Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

Die Abbildung $1$ zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Innern begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $[AB]$ , $[BC]$ und $[CD]$ mit $A(11|11|0)$ , $B(-11|11|28)$ , $C(11|-11|28)$ und $D(-11|-11|0)$ besteht. (vgl. Abbildung $2$ ). $A$ , $B$ , $C$ und $D$ sind die Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Begründen Sie, dass die Punkte $B$ und $C$ symmetrisch bezüglich der $x_3$ -Achse liegen. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Sowohl die $x_1$ -Koordinaten als auch die $x_2$ -Koordinaten der beiden Punkte $B$ und $C$ unterscheiden sich nur in ihren Vorzeichen. Die $x_3$ -Koordinaten stimmen überein. Daher liegen die beiden Punkte $B$ und $C$ symmetrisch bezüglich der $x_3$ -Achse.
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Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit. (3 P)
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Der Streckenzug setzt sich aus den Längen der drei Vektoren $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{CD}$ zusammen. Man berechnet die Vektoren und ihre Beträge.
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}-11\\11\\28\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\11\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-22\\0\\28\end{pmatrix}$
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-22)^2+0^2+28^2}=\sqrt{1268}$
Aus Abbildung $2$ ist zu erkennen, dass der Betrag des Vektors $\overrightarrow{CD}$ gleich dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{AB}$ ist. (Der Vektor $\overrightarrow{CD}$ muss nicht extra berechnet werden.)
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}11\\-11\\28\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-11\\11\\28\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}22\\-22\\0\end{pmatrix}$
$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{22^2+(-22)^2+0^2}=\sqrt{968}$
Der Streckenzug setzt sich aus den Längen $2\cdot |\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|=2\cdot \sqrt{1268}+\sqrt{968}$ zusammen. Er hat etwa die Länge $102{,}33\;\mathrm{m}$ .
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Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A$ , $B$ und $C$ , die Ebene $F$ die Punkte $B$ , $C$ und $D$ .

Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform. (4 P)

(zur Kontrolle: $E: 14x_1+14x_2+11x_3=308$ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umwandlung Parameterform in Koordinatenform

Allgemeine Parameterform einer Ebene lautet: $E_{ABC}:\vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}$

Die Vektoren $\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}11\\11\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-22\\0\\28\end{pmatrix}$ sind schon bekannt (Aufgabe $a$ )). Der Vektor $\overrightarrow{AC}$ muss noch berechnet werden.

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}11\\-11\\28\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\11\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-22\\28\end{pmatrix}$

Setzt man die drei Vektoren in die Ebenengleichung $E_{ABC}$ ein, folgt:

$E_{ABC}:\vec X=\begin{pmatrix}11\\11\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-22\\0\\28\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\-22\\28\end{pmatrix}$

Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene ergibt den Normalenvektor der Ebene.

$\displaystyle \vec{n}_{ABC}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-22\\0\\28\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0\\-22\\28\end{pmatrix}$
	↓	Berechne das Kreuzprodukt.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0-28\cdot(-22)\\0-(-22)\cdot 28\\(-22)\cdot(-22)-0\end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}22\cdot 28\\22\cdot28\\22\cdot22\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle 22\cdot\begin{pmatrix}28\\28\\22\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle 44\cdot\begin{pmatrix}14\\14\\11\end{pmatrix}$

Mit dem verkürzten Normalenvektor $\vec n_{ABC}=\begin{pmatrix}14\\14\\11\end{pmatrix}$ kann die Normalenform der Ebene erstellt werden.

$\displaystyle E_{ABC}:\;\left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}\right)\circ\vec n$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze den Vektor $\overrightarrow{OA}$ und den Vektor $\vec n_{ABC}$ in die Ebenengleichung ein.
$\displaystyle \displaystyle \left(\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}11\\11\\0\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}14\\14\\11\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere das Skalarprodukt aus.
$\displaystyle \displaystyle 14x_1+14x_2+11x_3-(11\cdot14+11\cdot14+0\cdot11)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \displaystyle 14x_1+14x_2+11x_3-308$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Ebene $E$ , die die Punkte $A$ , $B$ und $C$ enthält, hat die Gleichung:

$E:\;14x_1+14x_2+11x_3=308$

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Berechnen Sie die Größe $\varphi$ des Winkels, unter dem $E$ die $x_1x_2$ -Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus $\varphi$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann. (5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie

Winkel, unter dem $E$ die $x_1x_2$ -Ebene schneidet

Für den Schnittwinkel zweier Ebenen gilt: ${\mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\;\boldsymbol=\;\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\;\boldsymbol\circ\;\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf m}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf m}\right|}}$

Dabei sind $\vec n$ und $\vec m$ die Normalenvektoren der beiden Ebenen.

Die Ebene $E$ hat den Normalenvektor $\vec n=\begin{pmatrix}14\\14\\11\end{pmatrix}$ und $|\vec{n}|=\sqrt{14^2+14^2+11^2}=\sqrt{513}$ .

Die $x_1x_2$ -Ebene hat den Normalenvektor $\vec m=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ und $|\vec{m }|=1$ .

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left\|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\;\boldsymbol\circ\;\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf m}\right\|}{\left\|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right\|\boldsymbol\cdot\left\|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf m}\right\|}$
	↓	Setze die Werte für die Vektoren und ihre Beträge ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|\begin{pmatrix}14\\14\\11\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right\|}{\sqrt{513}\cdot1}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|0+0+11\right\|}{\sqrt{513}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{11}{\sqrt{513}}$

Man hat die Gleichung $\cos(\varphi)=\frac{11}{\sqrt{513}}$ erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kann der Winkel $\varphi$ berechnet werden. (Man benutzt auf dem Taschenrechner die Funktion $\cos^{-1}(x)$ .)

$\varphi=\arccos(\frac{11}{\sqrt{513}})\approx 60{,}94^\circ$

Der Schnittwinkel $\varphi$ , unter dem $E$ die $x_1x_2$ -Ebene schneidet, beträgt rund $61^\circ$ .

Winkel zwischen den Ebenen $E$ und $F$

Eingezeichnet sind die beiden Ebenen $E$ ( $\textcolor{ff6600}{orange}$ ) und $F$ ( $\textcolor{006400}{grün}$ ). Der Schnittwinkel, unter dem $E$ die $x_1x_2$ -Ebene schneidet, ist der Winkel $\varphi$ . Aus Symmetriegründen schneidet die Ebene $F$ die $x_1x_2$ -Ebene unter dem gleichen Winkel $\varphi$ .

Im obigen Bild sind die beiden Ebenen $E$ und $F$ noch einmal in anderer Ansicht gezeichnet. Man kann nun eine einfache Gleichung für den Winkel $\alpha$ zwischen den Ebenen $E$ und $F$ aufstellen:

$\alpha+2\cdot \varphi =180^\circ\;\Rightarrow\;\alpha=180^\circ-2\cdot \varphi$ (nur Angabe eines Terms)

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Die Ebene $E$ teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Der pyramidenförmige Teilkörper ist eine dreiseitige Pyramide.
Für das Pyramidenvolumen gilt: $V_P=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$
Die Grundfläche der Pyramide $G$ ist die Hälfte der Grundfläche $A$ des Quaders:
$G=\dfrac{1}{2} \cdot A$ .
Quader und Pyramide haben die gleiche Höhe $h$ . Das Volumen des Quaders ist $V_Q=A\cdot h$ .
$\;\Rightarrow\;V_P=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{1}{2} \cdot A\right)\cdot h=\dfrac{1}{6}\cdot A\cdot h=\dfrac{1}{6}\cdot V_Q$
Damit beträgt das gesuchte Verhältnis $1: 5$ .
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Das Saarpolygon wird aus verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen $3$ und $4$ stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.
Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen $3$ und $4$ einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt. Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Blickt man in Richtung der $x_2$ -Achse, so erscheint das Saarpolygon entsprechend der Abbildung $3$ . Ein möglicher Vektor für diese Blickrichtung ist der Vektor $\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}$ oder auch $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ .
Für die Abbildung $4$ muss man in Richtung einer Winkelhalbierenden der $x_1x_2$ -Ebene blicken. Ein möglicher Vektor für diese Blickrichtung ist der Vektor $\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ oder auch $\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ .
Blickt man von oben auf das Saarpolygon, so erhält man die untere Abbildung.
Oder auch in gedrehter Ansicht.
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Der Punkt $P(0|0|h)$ liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $[AB]$ , $[BC]$ und $[CD]$ den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von $h$ :
$\mathrm{I}\;\;\vec Q=\begin{pmatrix}11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-22 \\ 0 \\28\end{pmatrix}, \;$ $t\in [0;1]$

$\mathrm{II}\;\;\overrightarrow{PQ}\circ \overrightarrow{AB}=0$
$\mathrm{III}\;\;\overline{PQ}=28-h$
Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von $h$ zugrunde liegen. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Mit Gleichung $\mathrm{I}$ wird ein Punkt $Q$ festgelegt, der auf der Strecke [AB] liegt (wegen $t\in [0;1]$ ).
Der Punkt $P(0|0|h)$ ist ein Punkt auf der $x_3$ -Achse. Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ soll senkrecht auf der Strecke $[AB]$ stehen (für den kürzesten Abstand der Punkte $P$ und $Q$ ). Das ist dann der Fall, wenn Gleichung $\mathrm{II}$ erfüllt ist.
Die Länge von $\overline{PQ}$ ist der Abstand des Punktes $P$ von $Q$ . Andererseits soll nach Aufgabenstellung der Punkt $P$ auch den gleichen Abstand zur Strecke $[BC]$ haben.
Für die Punkte $B$ und $C$ ist $x_3=28$ . Die $x_3$ -Koordinate vom Punkt $P$ ist $h$ . Der Abstand von $P$ zur Strecke $[BC]$ ist dann gleich $28-h$ , wie es Gleichung $\mathrm{III}$ beschreibt.
Skizze zu Aufgabe $g$ ) (in der Aufgabenstellung nicht gefordert).
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