Terme oder Gleichungen mit Werten von Logarithmusfunktionen lassen sich mit Hilfe einiger Regeln vereinfachen und gegebenenfalls berechnen.

Logarithmus, Exponentialfunktion und Winkelhalbierende Oben siehst du die Graphen drei verschiedener Funktionen.

Wie du vielleicht noch weißt, ist die Exponentialfunktion die Umkehrfunktion vom Logarithmus.

Definition des Logarithmus

Mit %%\log_b(a)%% bezeichnet man die eindeutige Lösung der Gleichung %%b^x=a%%. Dabei nehmen wir an, dass %%b%% und %%a%% positive Zahlen sind. Das heißt, es gilt:

$$\begin{array}{rrcl} &b^x&=&a\\ \Leftrightarrow&x&=&\log_b(a) \end{array}$$

So ist %%\log_2(8) = 3%%, weil %%2^3=8%% ist.

Denkhilfe zur Bestimmung des Logarithmus

Nehmen wir an, wir wollen %%\log_3(81)%% bestimmen. Hierzu stellen wir uns die Frage „%%3%% hoch was ergibt %%81%%?“. Die Antwort ist %%4%%, denn %%3^4=81%%. Damit ist %%\log_3(81)=4%%.

Um allgemein %%\log_b(a)%% zu bestimmen, solltest du dir die Frage „%%b%% hoch was ergibt %%a%%?“ stellen. Die Antwort auf diese Frage ist der gesuchte Wert. Natürlich funktioniert diese Vorgehensweise nur, wenn %%a%% eine erkennbare Potenz von %%b%% ist.

Rechenregeln

Produkt zu Summe

Quotient zu Differenz

Potenz zu Produkt

%%\log_b\left(a\cdot c\right)=\log_b(a)+\log_b(c)%%

%%\log_b\left(\frac{a}c\right)=\log_b(a)-\log_b(c)%%

%%\log_b( a^c)=c\cdot\log_b(a)%%

Spezialfälle (ergeben sich aus den Rechenregeln)

%%\begin{array}{l}\log_b(b\cdot x)=1+\log_bx\\ \ln\left( e\cdot x\right)=1+\ln\left(x\right)\end{array}%%

%%\begin{array}{l}\log_b(\frac1x)=-\log_bx\\ \ln\left(\frac1x\right)=-\ln\left(x\right)\end{array}%%

%%\begin{array}{ll}\log_b(b^x)= x&\log_b(b)=1\\ \ln\left(e^ x\right)=x&\ln\left( e\right)=1\end{array}%%          

%%\begin{array}{l} \log_b(1)=\log_b(b^0)=0\\ \ln\left(1\right)=\ln(e^0)=0\end{array}%%

Beispiel

Gegeben ist ein Term, der möglichst weit vereinfacht werden soll:

$$\quad\log_3\left(\frac{x^2}{9}\right)-\log_3(x\cdot\sqrt{3})$$

Hier kann man die "Quotienten- und Produktregel" für Logarithmen anwenden.

$$=\log_3\left(x^2\right)-\log_3(9)-\left(\log_3(x)+\log_3(\sqrt{3})\right)$$

Dann vereinfacht man den ersten Summanden mit der Potenz-zu-Produkt-Regel und löst die Minusklammer auf.

$$=2\cdot\log_3\left(x\right)-\log_3(9)-\log_3(x)-\log_3(\sqrt{3})$$

Die Logarithmen mit Argument %%x%% kann man nun zusammenfassen und die Logarithmen mit Zahlen als Argument berechnen. Dazu formt man die Argumente zunächst in Dreierpotenzen um.

$$=\log_3\left(x\right)-\log_3(3^2)-\log_3(3^{\frac12})$$

Nun kann man mit der Potenz-zu-Produkt-Regel lösen und die Zahlenwerte zusammenfassen.

$$=\log_3(x)-2-\frac12=\log_3(x)-2,5$$

Basisumrechnung

Kennt man den Logarithmus zu einer bestimmten Basis %%a%%, so kann man damit den Logarithmus zu einer beliebigen Basis %%b%% mit folgender Formel berechnen:

$$\log_b(x)=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$$

Somit kann man beispielsweise Logarithmen zu einer beliebigen Basis mit dem Taschenrechner berechnen, auch, wenn dieser nur den natürlichen Logarithmus oder den Zehnerlogarithmus (also zur Basis 10) bereitstellt.

Beispiele

  • %%\quad\log_{16}(64)%%

%%16%% und %%64%% sind Potenzen von %%4%%. Daher formt man den Ausdruck links geschickt zur Basis %%4%% um:

$$\qquad=\frac{\log_4(64)}{\log_4(16)}$$

Man schreibt %%64%% und %%16%% als Viererpotenzen und löst dann mit der Potenz-zu-Produkt-Regel:

$$\qquad=\frac{\log_4(4^3)}{\log_4(4^2)}=\frac32$$

  • Berechnung von %%\log_2(100)%% nur mit dem natürlichen Logarithmus:

    %%\log_2(100)=\frac{\ln(100)}{\ln(2)}%%

    Die rechte Seite kann man nun leicht mit einem Taschenrechner berechnen, der nur den natürlichen Logarithmus bereitstellt.

 

 

Anwendung

Mit dem Logarithmus lassen sich Exponentialgleichungen lösen. Auch bestimmte Stellen von Exponentialfunktionen werden mit Hilfe des Logarithmus gefunden.

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Sophie_lg 2017-02-13 14:53:55
Die Spezialfälle bei den Rechenregeln wirken so als wären sie auch Rechenregeln.
Vielleicht eine andere Überschrift.
SebSoGa 2017-02-13 18:04:51
Hallo Sophie,
in deiner Änderung hattest du für die Spezialfälle die gleiche Überschriftsgröße wie für die Rechenregeln genommen. Ich habe sie jetzt eine Stufe kleiner gemacht und mit der Information in Klammern ergänzt (weil sie ja doch Teil der Rechenregeln sind). Was hältst du davon?

Zu der Graphik: Ich finde sie super! Da aber es in diesem Artikel mehr um das Rechnen mit dem Logarithmus geht habe ich sie in ein kleineres Layout (zur Gedankenstütze) am Anfang des Artikels getan. Wie gefällt dir diese Version?

Liebe Grüße
Sebastian
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Zu article Rechnen mit Logarithmus: Definition Logarithmus
Renate 2015-11-27 17:46:09
Irgendwo sollte auch die Definition des Logarithmus von a zur Basis b als Lösung der Gleichung b^x =a gebracht werden.
Nessa 2015-11-27 19:00:36
Hallo Renate,
habe die Definition ergänzt. Hattest du schon Zeit, dir die anderen Artikel zu den Wachstumsprozessen anzuschauen?
Liebe Grüße!
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Zu article Rechnen mit Logarithmus: Missverständliche Begriffe
Renate 2015-11-27 17:38:19
Ich finde, wir sollten für die Logarithmusgesetze nicht die Begriffe "Produktregel" und "Quotientenregel" einführen, da diese Wörter üblicherweise für die entsprechenden Ableitungsregeln verwendet werden.
Meiner Meinung nach sollten hier einfach ohne "Namensgebung" die entsprechenden Regeln als "Logarithmusgesetze" stehen, und zwar wohl besser untereinander anstatt nebeneinander, dann geht es vom Platz her besser.

Was meint ihr?
Nessa 2015-11-27 19:02:46
Hallo Renate,
habe die Formulierungen geändert, bin auch schon darüber gestolpert. Finde die tabellarische Anordnung wegen der Ergänzung der "Spezialfälle" aber gut.
Ich habe die Regeln nicht einfach ohne "Namen" lassen wollen, weil in den Rechenschritten so besser darauf referiert werden kann.
Liebe Grüße!
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Zu article Rechnen mit Logarithmus: Der ln fehlt
fade 2015-11-06 11:24:53
Meiner Meinung nach sollte man den natürlichen Logarithmus noch etwas hervorheben, da er sehr wichtig ist, insbesondere auch für die Schüler. Mein Vorschlag dazu ist, entweder in diesem Artikel eine Unterüberschrift zu erstellen oder einen neuen Artiekl dazu zu schreiben.
Nish 2015-11-09 11:42:36
Hallo Igor,
kannst du das selber machen oder suchst du jdn., der deine Änderungsvorschläge einarbeitet?
LG,
Nish
Zu article Rechnen mit Logarithmus: Formel zur Berechnung Definition
blacksleet 2014-03-13 10:44:25
Der Logarithmus zur Basis a kann auch über den natürlichen Logarithmus definiert werden. Der Abschnitt "Formel zur Berechnung" könnte in der Bedeutung/ visuell hochgestuft werden.