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Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Innern begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken [AB], [BC] und [CD] mit A(11|11|0), B(11|11|28), C(11|11|28) und D(11|11|0) besteht. (vgl. Abbildung 2). A, B, C und D sind die Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Saarpolygon
  1. Begründen Sie, dass die Punkte B und C symmetrisch bezüglich der x3-Achse liegen. (2 P)

  2. Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit. (3 P)

    m
  3. Die Ebene E enthält die Punkte A, B und C, die Ebene F die Punkte B, C und D.

    Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform. (4 P)

    (zur Kontrolle: E:14x1+14x2+11x3=308)

  4. Berechnen Sie die Größe φ des Winkels, unter dem E die x1x2-Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus φ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen E und F berechnet werden kann. (5 P)

  5. Die Ebene E teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen. (3 P)


  6. Das Saarpolygon wird aus verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 3 und 4 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

    Abbildungen 3 und 4 Saarpolygon

    Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen 3 und 4 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt. Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar. (4 P)

  7. Der Punkt P(0|0|h) liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken [AB], [BC] und [CD] den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von h:

    IQ=(11110)+t(22028),t[0;1]

    IIPQAB=0

    IIIPQ=28h

    Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von h zugrunde liegen. (4 P)