Lösung zur Teilaufgabe a

Lösung zur Teilaufgabe b

Den Punkt $D_n$ erhältst du, wenn du die Gerade g, bzw. ihre Punkte $B_n$ an der Ursprungsgerade h spiegelst. Hier nutzt du erneut aus, dass die Drachenvierecke achsensymmetrisch sind.

1. Schritt: Berechne den Winkel $\alpha$, den die Gerade h mit der x-Achse einschließt

2. Schritt: Abbildungsgleichung aufstellen

Verwende die Abbildungsgleichung der Drehung.

Lösung zur Teilaufgabe c

$D_n (0{,}11x-0{,}92|1{,}04x+0{,}38)$

Damit der Punkt auf der y-Achse liegt, muss die x-Koordinate 0 sein.

Berechne so die Abszisse x von $B_3$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0{,}11x-0{,}92&=&0&|+0{,}92\\0{,}11x&=&0{,}92&|:0{,}11\\x&=&8{,}36\end{array}$

Setze diese Abszisse in g ein:

$y= -0{,}3\cdot 8{,}36-1\\y=-3{,}51$

$\Rightarrow B_3(8{,}36|-3{,}51)$

Lösung zur Teilaufgabe d

1. Schritt: Koordinaten von $M_n$

Die Punkte $M_n$ liegen in der Mitte von $B_n$ und $D_n$:

${B_n}(x|-0{,}3x-1), \;D_n (0{,}11x-0{,}92|1{,}04x+0{,}38)$

Berechne die Mitte dieser Punkte: $M_n\left (\dfrac{x+(0{,}11x-0{,}92)}{2}\left |\dfrac{(-0{,}3x-1)+(1{,}04x+0{,}38)}{2}\right .\right )=$

$M_n(0{,}56x-0{,}46|0{,}37x-0{,}31)$

2. Schritt: Koordinaten von $C_n$

Verwende die Eigenschaften aus der Angabe:

$\overrightarrow{AC_n}=4\cdot\overrightarrow{AM_n}$

$A(0|0),\;M_n(0{,}56x-0{,}46|0{,}37x-0{,}31)$

Da $A$ der Ursprung des Koordinatensystems ist, entsprechen $\overrightarrow{AC_n}$ und $\overrightarrow{AM_n}$ den Koordinaten von $C_n$ und $M_n$.

Setze $M_n$ ein:

$\begin{pmatrix} x_{C_n} \\ y_{C_n} \end{pmatrix} = 4\cdot \begin{pmatrix}0{,}56x-0{,}46\\0{,}37x-0{,}31\end{pmatrix}$

Verwende die skalare Multiplikation, um so weit wie möglich zusammenzufassen.$C_n(2{,}24x-1{,}84|1{,}48x-1{,}24)$

Lösung zur Teilaufgabe e

Damit zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, muss ihr Skalarprodukt 0 sein.

Ein rechter Winkel bei $B_4$ bedeutet also, dass $\overrightarrow{AB_4}\circ\overrightarrow{B_4C_4}=0$

1. Schritt: Stelle die Vektoren auf

$A(0|0),\;B_n(x|-0{,}3x-1)$

$C_n(2{,}24x-1{,}84|1{,}48x-1{,}24)$

Bilde die Vektoren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}\overrightarrow{AB_n}= &\begin{pmatrix} x \\ -0{,}3x-1 \end{pmatrix}\\\overrightarrow{B_nC_n}= &\begin{pmatrix} 2{,}24x-1{,}84-x \\ 1{,}48x-1{,}24-(-0{,}3x-1) \end{pmatrix} \\= & \begin{pmatrix} 1{,}24x-1{,}84 \\ 1{,}78x-0{,}24\end{pmatrix}\end{array}$

2. Schritt: Bilde das Skalarprodukt

$\overrightarrow{AB_n}\circ\overrightarrow{B_nC_n}=0$

Setze die Vektoren ein und fasse so weit wie möglich zusammen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x\cdot(1{,}24x-1{,}84)+(-0{,}3x-1)\cdot(1{,}78x-0{,}24)&=&0\\1{,}24x^2-1{,}84x-0{,}53x^2+0{,}07x-1{,}78x+0{,}24&=&0\\0{,}71x^2-3{,}55x+0{,}24&=&0\end{array}$

Löse mithilfe der Lösungsformel für quadratischen Gleichung (Mitternachtsformel).

$x_{1/2}=\dfrac{3{,}55\pm \sqrt{(-3{,}55)^2-4\cdot 0{,}71\cdot 0{,}24}}{2\cdot 0{,}71}$

$x_1= 4{,}93$ , ($x_2=0{,}07$)

$x_2$ liegt nicht in der Definitionsmenge.

Lösung zur Teilaufgabe f

Der Steigungswinkel der Geraden $h$ und der Winkel $\sphericalangle D_5C_5A$ sind Wechselwinkel und somit gleich groß. Der Steigungswinkel ist aus Teilaufgabe b bekannt:

$\sphericalangle D_5C_5A= 33{,}69°$

Der gesuchte Winkel $\sphericalangle D_5C_5B_5$ ist das Doppelte von $\sphericalangle D_5C_5A$.

$\sphericalangle D_5C_5B_5= 2\cdot 33{,}69°=67{,}38°$

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.