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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Hier ist der Bereich Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1 des bayrischen Mathematikabiturs 2017 mit ausführlichen Lösungen. Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion g:x2x+41g : x \mapsto 2\cdot \sqrt{x+4}-1 mit maximaler Definitionsmenge DgD_g. Der Graph von gg wird mit GgG_g bezeichnet.

    1. Geben Sie DgD_g und die Koordinaten des Schnittpunkts von GgG_g mit der yy-Achse an. (2BE)

    2. Beschreiben Sie, wie GgG_g schrittweise aus dem Graphen der in R0+\mathbb{R}_0^+ definierten Funktion w:xxw : x \mapsto \sqrt x hervorgeht, und geben Sie die Wertemenge von gg an. (4 BE)

  2. 2

    Eine Funktion f ist durch f(x)=2e12x1f(x)=2\cdot e^{\frac{1}{2}x}-1 mit xRx\in\mathbb{R} gegeben.

    1. Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion ff. (2 BE)

    2. Die Tangente an den Graphen von ff im Punkt S(01)S(0|1) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. (3 BE)

  3. 3

    Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt.

    1. Der Graph der Funktion ff ist achsensymmetrisch zur yy-Achse und die Gerade mit der Gleichung x=2x=2 ist eine senkrechte Asymptote. (2 BE)

    2. Die Funktion gg ist nicht konstant und es gilt 02g(x)dx=0\displaystyle \int_0^2g(x)\operatorname dx=0. (2BE)

  4. 4

    An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt t t (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung n(t)=3t260t+500n(t)= 3t^2-60t+500 beschrieben werden.

    1. Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung. (3BE)

    2. Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft 301h-30\frac{1}{h}beträgt. (2 BE)


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