Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Bestimmung des Definitionsbereichs $D_g$

Bei der Definitionsmenge hält man immer nach Termen Ausschau, die sie einschränken könnten: Nenner, Wurzeln und Logarithmen. Hier musst du dir überlegen, wann eine Wurzel definiert ist: der Radikand darf nicht negativ werden!

Setze dafür den Term unter der Wurzel größer gleich Null.

Der Definitionsbereich ist also: $D_g=[-4;\infty[$.

Schnittpunkt mit der $y$-Achse

Um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu bestimmen, setze für $x$ den Wert $0$ in die Funktion ein.

Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist also bei $S_y(0|3)$.

Wie geht $g$ aus $w$ hervor?

1. Verschiebung um $4$ nach links

2. Streckung um den Faktor $2$ in $y$-Richtung

3. Verschiebung um $1$ nach unten

Bestimmung der Wertemenge

Die ursprüngliche Wertemenge ist$W=\mathbb{R}_0^+$.Schritt 1 hat keine Auswirkungen auf die $y$-Werte und damit auch keine Auswirkungen auf die Wertemenge.

Schritt 2 streckt in y-Richtung, verändert aber die Wertemenge ebenfalls nicht, da alle positiven Werte bereits enthalten sind.

Schritt 3 verschiebt den Graphen und damit auch alle $y$-Werte um $1$ nach unten und damit auch die Wertemenge.

Die gesuchte Wertemenge muss also $W=[-1;\infty[$ sein.

Um die Nullstelle zu bestimmen, ermittelt man, wann der Funktionswert $f(x)$ gleich $0$ ist.

Verwende hier am besten den natürlichen Logarithmus, um die Exponentialgleichung aufzulösen.

Du kannst noch den Logarithmus mit Hilfe der Logarithmusrechenregeln umschreiben (musst du aber nicht unbedingt).

Die Nullstelle ist bei $x=-2ln(2)$.

Ein gleichschenkliges Dreieck ist durch zwei gleich lange Seiten gekennzeichnet. Also musst du etwas über die Seitenlängen herausfinden, wofür du die Tangentengleichung brauchst.

Dementsprechend ist der erste Schritt, die Tangentengleichung im Punkt $S(0|1)$ aufzustellen. Danach berechnest du den Schnittpunkt mit der $x$-Achse und zuletzt ermittelst du die Seitenlängen.

Tangentengleichung aufstellen

Dazu berechnest du zuerst die Steigung in diesem Punkt. Für die Steigung bildest du die Ableitung. Hier musst du die Verkettung der Funktion beachten.

Anschließend setzt du den $x$-Wert des Schnittpunktes ein.

Die Tangentensteigung beträgt also $1$. Das kannst du in die allgemeine Tangentengleichung $y=mx+t$ einsetzen: $y=1\cdot x+t=x+t$.

Um den verbleibenden Parameter $t$ zu bestimmen, setzt du die Koordinaten des Punktes ein:

Also ist $t=1$ und die Tangente hat die Form $y=x+1$.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Für das Dreieck sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen wichtig. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist der gegebene Punkt $S(0|1)$. Der Schnittpunkt mit der $x$-Achse muss ausgerechnet werden:

Der Schnittpunkt mit der $x$-Achse liegt also bei $(-1|0)$.

Längen ablesen

Du stellst fest, dass die Schnittpunkte der beiden Seiten, die auf den Koordinatenachsen liegen, jeweils den Abstand $1$ vom Ursprung haben. Damit haben sie beide die Länge $1$ und vor allem die gleiche Länge, weswegen das Dreieck gleichschenklig ist.

Wenn $\,f$ eine zur zur y-Achse symmetrische Funktion sein soll, muss für den Funktionsterm gelten $f(x^2)$, d.h. die Variable kommt nur quadratisch vor.

Senkrechte Asymptoten können sich an den Nullstellen des Nenners von gebrochenrationalen Funktionen ergeben.

Eine Lösung der Aufgabe ist zum Beispiel durch den Funktionsterm

$f(x^2)=\frac{1}{x^2-4}$

gegeben.

Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat für $x=2$ (und dann natürlich auch für $x=-2$) die geforderte senkrechte Asymptote.

Zusatz

Eine andere - anspruchsvollere - Lösung wäre zum Beispiel der Funktionsterm

$f(x^2)=e^\frac{1}{x^2-4}$

Das bestimmte Integral

$\displaystyle \int_0^2g(x)\operatorname dx=0$ ergibt eine Flächenbilanz des Graphen von $g$, bei der sich im Integrationsbereich $[0;2]$ die negativen Flächenteile (unterhalb der x-Achse) mit den positiven (oberhalb der x-Achse) genau aufheben.

Das passiert zum Beispiel, wenn $g$ eine punktsymmetrische Funktion mit dem Symmetriezentrum $(1|0)$ ist.

Ein einfaches Beispiel dafür ist die lineare Funktion mit dem Funktionsterm $g(x)=x-1$ ist.

Graphische Veranschaulichung

Weitere Beispiele wären

1. Lineare Funktionen der Form $g_a(x)=a(x-1)$ mit $a\neq0$

2. Ganzrationale Funktionen höheren und ungeraden Grades der Form $g_n(x)=(x-1)^n$ mit $n=3;5;7; . . .$

3. Auch trigonometrische Funktionen kommen in Frage. Beispiel: $g(x)=sin(\pi x)$

Für die mittlere Änderungsrate benutzt man folgende Formel:

$\displaystyle{\frac{\Delta n}{\Delta t} = \frac{n(t_{Ende})-n(t_{Anfang})}{t_{Ende}-t_{Anfang}}}$

Hier soll die mittlere Änderungsrate, also der Differenzenquotient, während der ersten zwei Stunden berechnet werden, also ist $t_{Anfang}=0$ und $t_{Ende}=2$.

Berechne also $n(0)$ und $n(2)$.

$n(0)=3\cdot 0^2-60\cdot 0+500=500$

$n(2)=3\cdot 2^2-60\cdot 2+500=392$

Jetzt kannst du in die Formel einsetzen:

$\displaystyle{\frac{\Delta n}{\Delta t} =\frac{n(t_{Ende})-n(t_{Anfang})}{t_{Ende}-t_{Anfang}}=\frac{n(2)-n(0)}{2-0}=\frac{392-500}{2}=\frac{-108}{2}=-54}$

Die mittlere Änderungsrate ist damit $-54 \frac{1}{h}$.

Mit momentaner Änderungsrate ist die Änderungsrate zu einem Zeitpunkt gemeint. Dem entspricht der Grenzübergang des Steigungsdreiecks (Differenzquotient) in Teilaufg. a) zu Tangenten an einen Punkt. Die Tangentensteigung ergibt sich aus der 1. Ableitung der Funktion.

$n'(t)=6t-60$

Diese kannst du nun mit dem Wert $-30$ gleichsetzen, weil du herausfinden möchtest, wann, also bei welchem $t$-Wert die Steigung diesem Wert entspricht.

$6t-60=-30 |+60$

$6t=30$

$t=5$

Nach $5$ Stunden hat die momentane Änderungsrate den Wert $-30\frac{1}{h}$ erreicht.