A I - lernen mit Serlo!

In einem abgeschiedenen Dorf verbreitet der Bewohner Maxl zum Zeitpunkt $t = 0$ das Gerücht, dass der berühmte Sänger Fritzi Vordergucker seinen Urlaub hier im Ort verbringen möchte.

Die Funktion $B$ beschreibt näherungsweise die Anzahl der Dorfbewohner, die nach $t$ Tagen von dem Gerücht gehört haben, und ist durch die Funktionsgleichung $B(t) = \displaystyle \frac{A}{1 + 849 \cdot e^{c \cdot t}}$ mit $t\geq 0$ und $A,c \in \mathbb{R}$ festgelegt. Bei den Rechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.

Ermitteln Sie die Parameter $A$ und $c$ , wenn nach 5 Tagen bereits 120 Dorfbewohner von dem Gerücht erfahren haben und am Anfang nur Maxl Bescheid wusste. (5 BE)

$\left[\text{Ergebnis}:A=850;c=0{,}988\right]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion

Gleichungen aufstellen

Aus der Aufgabe kann man folgende Gleichungen aufstellen:

$B(0) = \dfrac{A}{1 + 849 \cdot \textcolor {blue} {e^{c \cdot 0}}} = \dfrac{A}{1 + 849 \cdot \textcolor {blue} {e^{0}}} = \dfrac {A}{1+849 \cdot \textcolor {blue} 1} = \dfrac {A}{850}$
$B(5) = \dfrac{A}{1 + 849 \cdot e^{c \cdot 5}}$

Wir wissen, dass $B (0) = 1$ und $B (5) = 120$ , also gilt:

$1 = \dfrac {A}{850}$
$120 = \dfrac{A}{1 + 849 \cdot e^{5c}}$

Gleichungen umformen

Die erste Gleichung kann man schon nach $A$ auflösen:

$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \frac{A}{850}$	$\displaystyle \cdot \, 850$
$\displaystyle 1 \ \cdot 850$	$=$	$\displaystyle A$

Jetzt setzt man in die zweite Gleichung den Wert für $A$ ein und löst sie nach $c$ auf:

$\displaystyle 120$	$=$	$\displaystyle \frac{850}{1 + 849 \cdot e^{5c}}$	$\displaystyle \cdot \, (1+849 \cdot e^{5c})$
$\displaystyle 120 \, \cdot \, (1+849 \cdot e^{5c})$	$=$	$\displaystyle 850$
$\displaystyle 120\ +\ 101\,880\ \cdot\ e^{5c}$	$=$	$\displaystyle 850$	$\displaystyle - \, 120$
$\displaystyle 101\,880 \ \cdot \ e^{5c}$	$=$	$\displaystyle 730$	$\displaystyle / \, 101.880$
$\displaystyle e^{5c}$	$=$	$\displaystyle \frac {73}{10.188}$	$\displaystyle ln$
$\displaystyle 5 \, c$	$=$	$\displaystyle \ln \, (\frac {73}{10.188})$	$\displaystyle / \, 5$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \frac {\ln \, (\frac {73}{10.188})}{5}$
	↓	Berechne und runde
$\displaystyle c$	$\approx ≈$	$\displaystyle -0{,}988$

Damit kann man jetzt die Funktion $B (t)$ vervollständigen:

\displaystyle B(t) =\frac{850}{1 + 849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t}}

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Berechnen Sie, nach wie vielen Tagen bereits 500 Bewohner von dem Gerücht gehört haben. (3 BE)

Bestimmen Sie $\displaystyle \lim_{t\to\infty} B(t)$ und erklären Sie die Bedeutung dieses Grenzwertes im Sachzusammenhang. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Überblick – Limes-Schreibweise
Bestimmung des Limes
Wenn man für $t$ sehr große Zahlen einsetzt, dann wird der Exponent von $e$ eine sehr große negative Zahl. $e$ strebt dann gegen $0$ und der Nenner strebt gegen $1$ . Also strebt der gesamt Bruch gegen 850, wenn $t$ gegen $\infty$ strebt:
Erklärung des Wertes im Sachzusammenhang
Das Gerücht kann sich nicht auf mehr als $850$ Bewohner ausbreiten. Daraus kann man ableiten, dass in dem Dorf insgesamt $850$ Leute wohnen.
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Überlege, welchen Wert der Funktionsterm annimmt, wenn man für $t$ sehr große Zahlen einsetzt
Erkläre dann, was das Ergebnis über Maxls Dorf aussagt

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion $B$ .

Bestimmen Sie ferner das Verhalten der 1. Ableitungsfunktion von $B$ für $t \to +\infty$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. (5 BE)

$\left[\text{ Teilergebnis}: \dot{B}(t)=\displaystyle \frac{712\,990{,}2 \cdot e^{-0{,}988t}}{(1+849 \cdot e^{-0{,}988t})^2} \right]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonieverhalten berechnen

Ableitung der Funktion bestimmen

	$\displaystyle \biggl(\frac{850}{1 + 849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t}}\biggr)'$
	↓ Wende die Quotientenregel an
$=$	$\displaystyle \frac{0 \, \cdot (1 + 849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t}) \ - \ 850 \, \cdot \, (849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t} ) \, \cdot \, (-0{,}988)}{(1 + 849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t})^2}$
$=$	$\displaystyle \frac{0 \ - \ \big(- \, 712\,990{,}2 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t}\big)}{(1 + 849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t})^2}$
$=$	$\displaystyle \frac{712\,990{,}2 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t}}{(1 + 849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t})^2}$

Extremwerte berechnen

Setze die Ableitung gleich null:
	↓
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{712\,990{,}2 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t}}{(1 + 849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t})^2}$	$\displaystyle \cdot \ {(1 + 849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t})^2}$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 712\,990{,}2 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t}$	$\displaystyle / \ 712\,990{,}2$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle e^{-0{,}988 \cdot t}$

Da $e^{x}$ niemals $0$ werden kann, hat die Ableitung keine Nullstelle, das heißt, der Graph von $f (x)$ hat keinen Extrempunkt.

Steigung der Funktion bestimmen

Da der Graph von $f (x)$ keine Extremstellen hat, ist er entweder streng monoton steigend oder fallend. Um das herauszufinden, schaut man sich die Ableitung an:

\displaystyle B(t) =\frac{850}{1 + 849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t}}

Dabei fällt auf das weder der Zähler noch der Nenner einen negativen Wert annehmen können:

Da $e^{-0.988 \, \cdot \, t}$ , egal für welches t nur positive Werte ergibt und $712\,990{,}2$ eine positive Zahl ist, ist der Zähler immer positiv
Da der Term im Nenner quadriert wird, ist der Nenner immer positiv

Der ganze Bruch kann also auch nur positive Werte annehmen.

$\Rightarrow$ Die Ableitung ist nie negativ, dass heißt, der Graph der Funktion $f (x)$ steigt

streng monoton.

Verhalten der Ableitungsfunktion im Unendlichen bestimmen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Überblick - Limes-Schreibweise

Wenn $t$ gegen $+ \, \infty$ strebt, streben beide $e^{-0{,}988}$ gegen $0$ , sowohl im Nenner als auch im Zähler. Der Zähler als Ganzes strebt somit ebenfalls gegen $0$ . Im Nenner strebt das Produkt aus $849$ und $e^{-0{,}988}$ gegen $0$ , was bedeutet, dass der ganze Nenner gegen $1$ strebt. Insgesamt strebt also der Zähler gegen $0$ und der Nenner gegen $1$ . Somit strebt der ganze Bruch gegen $0$ .

\displaystyle B(t) =\frac{850}{1 + 849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t}}

Erklärung im Sachzusammenhang

Strebt $t$ gegen unendlich, strebt die Ableitung also gegen $0$ . Im Sachzusammenhang bedeutet das, wenn mehr Zeit vergeht, sinkt die Zahl derer, die von dem Gerücht erfahren, irgendwann auf $0$ , weil alle Bewohner schon davon gehört haben.

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Zeichnen Sie für $t \in [0; 16]$ den Graphen von $B$ in ein geeignetes Koordinatensystem. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Wertetabelle erstellen
Setze verschiedene Werte in die Funktion ein, runde gegebenenfalls und erstelle eine Wertetabelle:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
$1$
$2, 7$
$7, 2$
$19$
$49, 1$
$120, 2$
$260, 6$
$461, 4$
$647, 1$
9
10
11
12
13
14
15
16
$761, 2$
$814, 6$
$836, 5$
$844, 9$
$848, 1$
$849, 3$
$849, 7$
$849, 9$
Wähle nun ein geeignetes Koordinatensystem, trage die Werte ein und verbinde die Punkte zu einem Graphen:
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Erstelle mithilfe der Funktion eine Wertetabelle
Trage die Werte in ein geeignetes Koordinatensystem ein
Verbinde die Punkte

$\displaystyle 500$	$=$	$\displaystyle \frac{850}{1 + 849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t}}$	$\displaystyle \cdot \, (1 + 849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t})$
$\displaystyle 500 \cdot \, (1 + 849 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t})$	$=$	$\displaystyle 850$
$\displaystyle 500 \ + \ 424\,500 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t}$	$=$	$\displaystyle 850$	$\displaystyle - \ 500$
$\displaystyle 424\,500 \cdot e^{-0{,}988 \cdot t}$	$=$	$\displaystyle 350$	$\displaystyle / \ 424.500$
$\displaystyle e^{-0{,}988 \cdot t}$	$=$	$\displaystyle \frac {350}{424\,500}$
$\displaystyle e^{-0{,}988 \cdot t}$	$=$	$\displaystyle \frac {7}{8.490}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle -0{,}988 \, \cdot \, t$	$=$	$\displaystyle \ln \biggl(\frac {7}{8\,490}\biggr)$	$\displaystyle / \ (-0{,}988)$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \frac {\ln (\frac {7}{8\,490})}{-0{,}988}$
	↓	Berechne und runde
$\displaystyle t$	$\approx ≈$	$\displaystyle 7{,}2$

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Steigung der Funktion bestimmen

Verhalten der Ableitungsfunktion im Unendlichen bestimmen

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