Lösung zur Teilaufgabe B 1.1
Gehe beim Zeichnen der Drachenvierecke wie folgt vor:
Zeichne zunächst die beiden Geraden g und h ein.
Trage den Punkt %%B_1%% (bzw. %%B_2%%) auf der Gerade g an.
Da das Drachenviereck symmetrisch zur Gerade h ist, findest du %%D_1%% (bzw. %%D_2%%), indem du %%B_1%% an h spiegelst.
Der Schnittpunkt der Strecke %%\overline{B_1D_1}%% (bzw. %%\overline{B_2D_2}%%) mit der Geraden h ist %%M_1%% (bzw. %%M_2%%).
- Da %%C_1%% (bzw. %%C_2%%) ebenfalls auf der Spiegelachse h liegt und %%\overrightarrow{AM}=4\cdot\overrightarrow{AC_1}%% (bzw. %%\overrightarrow{AM}=4\cdot\overrightarrow{AC_2}%%), kannst du nun auch %%C_1%% (bzw %%C_2%%) als Vierfaches der Streckenlänge %%\overline{AM_1}%% (bzw. %%\overline{AM_2}%%) auf h eintragen.
Lösung zur Teilaufgabe B 1.2
Den Punkt %%D_n%% erhältst du, wenn du die Gerade g, bzw. ihre Punkte %%B_n%% an der Ursprungsgerade h spiegelst. Hier nutzt du erneut aus, dass die Drachenvierecke achsensymmetrisch sind.
1. Schritt: Berechne den Winkel %%\alpha%%, den die Gerade h mit der x-Achse einschließt
%%m_h=\frac{2}{3}%%
Nutze hierzu den Zusammenhang %%m_g=tan(\alpha)%%.
%%\frac{2}{3}=tan(\alpha)%%
Forme nach %%\alpha%% um.
%%\alpha \approx 33,69°%%
2. Schritt: Abbildungsgleichung aufstellen
Verwende die Abbildungsgleichung der Drehung.
%%D_n=\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\ \sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}%%
Setze den Punkt %%B_n%% und den Winkel %%\alpha%% in die ein:
%% =\begin{pmatrix} \cos(2\cdot 33,69°) & \sin (2\cdot 33,69°)\\ \sin (2\cdot 33,69°) & -\cos (2\cdot33,69°) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ -0,3x-1 \end{pmatrix}%%
Berechne die Werte von Sinus und Kosinus.
%%= \begin{pmatrix} 0,38 & 0,92\\ 0,92 & -0,38 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ -0,3x-1 \end{pmatrix}%%
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
Beachte, dass du weiterhin auf zwei Nachkommastellen runden darfst.
%% =\begin{pmatrix} 0,38x -0,27x-0,92\\ 0,92x+0,12x+0,38 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,11x-0,92\\ 1,04x+0,38\end{pmatrix} %%
Lösung zur Teilaufgabe B 1.3
%%D_n= (0,11x-0,92|1,04x+0,38)%%
Damit der Punkt auf der y-Achse liegt, muss die x-Koordinate 0 sein.
Berechne so die Abszisse x von %%B_3%%:
%%\begin{array}{rcll} 0,11x-0,92&=&0&|+0,92\\ 0,11x&=&0,92&|:0,11\\ x&=&8,36 \end{array}%%
Setze diese Abszisse in g ein:
%%y= -0,3\cdot 8,36-1%%
%%y=-3,51%%
%%\Rightarrow B_3(8,36|-3,51)%%
Lösung zur Teilaufgabe B 1.4
1. Schritt: Koordinaten von %%M_n%%
Die Punkte %%M_n%% liegen in der Mitte von %%B_n%% und %%D_n%%:
%%{B_n}(x|-0,3x-1)%%
%%D_n (0,11x-0,92|1,04x+0,38)%%
Berechne die Mitte dieser Punkte:
%%M_n\left (\frac{x+(0,11x-0,92)}{2}\left |\frac{(-0,3x-1)+(1,04x+0,38)}{2}\right .\right )=%%
%%M_n(0,56x-0,46|0,37x-0,31)%%
2. Schritt: Koordinaten von %%C_n%%
Verwende die Eigenschaften aus der Angabe:
%%\overrightarrow{AC_n}=4\cdot\overrightarrow{AM_n}%%
%%A(0|0)%% , %%M_n(0,56x-0,46|0,37x-0,31)%%
Da %%A%% der Ursprung des Koordinatensytems ist, entsprechen %%\overrightarrow{AC_n}%% und %%\overrightarrow{AM_n}%% den Koordinaten von %%C_n%% und %%M_n%%.
Setze %%M_n%% ein.
%%\begin{pmatrix} x_{C_n} \\ y_{C_n} \end{pmatrix} = 4\cdot \begin{pmatrix} 0,56x-0,46\\ 0,37x-0,31 \end{pmatrix}%%
Verwende die skalare Multiplikation, um so weit wie möglich zusammmenzufassen.
%%C_n(2,24x-1,84|1,48x-1,24)%%
Lösung zur Teilaufgabe B 1.5
Damit zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, muss ihr Skalarprodukt 0 sein.
Ein rechter Winkel bei %%B_4%% bedeutet also, dass %%\overrightarrow{AB_4}\circ\overrightarrow{B_4C_4}=0%%
1. Schritt: Stelle die Vektoren auf
%%A(0|0)%% , %%B_n(x|-0,3x-1)%%,
%%C_n(2,24x-1,84|1,48x-1,24)%%
Bilde die Vektoren.
%% \begin{array}{rl} \overrightarrow{AB_n}= & \begin{pmatrix} x \\ -0,3x-1 \end{pmatrix}\\ \overrightarrow{B_nC_n}= & \begin{pmatrix} 2,24x-1,84-x \\ 1,48x-1,24-(-0,3x-1) \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} 1,24x-1,84 \\ 1,78x-0,24\end{pmatrix} \end{array}%%
2. Schritt: Bilde das Skalarprodukt
%%\overrightarrow{AB_n}\circ\overrightarrow{B_nC_n}=0%%
Setze die Vektoren ein und fasse so weit wie möglich zusammen.
%%\begin{array}{rcl} x(1,24x-1,84)+(-0,3x-1)(1,78x-0,24)&=&0\\ 1,24x^2-1,84x-0,53x^2+0,07x-1,78x+0,24&=&0\\ 0,71x^2-3,55x+0,24&=&0 \end{array}%%
Löse mithilfe der Lösungsformel für quadratischen Gleichung (Mitternachtsformel).
%%x_{1/2}=\dfrac{3,55\pm \sqrt{(-3,55)^2-4\cdot 0,71\cdot 0,24}}{2\cdot 0,71}%%
%%x_1= 4,93%% , (%%x_2=0,07%%)
%%x_2%% liegt nicht in der Definitionsmenge.
Lösung zur Teilaufgabe B 1.6
Der Steigungswinkel der Gerade h und der Winkel %%\sphericalangle D_5C_5A%% sind Wechselwinkel und somit gleich groß. Der Steigungswinkel ist aus Aufgabe B1.2 bekannt:
%%\sphericalangle D_5C_5A= 33,69°%%
Der gesuchte Winkel %%\sphericalangle D_5C_5B_5%% ist das Doppelte von %%\sphericalangle D_5C_5A%%.
%%\sphericalangle D_5C_5B_5= 2\cdot 33,69°=67,38°%%
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschaun.