Berechnen der Nullstelle

$f_1(x)=x \cdot e^{-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}}$

$f_1(x)=0\;\Rightarrow\;0=x \cdot e^{-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}}$

Da für alle $x$ gilt: $e^{-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}}\neq 0$ bleibt nur die Lösung $x=0$.

$f_{1}$ hat genau eine Nullstelle bei $x=0$.

Weitere Eigenschaften:

• Wegen $f(-x)=-f(x)$ ist der Graph von $f_1$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

• Der Graph nähert sich rechts und links asymptotisch an die x-Achse an. Es gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f_1(x)=0$

• Es ist $f_{1}'(x)=\text{Ableitung}(f_{1})=e^{-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}}(1-x^2)$. $f_{1}'(x)=0$ für $x=\pm 1$.

• Gemäß der Abbildung hat der Graph bei $x=1$ einen $HP$ mit der y-Koordinate $f_1(1)=1\cdot e^0=1$ $\;\Rightarrow\;HP(1|1)$ und wegen der Punktsymmetrie einen $TP(-1|-1)$.

Sachverhalt analysieren

Für jede Stammfunktion $F_{1}$ von $f_{1}$ und für jede reelle Zahl $u>2022$ gilt:

$F_{1}(u)-F_{1}(0) \approx \int_{0}^{2022} f_{1}(x)\; d x$

Für jede Zahl $u>2022$ schließen der Graph von $f_1$, die x-Achse und die Gerade $x=u$ ein bestimmtes Flächenstück ein. Dieses Flächenstück ist ungefähr so groß, wie der Flächeninhalt, den der Graph von $f_1$ mit der x-Achse und der Geraden $x=2022$ einschließt.

Ab $u>2022$ kommt sozusagen keine nennenswerte Fläche mehr durch das Integral dazu. Das liegt an der asymptotischen Annäherung des Graphen an die $x$-Achse.

Begründung

$\displaystyle\int_{-0{,}5}^{1} f_{-1}(x) d x=\int_{0{,}5}^{1} f_{-1}(x)\; d x$

$f_{-1}$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Deshalb ist $\left|\displaystyle\int_{-0{,}5}^{0} f_{-1}(x) \;d x\right|=\displaystyle\int_{0}^{0{,}5} f_{-1}(x)\; d x$.

Die linke Teilfläche liegt aber unterhalb der x-Achse, sodass $\displaystyle\int_{-0{,}5}^{0{,}5} f_{-1}(x)\; d x=0$ ist. Es bleibt nur der Inhalt der Teilfläche im Intervall $[0{,}5; 1]$ übrig.

Berechnung von $a$

Für $x=1$ ist $f_a(1)=e$:

Vergleiche die Exponenten: $1=-\frac{1}{2} a +\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} a\;\Rightarrow\;a=-1$

Berechnung des Winkels, den der Graph von $f_{a}$ mit der Parallelen zur $x$-Achse durch den Punkt $P$ einschließt

Es ist $f_a'(x)=\text{Ableitung}(f_a)=e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^{2}+\frac{1}{2}}(1-a\cdot x^2)$.

Dann ist $f_{-1}'(x)=e^{-\frac{1}{2} (-1) \cdot x^{2}+\frac{1}{2}}(1-(-1)\cdot x^2)=e^{\frac{1}{2}\cdot x^{2}+\frac{1}{2}}(1+x^2)$

Für $x=1$ ist dann $f_{-1}'(1)=e^{\frac{1}{2}\cdot 1^{2}+\frac{1}{2}}(1+1^2)=e^1\cdot 2$

Für den Winkel gilt dann: $\varphi=\tan^{-1}(2e)\approx80^\circ$.

Der Graph von $f_{a}$ schließt mit der Parallelen zur $x$-Achse durch den Punkt $P$ einen Winkel von etwa $80^\circ$ ein.

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

Verlauf der Graphen

• $f_a(0)=0$$\;\Rightarrow\;$ Alle Graphen der Schar gehen durch den Ursprung $(0|0)$.

• $f_a'(0)=f_0'(0)$$\;\Rightarrow\;$ Alle Graphen der Schar haben an der Stelle $x=0$ die gleiche Steigung, die gleich der Steigung des Graphens von $f_0(x)$ ist.

• $f_{a_1}(x)=f_{a_2}(x)\Leftrightarrow a_1=a_2$ oder $x=0$$\;\Rightarrow\;$ Die Graphen für verschiedenes $a$ haben nur bei $x=0$ einen gemeinsamen Punkt. Wenn sich zwei Graphen außer für $x=0$ noch an einer anderen Stelle schneiden, dann müssen die Graphen identisch sein.

Anzahl der Wendestellen von $f_{a}$ nach dem Wert von $a \in \mathbb{R}$

Für $a=0$ ist $f_0(x)=x \cdot e^{\frac{1}{2}}$ eine Gerade, die keinen Wendepunkt hat.

Für $a \neq 0$ gilt für die Wendestellen $\left(a \cdot x^{2}-3\right) \cdot x=0$ mit den Lösungen:

$x=0$ oder $x^2=\dfrac{3}{a}$

Ist $a<0$, dann hat die Gleichung für die Wendestellen genau eine Lösung und der Graph $f_a$ hat genau eine Wendestelle.

Ist $a>0$, dann hat die Gleichung für die Wendestellen genau drei Lösungen und der Graph $f_a$ hat genau drei Wendestellen.

Der entstehende Graph

Streckung in y-Richtung: $k\cdot f_a(x)$

Streckung in x-Richtung: $f_a\left(\dfrac{x}{k}\right)$

Ausführung beider Streckungen $(k>0)\;\Rightarrow\;k\cdot f_a\left(\dfrac{x}{k}\right)$

Der entstandene Graph $f_{\frac{a}{k^2}}$ ist ebenfalls eine Funktion der Schar.

Lösung

Keiner dieser Punkte liegt auf einem Graphen der Schar

Die Punkte $(x \mid y)$ mit $x \cdot y<0$ liegen im Innern des 2. und 4. Quadranten.

Für $x<0$ muss $y>0$ sein$\;\Rightarrow\;$2. Quadrant.

Für $x>0$ muss $y<0$ sein$\;\Rightarrow\;$4. Quadrant.

$f_{a}(x)=x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^{2}+\frac{1}{2}}$ $\;\Rightarrow\;$für alle $x$ ist $e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^{2}+\frac{1}{2}}>0$

Damit ist $f_{a}(x)<0$ für $x<0$ und $f_{a}(x)>0$ für $x>0$.

Die Graphen der Schar liegen also im Innern des 1. und 3. Quadranten und damit liegen keine Punkte $(x \mid y)$ mit $x \cdot y<0$ auf einem Graphen der Schar.

Begründung, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y=x$ handelt

Löse die Gleichung $f_a'(x)=0$.

Du erhältst die Lösungen $x_{1{,}2}=\pm\sqrt{\frac{1}{a}}$.

Berechne zunächst $f_a\left(+\sqrt{\frac{1}{a}}\right)$

Entsprechend erhält man für $f_a\left(-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)=-\sqrt{\frac{1}{a}}$

Für beide Extrema gilt jeweils, dass der x-Wert gleich dem Funktionswert ist. Die $x$- und $y$-Koordinaten sind gleich. Alle Extrema liegen somit auf der Geraden mit der Gleichung $y=x$.

Hinweis: Nur zur Veranschaulichung (In der Aufgabenstellung nicht gefordert.)

Drei Scharkurven mit der Ortskurve $y=x$ der Extrema.

Berechne den Wert von $a$, für den das Viereck den Flächeninhalt 144 hat

Für die Skizze wird die in Aufgabe a) verwendete Abbildung $1$, die mit Koordinatenachsen versehen wurde und skaliert ist, benutzt.

Das Viereck stellt ein Trapez dar. Die Flächenformel für das Trapez lautet:

Nach der obigen Skizze hat die Seite $a$ die Länge $2$, die Seite $c$ die Länge $f_a(v)=v$ und die Höhe $h$ hat die Länge $v$.

Eingesetzt in die Flächenformel erhält man:

$A_{\text{Trapez}}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(2+v\right)\cdot v$

Dieser Flächeninhalt soll $144$ sein. Löse die Gleichung $\dfrac{1}{2}\cdot\left(2+v\right)\cdot v=144$.

Für $v>0$ erhältst Du die Lösung $v=16$ und damit ist $f_{a}(16)=16$.

Für $a=\dfrac{1}{256}$ hat das Viereck den Flächeninhalt $144$.