Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Funktion $g : x \mapsto 2 \cdot \sqrt{x + 4} - 1$ mit maximaler Definitionsmenge $D_{g}$ . Der Graph von $g$ wird mit $G_{g}$ bezeichnet.

Geben Sie $D_{g}$ und die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_{g}$ mit der $y$ -Achse an. (2BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich einer Funktion
Bestimmung des Definitionsbereichs $D_{g}$
Bei der Definitionsmenge hält man immer nach Termen Ausschau, die sie einschränken könnten: Nenner, Wurzeln und Logarithmen. Hier musst du dir überlegen, wann eine Wurzel definiert ist: der Radikand darf nicht negativ werden!
Setze dafür den Term unter der Wurzel größer gleich Null.
$4 + x$ $\geq$ $0$
$x$ $\geq$ $- 4$
Der Definitionsbereich ist also: $D_{g} = [- 4; \infty [$ .
Schnittpunkt mit der $y$ -Achse
Um den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse zu bestimmen, setze für $x$ den Wert $0$ in die Funktion ein.
$g (0)$ $=$ $2 \cdot \sqrt{4 + 0} - 1 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse ist also bei $S_{y} (0 | 3)$ .
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Beschreiben Sie, wie $G_{g}$ schrittweise aus dem Graphen der in $ℝ_{0}^{+}$ definierten Funktion $w : x \mapsto \sqrt{x}$ hervorgeht, und geben Sie die Wertemenge von $g$ an. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertemenge
Wie geht $g$ aus $w$ hervor?
Verschiebung um $4$ nach links
Streckung um den Faktor $2$ in $y$ -Richtung
Verschiebung um $1$ nach unten
Bestimmung der Wertemenge
Die ursprüngliche Wertemenge ist $W = ℝ_{0}^{+}$ .Schritt 1 hat keine Auswirkungen auf die $y$ -Werte und damit auch keine Auswirkungen auf die Wertemenge.
Schritt 2 streckt in y-Richtung, verändert aber die Wertemenge ebenfalls nicht, da alle positiven Werte bereits enthalten sind.
Schritt 3 verschiebt den Graphen und damit auch alle $y$ -Werte um $1$ nach unten und damit auch die Wertemenge.
Die gesuchte Wertemenge muss also $W = [- 1; \infty [$ sein.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$4 + x$	$\geq$	$0$
$x$	$\geq$	$- 4$

Bestimmung des Definitionsbereichs Dg

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Bestimmung der Wertemenge

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Bestimmung des Definitionsbereichs $D_{g}$

Schnittpunkt mit der $y$ -Achse