht $g$ aus $w$ hervor?
Verschiebung um $4$ nach links
Streckung um den Faktor $2$ in $y$ -Richtung
Verschiebung um $1$ nach unten
Bestimmung der Wertemenge
Die ursprüngliche Wertemenge ist $W=\mathbb{R}_0^+$ .Schritt 1 hat keine Auswirkungen auf die $y$ -Werte und damit auch keine Auswirkungen auf die Wertemenge.
Schritt 2 streckt in y-Richtung, verändert aber die Wertemenge ebenfalls nicht, da alle positiven Werte bereits enthalten sind.
Schritt 3 verschiebt den Graphen und damit auch alle $y$ -Werte um $1$ nach unten und damit auch die Wertemenge.
Die gesuchte Wertemenge muss also $W=[-1;\infty[$ sein.
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$\displaystyle 4+x$	$≥$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -4$

Bestimmung des Definitionsbereichs DgD_gDg​

Schnittpunkt mit der yyy-Achse

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Bestimmung der Wertemenge

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Bestimmung des Definitionsbereichs $D_g$

Schnittpunkt mit der $y$ -Achse