Wahlteil - CAS
Aufgaben zur Abiturprüfung eA 2022, Wahlteil - CAS. Zum Download hier.
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Aufgabe 1A
Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen mit
mit . Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Zeigen Sie, dass genau eine Nullstelle hat.
Abbildung 1 zeigt den Graphen von ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.
Ergänzen Sie die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend. (5 BE)
Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch: (3 BE)
Für jede Stammfunktion von und für jede reelle Zahl gilt:
Begründen Sie unter Verwendung der Abbildung 2, dass für gilt: (3 BE)
Für einen Wert von liegt der Punkt auf dem Graphen von .
Berechnen Sie für diesen Wert von die Größe des Winkels, den der Graph von mit der Parallele zur -Achse durch den Punkt einschließt. (4 BE)
Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen und :
gilt genau dann, wenn oder ist.
Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen jeweils für den Verlauf der Graphen von folgern lässt. (3 BE)
Für alle Werte von stimmen die Wendestellen von mit den Lösungen der Gleichung überein. Es ist .
Klassifizieren Sie die Anzahl der Wendestellen von nach dem Wert von . (7 BE)
Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von a richtig ist:
Wird der Graph von mit dem gleichen Faktor sowohl in -Richtung als auch in -Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar. (3 BE)
Beschreiben Sie die Lage der Punkte mit im Koordinatensystem und begründen Sie, dass keiner dieser Punkte auf einem Graphen der Schar liegt. (4 BE)
Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Geraden.
Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung handelt.
(3 BE)
Für jeden positiven Wert von bilden der Hochpunkt ( ) des Graphen von , der Punkt , der Koordinatenursprung und der Punkt die Eckpunkte eines Vierecks.
Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von , für den das Viereck den Flächeninhalt 144 hat. (5 BE)
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Aufgabe 1B
Die Grafik stellt den Schuldenstand Deutschlands in Mrd. Euro jeweils zu Beginn des Jahres ab dem Jahr 1950 dar.
Geben Sie die beiden Fünfjahreszeiträume an, in denen sich die Schulden mindestens verdoppelt haben. (2 BE)
Bestimmen Sie zwei geeignete Regressionsfunktionen.
Beurteilen Sie die von Ihnen gewählten Regressionsfunktionen hinsichtlich ihrer Eignung zur Beschreibung des vorliegenden Sachverhalts. (9 BE)
In einem Modell soll der Anstieg des Schuldenstands gestoppt werden und die Schulden sollen abgebaut werden. Zu Beginn des Jahres 2005 beträgt der Schuldenstand in diesem Modell 1490 Mrd. Euro. Die Änderungsrate des Schuldenstands soll ab Beginn des Jahres 2005 durch die Funktion mit , in Jahren ab dem Jahr 2005, in Mrd. Euro pro Jahr, beschrieben werden. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion .
Begründen Sie, dass der nach diesem Modell erwartete Schuldenstand in Mrd. Euro zu Beginn des Jahres 2025 mit dem folgenden Term bestimmt werden kann: (3 BE)
Skizzieren Sie in das Koordinatensystem den nach diesem Modell ungefähr zu erwartenden Schuldenstand vom Beginn des Jahres 2005 bis zum Jahr 2045. (4 BE)
Berechnen Sie für dieses Modell das Jahr, in dem der erwartete Schuldenstand genauso hoch ist wie zu Beginn des Jahres 2005. (4 BE)
Bestimmen Sie den maximalen Schuldenstand sowie das Jahr, in dem dieser erreicht wird. (3 BE)
Unabhängig vom Sachkontext ist die in definierte Funktionenschar mit , gegeben.
Zeigen Sie für , dass der maximale Funktionswert unabhängig vom Wert von ist.
(4 BE)
Für jeden Wert von für wird die Gerade durch den Schnittpunkt mit der -Achse und den Hochpunkt des zugehörigen Graphen zu betrachtet.
Für alle diese Geraden gilt: Sie schneiden sich in einem Punkt auf der -Achse.
Bestimmen Sie die -Koordinate dieses gemeinsamen Punktes auch mithilfe einer Skizze ohne Berechnung der Geradengleichungen. (6 BE)
Berechnen Sie alle Werte von , für die der Graph der Ableitungsfunktion vollständig unterhalb des Graphen der Funktion liegt. (5 BE)
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Aufgabe 1C
Ein ICE fährt bis 15: 00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15: 00 Uhr bis 15: 02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15: 02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit.
Die Geschwindigkeit von 15: 00 Uhr bis 15: 02 Uhr wird mithilfe der in definierten Funktion mit beschrieben.
Dabei ist die seit 15: 00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde. Abbildung 1 veranschaulicht den Sachverhalt.
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, die der ICE eine halbe Minute nach 15: 00 Uhr hat.
Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit in der ersten halben Minute nach 15: 00 Uhr um einen kleineren Betrag abnimmt als in der darauf folgenden halben Minute. (4 BE)
Bestimmen Sie die Länge des Zeitraumes, in dem die Geschwindigkeit höchstens 200 aber mindestens 150 Kilometer pro Stunde beträgt. (3 BE)
Geben Sie mögliche Werte und an, sodass gilt: . Deuten Sie die Aussage im Sachzusammenhang. (3 BE)
Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt.
(3 BE)
Bestimmen Sie einen Zeitraum, der frühestens um 14:59 Uhr beginnt und spätestens um 15: 03 Uhr endet, in dem der ICE eine Strecke mit einer Länge von genau zurücklegt.
(5 BE)
Untersuchen Sie, ob folgende Aussage richtig ist: (6 BE)
Wenn sich die Abnahme der Geschwindigkeit von 15: 01 Uhr an nicht mehr verändern würde, dann käme der ICE von diesem Zeitpunkt an nach drei Kilometern zum Stehen.
Betrachtet wird die in definierte Funktion mit mit .
Die Punkte und sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von .
Bestimmen Sie die passenden Werte von und . (5 BE)
[Zur Kontrolle: ]
Berechnen Sie den Wert des Terms . Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung 2, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann. (6 BE)
Die Punkte des Graphen von mit der -Koordinate 1 sind die Wendepunkte des Graphen. Die -Koordinate der Wendepunkte ist ganzzahlig und ein Vielfaches von 4. Die Steigung des Graphen von in jedem seiner Wendepunkte ist entweder oder .
Für jeden Wendepunkt des Graphen von wird die Gerade betrachtet, die durch diesen Wendepunkt und den Punkt verläuft.
Untersuchen Sie, ob eine dieser Geraden im jeweiligen Wendepunkt Tangente an den
Graphen von ist. (5 BE)
- 4
Aufgabe 2A
Ein Telefonanbieter bietet die Tarife S, M, und L an. Jeder Kunde hat genau einen dieser Tarife. Allen Kunden steht eine Service-Hotline zur Verfügung.
aller Kunden haben den Tarif S, den Tarif L. aller Kunden haben bereits die Service-Hotline angerufen. der Kunden haben den Tarif M und haben bereits die Service-Hotline angerufen.
haben den Tarif S und haben die Service-Hotline noch nicht angerufen.
Stellen Sie alle Anteile - analog zu einer Vier-Felder-Tafel - in der folgenden Tabelle dar.
(3 BE)
Ein zufällig ausgewählter Kunde hat die Service-Hotline noch nicht angerufen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Kunde den Tarif S hat.
(2 BE)
Bestimmen Sie den Anteil aller Kunden, die entweder den Tarif haben oder die Service-Hotline noch nicht angerufen haben. (2 BE)
Der Anbieter führt eine Befragung unter 600 zufällig ausgewählten Kunden durch. Es kann davon ausgegangen werden, dass unter den Befragten die Anzahl derjenigen mit dem Tarif binomialverteilt ist.
Beschreiben Sie die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang: (3 BE)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Kunden mit dem Tarif S um höchstens vom Erwartungswert abweicht. (3 BE)
Bestimmen Sie die größte natürliche Zahl , für die die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den Befragten weniger als Kunden den Tarif haben, kleiner als ist. (4 BE)
Die Wartezeit beim Anrufen der Service-Hotline ist normalverteilt mit einer Standardabweichung von 1 Minute und 15 Sekunden.
Angenommen, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Anrufer höchstens drei Minuten warten muss, beträgt .
Berechnen Sie unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Anrufer mindestens fünf Minuten warten muss. (4 BE)
Untersuchen Sie, ob es ein Zeitintervall mit einer Länge von zwei Minuten gibt, in dem die Wartezeit eines zufällig ausgewählten Anrufers mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens liegt. (4 BE)
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Aufgabe 2B
Unter den Kunden eines Krankenversicherungsunternehmens haben Datenschutzbedenken. Von den Kunden mit Datenschutzbedenken nutzen ein Fitnessarmband. aller Kunden haben keine Datenschutzbedenken und nutzen ein Fitnessarmband.
Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3 BE)
Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie Datenschutzbedenken hat.
(3 BE)
Es gilt .
Begründen Sie damit, dass die Ereignisse „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person hat Datenschutzbedenken.“ und „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband." stochastisch abhängig sind. (3 BE)
100 Kunden des Unternehmens werden zufällig ausgewählt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als der ausgewählten Kunden Datenschutzbedenken haben. (2 BE)
Setzt man für und geeignete Werte ein, so kann mit dem Term
die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang berechnet werden.
Geben Sie diese Werte für und an.
Beschreiben Sie das zugehörige Ereignis. (3 BE)
Untersuchen Sie, ob es eine natürliche Zahl gibt, für die die folgende Aussage richtig ist:
Werden Kunden des Unternehmens zufällig ausgewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen niemand Datenschutzbedenken hat, halb so groß wie bei Kunden.
(3 BE)
Bevor Fitnessarmbänder in den Verkauf gelangen, wird ihre Funktionsfähigkeit überprüft.
Erfahrungsgemäß sind der Fitnessarmbänder falsch eingestellt.
Berechnen Sie, wie viele Fitnessarmbänder mindestens überprüft werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens ein falsch eingestelltes Fitnessarmband zu entdecken. (3 BE)
An 5 Kontrollstationen werden jeweils 10 Fitnessarmbänder kontrolliert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens an einer Kontrollstation mindestens ein falsch eingestelltes Fitnessarmband entdeckt wird. (5 BE)
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Aufgabe 2C
Ein Unternehmen stellt Tischtennisbälle her. der hergestellten Bälle weichen nur unwesentlich von der Kugelform ab; diese werden im Weiteren als „rund“ bezeichnet, die übrigen als „unrund“. Aus der großen Menge der hergestellten Bälle werden regelmäßig Stichproben entnommen, wobei die Auswahl der Bälle für jede Stichprobe als zufällig angenommen werden kann. Außerdem kann davon ausgegangen werden, dass die Anzahl der unrunden Bälle in jeder Stichprobe binomialverteilt ist.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl unrunder Bälle in einer Stichprobe von 200 Bällen kleiner als der Erwartungswert dieser Anzahl ist. (3 BE)
Betrachtet werden zwei Stichproben von jeweils 200 Bällen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in mindestens einer dieser beiden Stichproben mehr als sechs Bälle unrund sind. (3 BE)
Nach der Herstellung durchlaufen die Bälle eine Sortieranlage. Dabei wird ein unrunder Ball mit einer Wahrscheinlichkeit von aussortiert. Allerdings werden auch der runden Bälle aussortiert.
Stellen Sie den Prozess der Herstellung und Sortierung der Bälle in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3 BE)
Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang.
(2 BE)
Angenommen, die nicht aussortierten Bälle würden die gleiche Sortieranlage ein zweites Mal durchlaufen.
Ermitteln Sie den Anteil der unrunden Bälle unter denjenigen, die dann nach zweimaligem Durchlaufen der Anlage nicht aussortiert würden. (4 BE)
Das Gewicht eines Tischtennisballs soll 2,70 Gramm (g) betragen. Das Gewicht der Bälle in der Produktion wird als normalverteilt angenommen mit und . Bei der Qualitätskontrolle von Tischtennisbällen in der Produktion werden jeweils 24 Bälle getestet. Es gelten folgende Regeln:
I) Jedes Gewicht zwischen 2,67 und 2,77 ist akzeptabel, wobei einer der getesteten Bälle ein Gewicht außerhalb dieses Toleranzbereichs aufweisen darf.
II) Keiner der Bälle darf ein Gewicht von unter 2,60 g oder über 2,85 g aufweisen.
Bei der Qualitätskontrolle der Bälle gibt es Bereiche von Gewichten, in denen nach den Regeln I und II das Gewicht höchstens eines der Bälle liegen darf, ohne dass es zu einer Beanstandung bei der Kontrolle kommt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Balles der Produktion innerhalb dieser Bereiche von Gewichten liegt.
(3 BE)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Qualitätskontrolle von 24 Bällen keine Beanstandung aufgrund von Regel I auftritt. (4 BE)
Durch Einstellung der Produktionsmaschine kann der Wert für verändert werden. Der Wert von bleibt dabei unverändert.
Entscheiden Sie, ob die optimale Einstellung der Maschine ist und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)
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Aufgabe 3A
Die Abbildung zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken und mit
und besteht. und sind Eckpunkte eines Quaders.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
Begründen Sie, dass die Punkte und symmetrisch bezüglich der -Achse liegen. (2 BE)
Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit. (3 BE)
Die Ebene enthält die Punkte und , die Ebene enthält die Punkte und .
Bestimmen Sie eine Gleichung von in Koordinatenform. (3 BE)
[Zur Kontrolle: ]
Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die -Ebene schneidet.
Geben Sie einen Term an, mit dem aus die Größe des Winkels zwischen den Ebenen und berechnet werden kann. (5 BE)
Die Ebene teilt den Quader in zwei Teilkörper.
Bestimmen Sie das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper. (4 BE)
Das Saarpolygon wird von verschiedenen Positionen aus betrachtet. Die Abbildungen 1 und 2 stellen das Saarpolygon für zwei dieser Positionen schematisch dar.
Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen einen möglichen Vektor an, der die zu der Position gehörige Blickrichtung beschreibt.
Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar. (4 BE)
Der Punkt liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken und den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von :
i.
ii.
iii.
Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von zugrunde liegen. (4 BE)
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Aufgabe 3B
Für mit werden die Pyramiden mit und betrachtet (vgl. Abbildung 1).
Der Mittelpunkt der Strecke ist .
Begründen Sie, dass das Dreieck gleichschenklig ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks für . (5 BE)
Für jeden Wert von liegt die Seitenfläche in der Ebene .
Bestimmen Sie eine Gleichung von in Koordinatenform. (4 BE)
[Zur Kontrolle: ]
Ermitteln Sie den Wert von , für den die Größe des Winkels, unter dem die -Achse die Ebene schneidet, beträgt. (3 BE)
Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der nebenstehenden Abbildung gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte und sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen. Für enthält die Seitenfläche der Pyramide den Eckpunkt des Quaders. Für kleinere Werte von schneidet die Seitenfläche den Quader in einem Vieleck.
Für einen Wert von liegen die Eckpunkte und des Quaders in der Seitenfläche .
Bestimmen Sie diesen Wert von .
[Zur Kontrolle: ]
Für diesen Wert von liegt ein Punkt einer vorderen Kante ebenfalls in der
Seitenfläche .
Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes. (6 BE)
Geben Sie in Abhängigkeit von die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche den Quader schneidet. (3 BE)
Nun wird die Pyramide betrachtet.
Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der -Ebene, haben den Eckpunkt gemeinsam und sind quadratisch.
Die Höhe der Quader durchläuft alle reellen Werte mit . Für jeden Wert von liegt der Eckpunkt in der Seitenfläche der Pyramide.
Ermitteln Sie die Koordinaten des
Punktes . (4 BE)
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Aufgabe 3C
Der in der Abbildung gezeigte Körper stellt einen massiven Betonkörper dar, das Rechteck dessen Deckseite. Alle Außenflächen des Körpers sind eben.
An der durch die Strecke dargestellten Oberkante des Betonkörpers ist eine Informationskarte befestigt. Die Karte kann entlang der Kante umgeklappt werden. Liegt die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers auf, schließt sie bündig mit den Kanten der Deckseite ab. Die Dicke der Karte soll im Folgenden vernachlässigt werden.
Gegeben sind die Punkte , und .
Es gilt:
Im verwendeten Koordinatensystem stellt die -Ebene den horizontalen Boden dar, auf dem der Betonkörper befestigt ist. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht in der Realität.
Zeigen Sie, dass die Kanten und parallel sind, und prüfen Sie, ob das Viereck im Punkt einen rechten Winkel hat. (3 BE)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene, in der das Rechteck liegt, in Koordinatenform. (3 BE)
[Zur Kontrolle:
Auf den Betonkörper treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Der Richtungsvektor dieser Geraden ist .
Die Karte wird so positioniert, dass sie vertikal steht (vgl. Abbildung). Durch den Eckpunkt wird ein Schattenpunkt auf der Deckseite des Betonkörpers erzeugt.
Ermitteln Sie die Koordinaten von .
(6 BE)
Mit Ausnahme der Position, die in der Teilaufgabe c) betrachtet wurde, können alle
Positionen der Karte jeweils durch eine der Ebenen mit beschrieben werden.
Ermitteln Sie denjenigen Wert von , für den die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers liegt. (3 BE)
Geben Sie die Bedeutung der Lösung der Gleichung bezüglich der Position der Karte zum Sonnenlicht an.
Beschreiben Sie für diese Position den durch die Karte auf die Deckseite fallenden Schatten. (5 BE)
Liegt die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers, wird einer ihrer Eckpunkte durch dargestellt. Dieser Eckpunkt nimmt während des Umklappens verschiedene Positionen ein. Zwei dieser Positionen werden durch und mit beschrieben, wobei gilt.
Begründen Sie, ohne zu rechnen, dass die Strecken und einen doppelt so großen Winkel einschließen wie die Strecken und , und veranschaulichen Sie Ihre Begründung durch eine geeignet beschriftete Skizze. (5 BE)
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