Lösung zur Teilaufgabe a

Schrägbild zeichnen

1. Du zeichnest die Strecke $[AM]$ als waagrechte Strecke mit der Länge $9$ cm (rote Linie), weil $[AM]$ laut Aufgabenstellung auf der Schrägbildachse liegen soll.

2. Der Punkt $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $M$, das heißt du kannst die Strecke $[MS]$ mit der Länge $10$ cm senkrecht zu der Strecke $[AM]$ einzeichnen (rote Linie).

3. Du weißt, dass $M$ der Mittelpunkt der Basis $[BC]$ ist, damit ist $[AM]$ die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks und steht senkrecht auf $[BC]$. Wie du in der Angabe lesen kannst, ist $\omega =45°$, weswegen der jeweils rechte Winkel zwischen $[AM]$ und $[BM]$ in der Zeichnung jeweils mit $45°$ dargestellt werden. Ebenfalls aus der Angabe entnimmst du, dass $q=\mathrm{0,5}$. Deswegen hat die Strecke $[BC]$, die $12$ cm lang war, in der Abbildung nur noch die halbe Länge $\mathrm{0,5}\cdot 12\text{ cm}=6\text{ cm}$. Diese Länge $6$ cm teilst du auf in zweimal $3$ cm jeweils oberhalb und unterhalb von $M$ als Mittelpunkt auf. Du zeichnest also eine Strecke mit $6$ cm Länge im $45°$ Winkel zu $[AM]$ mit $M$ als Mittelpunkt (orange Linie).

4. Nun hast du alle Eckpunkte und kannst die noch fehlenden Pyramidenkanten ergänzen. Dazu verbindest du einfach $A$ mit jeweils $B$ und $C$, sowie $S$ mit den drei Dreieckseckpunkten $A$, $B$ und $C$ (türkise Linien).

Größe des Winkels $\sphericalangle MAS$

Die Größe des Winkels $\sphericalangle MAS$ ist $\mathrm{48,01}°$.

Lösung zur Teilaufgabe b

Um die Pyramide zu zeichnen, ermittelst du als Erstes den Punkt $P_1$, indem du den Winkel $65°$ an $[AM]$ anträgst (grüner Winkel) und den Winkelschenkel bis zur Strecke $[AS]$ einzeichnest (rote Linie).

Nun kannst du die Pyramidenspitze $C$ mit allen Dreieckseckpunkten $A$, $M$ und $P_1$ verbinden, sowie diese untereinander (lila Linie).

Lösung zur Teilaufgabe c

Länge der Strecken $[A{P}_n]$

Um diese Länge auszurechnen, verwendest du den Sinussatz. Überlege dir zuerst, welche Größen du gegeben hast, um den passenden Ansatz auszuwählen.

geg: $[AM]$, $\phi$, $\sphericalangle MAS$

ges: $[A{P}_n]$

Jetzt kannst du jeweils passende Strecke und Winkel auswählen, wie du sie für den Sinussatz benötigst.

Zu der gesuchten Strecke $[A{P}_n]$ gehört der gegenüberliegende Winkel $\phi$. Zu der bekannten Strecke $[AM]$ gehört der gegenüberliegende Winkel $\sphericalangle A{P}_{n}M$. Der Winkel $\sphericalangle A{P}_{n}M$ ist dir zwar nicht direkt bekannt, aber du kannst ihn ausrechnen: Du kennst die anderen beiden Winkel und weißt die Innenwinkelsumme im Dreieck.

$\sphericalangle A{P}_{n}M=180°-(\sphericalangle MAS+\phi )=180°-(\mathrm{48,01}°+\phi )$

Jetzt kannst du den Sinussatz aufstellen. Wie du im nächsten Schritt siehst, ist es praktisch das Ergebnis nicht weiter zu vereinfachen.

Es ist also $$\overline{A{P}_n}(\phi )={\displaystyle \frac{9\cdot \sin (\phi )}{\sin (\phi +\mathrm{48,01}°)}\text{cm}}$$.

Volumen $V$ der Pyramiden $AM{P}_{n}C$

Das Volumen einer Pyramide berechnest du mit der Formel $V=\frac{1}{3}\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}$.

Deine Grundfläche ist das Dreieck $AM{P}_n$ und deine Höhe die Strecke $[MC]$, da $C$ nach der Aufgabenstellung senkrecht über $M$ liegt.

$\overline{MC}$ hat die Hälfte der Länge von $\overline{BC}$, da $M$ der Mittelpunkt von $[BC]$ ist. $\overline{MC}$ hat also die Länge $12\text{ cm}\cdot \frac{1}{2}=6$ cm.

Bei der Grundfläche handelt es sich um ein Dreieck. Um dessen Flächeninhalt ausrechnen zu können, benötigst du eine Grundlinie und eine darauf senkrecht stehende Höhe. Für die Grundlinie bietet sich die Strecke $[A{P}_n]$ (orange Linie) an, da du ihre Länge vorher schon berechnet hast.

Verwende aber am besten den nicht gerundeten Ausdruck, um ein möglichst genaues Ergebnis zu erhalten.

Flächeninhalt des Dreiecks

Dazu kennst du jetzt alle benötigten Größen und kannst diese in die Formel einsetzen:

Du kannst entweder an dieser Stelle das Ergebnis weiter mit dem Taschenrechner zusammenfassen, oder du machst dies im nächsten Schritt. Dies hat den Vorteil, dass du dadurch ein genaueres Ergebnis erhältst.

Volumen der Pyramide

Jetzt kennst du alle Größen, die du benötigst, um das Volumen in Abhängigkeit von $\phi$ auszurechnen. Setze dazu in die Formel vom Anfang ein:

Berechne die Multiplikation aller Zahlen mit dem Taschenrechner.

ist das Volumen der Pyramide.

Lösung zur Teilaufgabe d

Du rechnest als Erstes die Volumina der kleinen und großen Pyramide aus, die Reihenfolge ist dabei egal. Anschließend musst du den prozentualen Anteil der kleinen Pyramide an der großen Pyramide ausrechnen.

Volumen kleine Pyramide

Du hast in der Teilaufgabe vorher bereits eine Formel für das Volumen der kleinen Pyramide in Abhängigkeit von $\phi$ ermittelt. Also benötigst du für die Berechnung des kleinen Volumens den Winkel $\phi$, wenn das Dreieck rechtwinklig ist.

Größe $\phi$

Die Größe von $\phi$ kannst du über die Innenwinkelsumme im rechtwinkligen Dreieck berechnen, weil du die anderen beiden Winkel $\sphericalangle MAS=\mathrm{48,01}°$ und $\sphericalangle A{P}_{2}M=90°$ (siehe Angabe) kennst: $\phi =90°-\mathrm{48,01}°=\mathrm{41,99}°$

Nun kannst du in die Volumenformel aus der Teilaufgabe 2.3 einsetzen:

$$V(\mathrm{41,99}°)={\displaystyle \frac{\mathrm{60,20}\cdot \sin (\mathrm{41,99}°)}{\sin (\mathrm{48,01}°+\mathrm{41,99}°)}{\text{ cm}}^3=\mathrm{40,27}{\text{ cm}}^3}$$

Volumen große Pyramide

Das Volumen der großen Pyramide ermittelst du mit Hilfe der allgemeinen Formel für Pyramiden: $$V={\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}}$$

Die Grundfläche ist hier das gleichschenklige Dreieck $\mathrm{\Delta }ABC$. Die Fläche von $\mathrm{\Delta }ABC$ kannst du nicht direkt berechnen. Aber du kannst es für die Flächenberechnung in zwei kleine kongruente, rechtwinklige Dreiecke $\mathrm{\Delta }MBA$ und $\mathrm{\Delta }MAC$ aufteilen. Denke daran, dass kongruente Dreiecke den gleichen Flächeninhalt besitzen.

Nun berechnest du $A_{\mathrm{\Delta }MBA}$ mit der Formel für Flächeninhalte für rechtwinklige Dreiecke.

$A_{\mathrm{\Delta }ABC}=A_{\mathrm{\Delta }MBA}+A_{\mathrm{\Delta }MAC}=2\cdot A_{\mathrm{\Delta }MBA}$

Jetzt kannst du Dreiecksfläche in die Volumenformel für Pyramiden einsetzen. Die Grundfläche ist die Dreiecksfläche $54{\text{ cm}}^2$ und die Höhe ist die Strecke $\overline{MS}=10$ cm.

$$V={\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}=\frac{1}{3}\cdot 54{\text{ cm}}^2\cdot 10\text{ cm}=180{\text{ cm}}^3}$$

Prozentualer Anteil

Du willst den Anteil der kleinen Pyramide an der großen Pyramide wissen. Das heißt, du suchst den Prozentsatz. Dabei ist die große Pyramide dein Grundwert und die kleine Pyramide dein Prozentwert. Verwende daher die Prozentformel:

Der Anteil der kleinen Pyramide an der großen beträgt $\mathrm{22,37}\%$.

Lösung zur Teilaufgabe B 2.5

Das Dreieck $AC{P}_3$ ist gleichschenklig mit Basis $[C{P}_3]$. Also sind die Strecken $[AC]$ und $[A{P}_3]$ gleich lang.

Damit kannst du die Länge von $\overline{A{P}_3}$ bestimmen, indem du das rechtwinklige Dreieck $ACM$ betrachtest und mit Hilfe von Pythagoras die Länge von $\overline{AC}$ berechnest.

Anschließend kannst du die Formel aus Teilaufgabe 2.3 verwenden und nach $\phi$ umstellen.

Länge von $\overline{AC}$

Größe von $\phi$

Setze in die Formel aus Teilaufgabe (c) ein.

$$\mathrm{10,82}={\displaystyle \frac{9\cdot \sin (\phi )}{\sin (\mathrm{48,01}°+\phi )}|\cdot \sin (\mathrm{48,01}°+\phi )}$$

$\mathrm{10,82}\cdot \sin (\mathrm{48,01}°+\phi )=9\cdot \sin (\phi )$

Verwende das Additionstheorem, um den Sinus auf der linken Seite umzuformen.

Lösung zur Teilaufgabe f

Wenn $\phi$ die maximale Größe hat, dann hat die Pyramide $AM{P}_{n}C$ die gleiche Höhe wie die große Pyramide. Die Grundfläche ist aber nur halb so groß wie bei der ursprünglichen Pyramide, weil $[AM]$ das Dreieck halbiert.

$$V={\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}}$$

Das Volumen der Pyramide $AM{P}_{n}C$ kann demnach auch maximal halb so groß sein, weil der Faktor $\frac{1}{3}$ ändert sich nicht, die Grundfläche wird halbiert (von $\mathrm{\Delta }ABC$ zu $\mathrm{\Delta }ACM$) und die Höhe ist maximal genauso groß ($[MS]$).

Das halbe Volumen sind $\frac{1}{2}\cdot 180{\text{ cm}}^3=90{\text{ cm}}^3$.

Deshalb ist das Volumen maximal $90{\text{ cm}}^3$ groß.

Alternativlösung

Wir können die Pyramide $AM{P}_{n}C$ auch als Pyramide mit der Grundfläche $\mathrm{\Delta }AMC$ auffassen. Dann sieht man in der Zeichnung von Teilaufgabe (c) sehr gut, dass das Volumen der Pyramide zunimmt, wenn $\phi$ größer ist. Das heißt, dass das größte Volumen der Pyramide $AM{P}_{n}C$ dann erreicht ist, wenn $P_n$ gleich $S$ ist (dann hat $\phi$ den Wert $90°$).

Dann gilt für das Volumen $V(90°)$ von $AMSC$:

Wenn du die Formeln von $V$ mit $V(90°)$ vergleichst, stellst du fest, dass

$V(90°)=\frac{1}{2}\cdot V_{ABCS}=\frac{1}{2}\cdot 180{\text{cm}}^3=90{\text{cm}}^3$.

Insgesamt erhältst du also $V(\phi )\le V(90°)=90{\text{cm}}^3$.