Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Punkte $B_n(x|-0{,}3x-1)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=-0{,}3x-1$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ . Sie sind zusammen mit dem Punkt $A(0|0)$ sowie Punkten $C_n$ und $D_n$ für $x>0{,}84$ Eckpunkte von Drachenvierecken $AB_nC_nD_n$ mit den Diagonalenschnittpunkten $M_n$ .

Die Diagonalen $[AC_n]$ der Drachenvierecke $AB_nC_nD_n$ liegen auf der Symmetrieachse $h$ mit der Gleichung $y=\frac23x~(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Es gilt: $\overrightarrow{AC_n}=4\cdot\overrightarrow{AM_n}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $h$ sowie die Drachenvierecke $AB_1C_1D_1$ für $x=3$ und $AB_2C_2D_2$ für $x=5$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1~\text{cm}$ ; $-2\le x\le 10;~-3\le y\le 8$
Lösung zur Teilaufgabe a
Gehe beim Zeichnen der Drachenvierecke wie folgt vor:
Zeichne zunächst die beiden Geraden $g$ und $h$ ein.
Trage den Punkt $B_1$ (bzw. $B_2$ ) auf der Gerade $g$ an.
Da das Drachenviereck symmetrisch zur Gerade h ist, findest du $D_1$ (bzw. $D_2$ ), indem du $B_1$ (bzw. $B_2$ ), an $h$ spiegelst.
Der Schnittpunkt der Strecke $\overline{B_1D_1}$ (bzw. $\overline{B_2D_2}$ ) mit der Geraden $h$ ist $M_1$ (bzw. $M_2$ ).
Da $C_1$ (bzw. $C_2$ ) ebenfalls auf der Spiegelachse $h$ liegt und $\overrightarrow{AC_1}=4\cdot\overrightarrow{AM_1}$ (bzw. $\overrightarrow{AC_2}=4\cdot\overrightarrow{AM_2}$ ), kannst du nun auch $C_1$ (bzw. $C_2$ ) als Vierfaches der Streckenlänge $\overline{AM_1}$ (bzw. $\overline{AM_2}$ ) auf $h$ eintragen.
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Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ .

$[$ Ergebnis: $D_n(0{,}11x-0{,}92|1{,}04x+0{,}38)]$

Lösung zur Teilaufgabe b

Den Punkt $D_n$ erhältst du, wenn du die Gerade g, bzw. ihre Punkte $B_n$ an der Ursprungsgerade h spiegelst. Hier nutzt du erneut aus, dass die Drachenvierecke achsensymmetrisch sind.

1. Schritt: Berechne den Winkel $\alpha$ , den die Gerade h mit der x-Achse einschließt

$\displaystyle m_h$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}$
	↓	Nutze hierzu den Zusammenhang $m_g=tan(\alpha)$ .
$\displaystyle \tan\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}$	$\displaystyle \tan^{-1}$
	↓	Forme nach $\alpha$ um:
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 33{,}69°$

2. Schritt: Abbildungsgleichung aufstellen

Verwende die Abbildungsgleichung der Drehung.

$\displaystyle D_n$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
	↓	Setze den Punkt $B_n$ und den Winkel $\alpha$ in die Abbildungsgleichung ein:
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos(2\cdot 33{,}69°) & \sin (2\cdot 33{,}69°)\\\sin (2\cdot 33{,}69°) & -\cos (2\cdot33{,}69°)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-0{,}3x-1\end{pmatrix}$
	↓	Berechne die Werte von Sinus und Kosinus.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0{,}38 & 0{,}92\\0{,}92 & -0{,}38\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-0{,}3x-1\end{pmatrix}$
	↓	Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch. Beachte, dass du weiterhin auf zwei Nachkommastellen runden darfst.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 0{,}38x -0{,}27x-0{,}92\\ 0{,}92x+0{,}12x+0{,}38 \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 0{,}11x-0{,}92\\ 1{,}04x+0{,}38\end{pmatrix}$

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Der Punkt $D_3$ liegt auf der y-Achse.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $B_3$ .

Lösung zur Teilaufgabe c
$D_n (0{,}11x-0{,}92|1{,}04x+0{,}38)$
Damit der Punkt auf der y-Achse liegt, muss die x-Koordinate 0 sein.
Berechne so die Abszisse x von $B_3$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0{,}11x-0{,}92&=&0&|+0{,}92\\0{,}11x&=&0{,}92&|:0{,}11\\x&=&8{,}36\end{array}$
Setze diese Abszisse in g ein:
$y= -0{,}3\cdot 8{,}36-1\\y=-3{,}51$
$\Rightarrow B_3(8{,}36|-3{,}51)$
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Berechnen Sie die Koordinate der Punkte $M_n$ und $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ .
$[$ Ergebnis: $C_n(2{,}24x-1{,}84|1{,}48x-1{,}24)]$

Lösung zur Teilaufgabe d
1. Schritt: Koordinaten von $M_n$
Die Punkte $M_n$ liegen in der Mitte von $B_n$ und $D_n$ :
${B_n}(x|-0{,}3x-1), \;D_n (0{,}11x-0{,}92|1{,}04x+0{,}38)$
Berechne die Mitte dieser Punkte: $M_n\left (\dfrac{x+(0{,}11x-0{,}92)}{2}\left |\dfrac{(-0{,}3x-1)+(1{,}04x+0{,}38)}{2}\right .\right )=$
$M_n(0{,}56x-0{,}46|0{,}37x-0{,}31)$
2. Schritt: Koordinaten von $C_n$
Verwende die Eigenschaften aus der Angabe:
$\overrightarrow{AC_n}=4\cdot\overrightarrow{AM_n}$
$A(0|0),\;M_n(0{,}56x-0{,}46|0{,}37x-0{,}31)$
Da $A$ der Ursprung des Koordinatensystems ist, entsprechen $\overrightarrow{AC_n}$ und $\overrightarrow{AM_n}$ den Koordinaten von $C_n$ und $M_n$ .
Setze $M_n$ ein:
$\begin{pmatrix} x_{C_n} \\ y_{C_n} \end{pmatrix} = 4\cdot \begin{pmatrix}0{,}56x-0{,}46\\0{,}37x-0{,}31\end{pmatrix}$
Verwende die skalare Multiplikation, um so weit wie möglich zusammenzufassen. $C_n(2{,}24x-1{,}84|1{,}48x-1{,}24)$
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Das Drachenviereck $AB_4C_4D_4$ ist bei $B_4$ rechtwinklig.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ .

Lösung zur Teilaufgabe e
Damit zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, muss ihr Skalarprodukt 0 sein.
Ein rechter Winkel bei $B_4$ bedeutet also, dass $\overrightarrow{AB_4}\circ\overrightarrow{B_4C_4}=0$
1. Schritt: Stelle die Vektoren auf
$A(0|0),\;B_n(x|-0{,}3x-1)$
$C_n(2{,}24x-1{,}84|1{,}48x-1{,}24)$
Bilde die Vektoren:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}\overrightarrow{AB_n}= &\begin{pmatrix} x \\ -0{,}3x-1 \end{pmatrix}\\\overrightarrow{B_nC_n}= &\begin{pmatrix} 2{,}24x-1{,}84-x \\ 1{,}48x-1{,}24-(-0{,}3x-1) \end{pmatrix} \\= & \begin{pmatrix} 1{,}24x-1{,}84 \\ 1{,}78x-0{,}24\end{pmatrix}\end{array}$
2. Schritt: Bilde das Skalarprodukt
$\overrightarrow{AB_n}\circ\overrightarrow{B_nC_n}=0$
Setze die Vektoren ein und fasse so weit wie möglich zusammen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x\cdot(1{,}24x-1{,}84)+(-0{,}3x-1)\cdot(1{,}78x-0{,}24)&=&0\\1{,}24x^2-1{,}84x-0{,}53x^2+0{,}07x-1{,}78x+0{,}24&=&0\\0{,}71x^2-3{,}55x+0{,}24&=&0\end{array}$
Löse mithilfe der Lösungsformel für quadratischen Gleichung (Mitternachtsformel).
$x_{1/2}=\dfrac{3{,}55\pm \sqrt{(-3{,}55)^2-4\cdot 0{,}71\cdot 0{,}24}}{2\cdot 0{,}71}$
$x_1= 4{,}93$ , ( $x_2=0{,}07$ )
$x_2$ liegt nicht in der Definitionsmenge.
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Die Seite $[C_5D_5]$ des Drachenvierecks $AB_5C_5D_5$ verläuft parallel zur x-Achse.
Begründen Sie, dass gilt: $\sphericalangle D_5C_5B_5=67{,}38^\circ$

Lösung zur Teilaufgabe f
Der Steigungswinkel der Geraden $h$ und der Winkel $\sphericalangle D_5C_5A$ sind Wechselwinkel und somit gleich groß. Der Steigungswinkel ist aus Teilaufgabe b bekannt:
$\sphericalangle D_5C_5A= 33{,}69°$
Der gesuchte Winkel $\sphericalangle D_5C_5B_5$ ist das Doppelte von $\sphericalangle D_5C_5A$ .
$\sphericalangle D_5C_5B_5= 2\cdot 33{,}69°=67{,}38°$
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
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Das gleichschenklige Dreieck $ABC$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCS$ .

Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Basis $[BC]$ . Die Pyramidenspitze $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $M$ .

Es gilt: $\overline{AM}=9~\text{cm};~\overline{BC}=12~\text{cm};~\overline{MS}=10~\text{cm}$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $ABCS$ , wobei die Strecke $[AM]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $M$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\frac12;~\omega=45^\circ$

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[AS]$ sowie das Maß des Winkels $MAS$ .

$[$ Ergebnisse: $\overline{AS}=13{,}45~\text{cm};~\sphericalangle MAS=48{,}01^\circ]$

Lösung zur Teilaufgabe a

Schrägbild zeichnen

Du zeichnest die Strecke $[AM]$ als waagrechte Strecke mit der Länge $9$ cm (rote Linie), weil $[AM]$ laut Aufgabenstellung auf der Schrägbildachse liegen soll.
Der Punkt $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $M$ , das heißt du kannst die Strecke $[MS]$ mit der Länge $10$ cm senkrecht zu der Strecke $[AM]$ einzeichnen (rote Linie).
Du weißt, dass $M$ der Mittelpunkt der Basis $[BC]$ ist, damit ist $[AM]$ die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks und steht senkrecht auf $[BC]$ . Wie du in der Angabe lesen kannst, ist $\omega=45°$ , weswegen der jeweils rechte Winkel zwischen $[AM]$ und $[BM]$ in der Zeichnung jeweils mit $45°$ dargestellt werden. Ebenfalls aus der Angabe entnimmst du, dass $q=0{,}5$ . Deswegen hat die Strecke $[BC]$ , die $12$ cm lang war, in der Abbildung nur noch die halbe Länge $0{,}5\cdot 12 \text{ cm} = 6 \text{ cm}$ . Diese Länge $6$ cm teilst du auf in zweimal $3$ cm jeweils oberhalb und unterhalb von $M$ als Mittelpunkt auf. Du zeichnest also eine Strecke mit $6$ cm Länge im $45°$ Winkel zu $[AM]$ mit $M$ als Mittelpunkt (orange Linie).
Nun hast du alle Eckpunkte und kannst die noch fehlenden Pyramidenkanten ergänzen. Dazu verbindest du einfach $A$ mit jeweils $B$ und $C$ , sowie $S$ mit den drei Dreieckseckpunkten $A$ , $B$ und $C$ (türkise Linien).

Länge der Strecke $[AS]$

Wie du in der Zeichnung des Schrägbildes erkennen kannst, ist das Dreieck $\Delta AMS$ rechtwinklig. Du kennst die Längen der Strecken $\overline{AM}$ und $\overline{MS}$ . Also kannst du den Satz des Pythagoras verwenden, um die Länge von $\overline{AS}$ auszurechnen.

$[AS]$ ist die Hypotenuse, also lautet der Satz des Pythagoras:

$\displaystyle \overline{AM}^2+\overline{MS}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{AS}^2$
	↓	Löse nach der gesuchten Größe $\overline{AS}$ auf, indem du die Wurzel ziehst.
$\displaystyle \sqrt{\overline{AM}^2+\overline{MS}^2}$	$=$	$\displaystyle \overline{AS}$
	↓	Setze die Werte ein, tippe die Rechnung in den Taschenrechner und runde das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
$\displaystyle \overline{AS}$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\sqrt{(10\text{ cm})^2+(9 \text{ cm})^2}$
	$≈$	$\displaystyle 13{,}45\;(\text{cm})$

Größe des Winkels $\sphericalangle MAS$

Du suchst den Winkel $MAS$ , der in der Abbildung rechts türkis markiert ist. Wie du erkennen kannst, handelt es sich um einen Winkel in dem rechtwinkligen Dreieck $\Delta MAS$ . Du kannst deswegen die Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck verwenden.

Falls du $\overline{AS}$ zuerst ausgerechnet hast, kannst du dir eine der drei Formeln aussuchen. Falls nicht, musst du den Tangens verwenden, weil du nur die Länge der Gegenkathete $\overline{MS}$ und der Ankathete $\overline{AM}$ kennst. Hier wird beispielhaft mit Tangens gerechnet.

Stelle als Erstes die allgemeine Tangens-Formel auf:

$\displaystyle \tan(\sphericalangle MAS)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
	↓	Wende $\tan^{-1}$ an, um nach $\sphericalangle MAS$ aufzulösen.
$\displaystyle \sphericalangle MAS$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\tan^{-1}\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\right)$
	↓	Setze die Werte ein, tippe die Rechnung in den Taschenrechner und runde das Ergebnis auf zwei Stellen.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\tan^{-1}\left(\frac{10 \text{ cm}}{9 \text{ cm}}\right)$
	$=$	$\displaystyle 48{,}01°$

Die Größe des Winkels $\sphericalangle MAS$ ist $48{,}01°$ .

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Auf der Strecke $[AS]$ liegen Punkte $P_n$ . Die Winkel $P_nMA$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]0^\circ;90^\circ[$ .
Die Dreiecke $AMP_n$ sind die Grundflächen von Pyramiden $AMP_nC$ , deren Spitze der Punkt $C$ ist.
Zeichnen Sie die Pyramide $AMP_1C$ für $\varphi=65^\circ$ in die Zeichnung zur Teilaufgabe (a) ein.

Lösung zur Teilaufgabe b
Um die Pyramide zu zeichnen, ermittelst du als Erstes den Punkt $P_1$ , indem du den Winkel $65°$ an $[AM]$ anträgst (grüner Winkel) und den Winkelschenkel bis zur Strecke $[AS]$ einzeichnest (rote Linie).
Nun kannst du die Pyramidenspitze $C$ mit allen Dreieckseckpunkten $A$ , $M$ und $P_1$ verbinden, sowie diese untereinander (lila Linie).
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Berechnen Sie die Länge der Strecken $[AP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ und zeigen Sie sodann, dass für das Volumen $V$ der Pyramide $AMP_nC$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$V(\varphi)=\dfrac{60{,}20\cdot\sin(\varphi)}{\sin(\varphi+48{,}01^\circ)}~\text{cm}^3$

$[$ Ergebnis: $\overline{AP_n}(\varphi)=\dfrac{9\cdot\sin(\varphi)}{\sin(\varphi+48{,}01^\circ)}~\text{cm}$

Lösung zur Teilaufgabe c

Länge der Strecken $[AP_n]$

Um diese Länge auszurechnen, verwendest du den Sinussatz. Überlege dir zuerst, welche Größen du gegeben hast, um den passenden Ansatz auszuwählen.

geg: $[AM]$ , $\varphi$ , $\sphericalangle MAS$

ges: $[AP_n]$

Jetzt kannst du jeweils passende Strecke und Winkel auswählen, wie du sie für den Sinussatz benötigst.

Zu der gesuchten Strecke $[AP_n]$ gehört der gegenüberliegende Winkel $\varphi$ . Zu der bekannten Strecke $[AM]$ gehört der gegenüberliegende Winkel $\sphericalangle AP_nM$ . Der Winkel $\sphericalangle AP_nM$ ist dir zwar nicht direkt bekannt, aber du kannst ihn ausrechnen: Du kennst die anderen beiden Winkel und weißt die Innenwinkelsumme im Dreieck.

$\sphericalangle AP_nM= 180°-(\sphericalangle MAS + \varphi)=180°-(48{,}01°+\varphi)$

Jetzt kannst du den Sinussatz aufstellen. Wie du im nächsten Schritt siehst, ist es praktisch das Ergebnis nicht weiter zu vereinfachen.

$\displaystyle \displaystyle\frac{\overline{AP_n}}{\sin(\varphi)}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{AM}}{\sin(\sphericalangle AP_nM)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AM}}{\sin (180°-(48{,}01°+\varphi ))}$
	↓	$\sin(\alpha)=\sin(180°-\alpha)$ , das heißt, du kannst die $180°-$ weglassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AM}}{\sin (48{,}01°+\varphi )}$	$\displaystyle \cdot \sin (\varphi )$
	↓	Löse nach $\overline{AP_n}$ auf, indem du mit $\sin(\varphi)$ multiplizierst.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{\overline{AM}\cdot \sin(\varphi)}{\sin(\varphi+48{,}01°)}$
	↓	Setze den bekannten Wert für $\overline{AM}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{9\cdot \sin(\varphi)}{\sin(\varphi+48{,}01°)}\;\text{cm}$

Es ist also $\overline{AP_n}(\varphi)=\displaystyle\frac{9\cdot \sin(\varphi)}{\sin(\varphi+48{,}01°)}\;\text{cm}$ .

Volumen $V$ der Pyramiden $AMP_nC$

Das Volumen einer Pyramide berechnest du mit der Formel $V= \frac13\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}$ .

Deine Grundfläche ist das Dreieck $AMP_n$ und deine Höhe die Strecke $[MC]$ , da $C$ nach der Aufgabenstellung senkrecht über $M$ liegt.

$\overline{MC}$ hat die Hälfte der Länge von $\overline{BC}$ , da $M$ der Mittelpunkt von $[BC]$ ist. $\overline{MC}$ hat also die Länge $12 \text{ cm}\cdot \frac12= 6$ cm.

Bei der Grundfläche handelt es sich um ein Dreieck. Um dessen Flächeninhalt ausrechnen zu können, benötigst du eine Grundlinie und eine darauf senkrecht stehende Höhe. Für die Grundlinie bietet sich die Strecke $[AP_n]$ (orange Linie) an, da du ihre Länge vorher schon berechnet hast.

Höhe des Dreiecks

Die Höhe (rote Linie) kannst du über das rechtwinklige Dreieck (grüner Winkel) berechnen. Du kennst die Länge von $\overline{AM}$ (türkise Linie) und den Winkel $\sphericalangle MAS$ (lila Winkel).

$\overline{AM}$ ist die Hypotenuse und die gesuchte Strecke ist zu $\sphericalangle MAS$ Gegenkathete. Das heißt, du kannst den Sinus verwenden.

$\displaystyle \displaystyle \sin(\sphericalangle MAS)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{HM}}{\overline{AM}}$	$\displaystyle \cdot \overline{AM}$
$\displaystyle \overline{HM}$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \sin(\sphericalangle MAS) \cdot {\overline{AM}}$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \sin(48{,}01°) \cdot {9\text{ cm}}$
	$≈$	$\displaystyle 6{,}69\;\text{cm}$

Verwende aber am besten den nicht gerundeten Ausdruck, um ein möglichst genaues Ergebnis zu erhalten.

Flächeninhalt des Dreiecks

Dazu kennst du jetzt alle benötigten Größen und kannst diese in die Formel einsetzen:

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \overline{AP_n}\cdot \overline{HM}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{9\cdot \sin \varphi }{\sin (48{,}01°+\varphi )}\cdot \sin (48{,}01°)\cdot 9$

Du kannst entweder an dieser Stelle das Ergebnis weiter mit dem Taschenrechner zusammenfassen, oder du machst dies im nächsten Schritt. Dies hat den Vorteil, dass du dadurch ein genaueres Ergebnis erhältst.

Volumen der Pyramide

Jetzt kennst du alle Größen, die du benötigst, um das Volumen in Abhängigkeit von $\varphi$ auszurechnen. Setze dazu in die Formel vom Anfang ein:

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}$
	$=$	$\displaystyle \frac13\cdot \left(\frac12 \cdot \displaystyle\frac{9\cdot \sin(\varphi) }{\sin(48{,}01°+\varphi)}\cdot\sin(48{,}01°)\cdot 9\right) \cdot 6\text{ cm}^3$

Berechne die Multiplikation aller Zahlen mit dem Taschenrechner.

V(\varphi)=\displaystyle\frac{60{,}20\cdot \sin(\varphi)}{\sin(48{,}01°+\varphi)}\text{ cm}^3

ist das Volumen der Pyramide.

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Die Grundfläche der Pyramide $AMP_2C$ ist das rechtwinklige Dreieck $AMP_2$ mit der Hypotenuse $[AM]$ .

Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $AMP_2C$ am Volumen der Pyramide $ABCS$ .

Lösung zur Teilaufgabe d

Du rechnest als Erstes die Volumina der kleinen und großen Pyramide aus, die Reihenfolge ist dabei egal. Anschließend musst du den prozentualen Anteil der kleinen Pyramide an der großen Pyramide ausrechnen.

Volumen kleine Pyramide

Du hast in der Teilaufgabe vorher bereits eine Formel für das Volumen der kleinen Pyramide in Abhängigkeit von $\varphi$ ermittelt. Also benötigst du für die Berechnung des kleinen Volumens den Winkel $\varphi$ , wenn das Dreieck rechtwinklig ist.

Größe $\varphi$

Die Größe von $\varphi$ kannst du über die Innenwinkelsumme im rechtwinkligen Dreieck berechnen, weil du die anderen beiden Winkel $\sphericalangle MAS=48{,}01°$ und $\sphericalangle AP_2M=90°$ (siehe Angabe) kennst: $\varphi=90°-48{,}01°=41{,}99°$

Nun kannst du in die Volumenformel aus der Teilaufgabe 2.3 einsetzen:

$V(41{,}99°)=\displaystyle\frac{60{,}20\cdot \sin(41{,}99°)}{\sin(48{,}01°+41{,}99°)}\text{ cm}^3= 40{,}27\text{ cm}^3$

Volumen große Pyramide

Das Volumen der großen Pyramide ermittelst du mit Hilfe der allgemeinen Formel für Pyramiden: $V= \displaystyle \frac13\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}$

Die Grundfläche ist hier das gleichschenklige Dreieck $\Delta ABC$ . Die Fläche von $\Delta ABC$ kannst du nicht direkt berechnen. Aber du kannst es für die Flächenberechnung in zwei kleine kongruente, rechtwinklige Dreiecke $\Delta MBA$ und $\Delta MAC$ aufteilen. Denke daran, dass kongruente Dreiecke den gleichen Flächeninhalt besitzen.

Nun berechnest du $A_{\Delta MBA}$ mit der Formel für Flächeninhalte für rechtwinklige Dreiecke.

$A_{\Delta ABC}=A_{\Delta MBA}+A_{\Delta MAC}=2\cdot A_{\Delta MBA}$

$\displaystyle A_{\Delta ABC}$	$=$	$\displaystyle A_{\Delta ABC}$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot \frac{1}{2}\overline{BM}\cdot \overline{MA}$
	↓	Setze die Werte für die Streckenlängen ein.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 9$
	$=$	$\displaystyle 54\text{ cm}^2$

Jetzt kannst du Dreiecksfläche in die Volumenformel für Pyramiden einsetzen. Die Grundfläche ist die Dreiecksfläche $54 \text{ cm}^2$ und die Höhe ist die Strecke $\overline{MS}=10$ cm.

$V= \displaystyle \frac13\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}=\frac13 \cdot54 \text{ cm}^2\cdot 10\text{ cm}=180\text{ cm}^3$

Prozentualer Anteil

Du willst den Anteil der kleinen Pyramide an der großen Pyramide wissen. Das heißt, du suchst den Prozentsatz. Dabei ist die große Pyramide dein Grundwert und die kleine Pyramide dein Prozentwert. Verwende daher die Prozentformel:

$\displaystyle \text{Prozentsatz}\cdot \text{Grundwert}$	$=$	$\displaystyle \text{Prozentwert}$	$\displaystyle :\text{Grundwert}$
$\displaystyle \text{Prozentsatz}$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$
	↓	Setze die Werte ein. Runde das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{40{,}27}{180}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}2237$
	$=$	$\displaystyle 22{,}37~\%$

Der Anteil der kleinen Pyramide an der großen beträgt $22{,}37\%$ .

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Das gleichschenklige Dreieck $ACP_3$ mit der Basis $[CP_3]$ ist eine Seitenfläche der Pyramide $AMP_3C$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ .

Lösung zur Teilaufgabe B 2.5

Das Dreieck $ACP_3$ ist gleichschenklig mit Basis $[CP_3]$ . Also sind die Strecken $[AC]$ und $[AP_3]$ gleich lang.

Damit kannst du die Länge von $\overline{AP_3}$ bestimmen, indem du das rechtwinklige Dreieck $ACM$ betrachtest und mit Hilfe von Pythagoras die Länge von $\overline{AC}$ berechnest.

Anschließend kannst du die Formel aus Teilaufgabe 2.3 verwenden und nach $\varphi$ umstellen.

Länge von $\overline{AC}$

$\displaystyle \overline{AC}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{AM}^2+\overline{MC}^2\qquad \|\sqrt{()}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\overline{AM}^2+\overline{MC}^2}$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{9^2+6^2}$
	$≈$	$\displaystyle 10{,}82$

Größe von $\varphi$

Setze in die Formel aus Teilaufgabe (c) ein.

$10{,}82=\displaystyle\frac{9\cdot \sin(\varphi)}{\sin(48{,}01°+\varphi)}\qquad |\cdot\sin(48{,}01°+\varphi)$

$10{,}82\cdot\sin(48{,}01°+\varphi)=9\cdot \sin(\varphi)$

Verwende das Additionstheorem, um den Sinus auf der linken Seite umzuformen.

$\displaystyle 10{,}82\cdot [\cos (48{,}01°)\sin (\varphi )+\sin (48{,}01°)\cdot \cos (\varphi )]$	$=$	$\displaystyle 9\cdot\sin(\varphi)$
	↓	Klammer ausmulitplizieren
$\displaystyle 10{,}82\cdot \cos (48{,}01°)\sin (\varphi )+10{,}82\cdot \sin (48{,}01°)\cdot \cos (\varphi )$	$=$	$\displaystyle 9\cdot\sin(\varphi)$	$\displaystyle :\cos \varphi$
$\displaystyle 10{,}82\cdot\cos(48{,}01°)\cdot\displaystyle\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}+10{,}82\cdot\sin(48{,}01°)$	$=$	$\displaystyle 9\cdot \frac{\sin (\varphi )}{\cos (\varphi )}$
	↓	$\displaystyle\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}=\tan(\varphi)$
$\displaystyle 10{,}82\cdot \cos (48{,}01°)\cdot \tan (\varphi )+10{,}82\cdot \sin (48{,}01°)$	$=$	$\displaystyle 9\cdot \tan (\varphi )$
	↓	Bringe alle $\tan(\varphi)$ auf eine Seite.
$\displaystyle 10{,}82\cdot \sin (48{,}01°)$	$=$	$\displaystyle 9\cdot \tan (\varphi )-10{,}82\cdot \cos (48{,}01°)\cdot \tan (\varphi )$
	↓	Klammere $\tan(\varphi)$ aus.
$\displaystyle 10{,}82\cdot \sin (48{,}01°)$	$=$	$\displaystyle \tan (\varphi )(9-10{,}82\cdot \cos (48{,}01°))$
	↓	Löse nach $\tan(\varphi)$ auf.
$\displaystyle \tan(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{10{,}82\cdot\sin(48{,}01°)}{9-10{,}82\cdot\cos(48{,}01°)}$
	↓	Löse nach $\varphi$ auf und tippe den Term in den Taschenrechner ein.
$\displaystyle \varphi$	$=$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\displaystyle\frac{10{,}82\cdot\sin(48{,}01°)}{9-10{,}82\cdot\cos(48{,}01°)}\right)$
	$≈$	$\displaystyle 77{,}65^\circ$

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Begründen Sie, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $AMP_nC$ gilt: $V\le90~\text{cm}^3$ .

Lösung zur Teilaufgabe f

Wenn $\varphi$ die maximale Größe hat, dann hat die Pyramide $AMP_nC$ die gleiche Höhe wie die große Pyramide. Die Grundfläche ist aber nur halb so groß wie bei der ursprünglichen Pyramide, weil $[AM]$ das Dreieck halbiert.

$V= \displaystyle \frac13\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}$

Das Volumen der Pyramide $AMP_nC$ kann demnach auch maximal halb so groß sein, weil der Faktor $\frac13$ ändert sich nicht, die Grundfläche wird halbiert (von $\Delta ABC$ zu $\Delta ACM$ ) und die Höhe ist maximal genauso groß ( $[MS]$ ).

Das halbe Volumen sind $\frac12 \cdot 180 \text{ cm}^3= 90 \text{ cm}^3$ .

Deshalb ist das Volumen maximal $90 \text{ cm}^3$ groß.

Alternativlösung

Wir können die Pyramide $AMP_nC$ auch als Pyramide mit der Grundfläche $\Delta AMC$ auffassen. Dann sieht man in der Zeichnung von Teilaufgabe (c) sehr gut, dass das Volumen der Pyramide zunimmt, wenn $\varphi$ größer ist. Das heißt, dass das größte Volumen der Pyramide $AMP_nC$ dann erreicht ist, wenn $P_n$ gleich $S$ ist (dann hat $\varphi$ den Wert $90°$ ).

Dann gilt für das Volumen $V(90°)$ von $AMSC$ :

$\displaystyle V(90°)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac13\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac13\cdot \Delta AMC \cdot \overline{MS}$
	↓	Von der vorherigen Teilaufgabe weißt du: $A_{\Delta AMC}= \frac{1}{2} A_{\Delta ABC}$ . Dies setzt du in die Formel ein.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac13 \cdot\frac12\cdot \Delta ABC \cdot \overline{MS}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac12 \cdot\left(\frac13\cdot \Delta ABC \cdot \overline{MS}\right)$
	↓	Das Volumen $V$ der großen Pyramide $ABCS$ aus Teilaufgabe (d) ist $V= \displaystyle \frac13\cdot \Delta ABC \cdot \overline{MS}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot V_{ABCS}$

Wenn du die Formeln von $V$ mit $V(90°)$ vergleichst, stellst du fest, dass

$V(90°)= \frac{1}{2}\cdot V_{ABCS}= \frac12 \cdot 180\;\text{cm}^3 = 90\;\text{cm}^3$ .

Insgesamt erhältst du also $V(\varphi) \leq V(90°) = 90\;\text{cm}^3$ .

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Teil B

Lösung zur Teilaufgabe a

Gehe beim Zeichnen der Drachenvierecke wie folgt vor: