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Wahlteil - CAS

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Hinweise zum Wahlteil - CAS

Aufgaben zur Abiturprüfung eA 2022, Wahlteil - CAS. Zum Download hier.

  1. 1

    Aufgabe 1A

    Gegeben ist die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen faf_{a} mit fa(x)=xe12ax2+12f_{a}(x)=x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^{2}+\frac{1}{2}}

    mit aRa \in \mathbb{R}. Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

    1. Zeigen Sie, dass f1f_{1} genau eine Nullstelle hat.

      Abbildung 1 zeigt den Graphen von f1f_{1} ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

      Ergänzen Sie die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend. (5 BE)

      Bild
    2. Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch: (3 BE)

      Für jede Stammfunktion F1F_{1} von f1f_{1} und für jede reelle Zahl u>2022u>2022 gilt:

      F1(u)F1(0)02022f1(x)dxF_{1}(u)-F_{1}(0) \approx \int_{0}^{2022} f_{1}(x) d x

    3. Begründen Sie unter Verwendung der Abbildung 2, dass für f1f_{-1} gilt: (3 BE)

      0,51f1(x)dx=0,51f1(x)dx\displaystyle\int_{-0{,}5}^{1} f_{-1}(x) d x=\int_{0{,}5}^{1} f_{-1}(x) d x

      Bild
    4. Für einen Wert von aa liegt der Punkt P(1e)P(1 \mid e) auf dem Graphen von faf_{a}.

      Berechnen Sie für diesen Wert von aa die Größe des Winkels, den der Graph von faf_{a} mit der Parallele zur xx-Achse durch den Punkt PP einschließt. (4 BE)

    5. Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen a,a1a, a_{1} und a2a_{2} :

      • fa(0)=0f_{a}(0)=0

      • fa(0)=f0(0)f_{a}^{\prime}(0)=f_{0}^{\prime}(0)

      • fa1(x)=fa2(x)f_{a_{1}}(x)=f_{a_{2}}(x) gilt genau dann, wenn a1=a2a_{1}=a_{2} oder x=0x=0 ist.

      Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen jeweils für den Verlauf der Graphen von faf_{a} folgern lässt. (3 BE)

    6. Für alle Werte von a0a \neq 0 stimmen die Wendestellen von faf_{a} mit den Lösungen der Gleichung (ax23)x=0\left(a \cdot x^{2}-3\right) \cdot x=0 überein. Es ist f0(x)=xe12f_{0}(x)=x \cdot e^{\frac{1}{2}}.

      Klassifizieren Sie die Anzahl der Wendestellen von faf_{a} nach dem Wert von aRa \in \mathbb{R}. (7 BE)

    7. Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von a richtig ist:

      Wird der Graph von faf_{a} mit dem gleichen Faktor k>0k>0 sowohl in xx-Richtung als auch in yy-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar. (3 BE)

    8. Beschreiben Sie die Lage der Punkte (xy)(x \mid y) mit xy<0x \cdot y<0 im Koordinatensystem und begründen Sie, dass keiner dieser Punkte auf einem Graphen der Schar liegt. (4 BE)

    9. Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Geraden.

      Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung y=xy=x handelt.

      (3 BE)

    10. Für jeden positiven Wert von aa bilden der Hochpunkt ( vvv \mid v ) des Graphen von faf_{a}, der Punkt (02)(0|2), der Koordinatenursprung und der Punkt (v0)(v \mid 0) die Eckpunkte eines Vierecks.

      Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von aa, für den das Viereck den Flächeninhalt 144 hat. (5 BE)

  2. 2

    Aufgabe 1B

    Die Grafik stellt den Schuldenstand Deutschlands in Mrd. Euro jeweils zu Beginn des Jahres ab dem Jahr 1950 dar.

    Bild
    1. Geben Sie die beiden Fünfjahreszeiträume an, in denen sich die Schulden mindestens verdoppelt haben. (2 BE)

    2. Bestimmen Sie zwei geeignete Regressionsfunktionen.

      Beurteilen Sie die von Ihnen gewählten Regressionsfunktionen hinsichtlich ihrer Eignung zur Beschreibung des vorliegenden Sachverhalts. (9 BE)

    3. In einem Modell soll der Anstieg des Schuldenstands gestoppt werden und die Schulden sollen abgebaut werden. Zu Beginn des Jahres 2005 beträgt der Schuldenstand in diesem Modell 1490 Mrd. Euro. Die Änderungsrate des Schuldenstands soll ab Beginn des Jahres 2005 durch die Funktion gg mit g(x)=235e0,25x35g(x)=235 \cdot e^{-0{,}25 x}-35, xx in Jahren ab dem Jahr 2005, g(x)g(x) in Mrd. Euro pro Jahr, beschrieben werden. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion gg.

      Begründen Sie, dass der nach diesem Modell erwartete Schuldenstand in Mrd. Euro zu Beginn des Jahres 2025 mit dem folgenden Term bestimmt werden kann: (3 BE)

      1490+020g(x)  dx1490+\displaystyle\int_{0}^{20} g(x)\; d x

      Bild
    4. Skizzieren Sie in das Koordinatensystem den nach diesem Modell ungefähr zu erwartenden Schuldenstand vom Beginn des Jahres 2005 bis zum Jahr 2045. (4 BE)

    5. Berechnen Sie für dieses Modell das Jahr, in dem der erwartete Schuldenstand genauso hoch ist wie zu Beginn des Jahres 2005. (4 BE)

    6. Bestimmen Sie den maximalen Schuldenstand sowie das Jahr, in dem dieser erreicht wird. (3 BE)

    7. Unabhängig vom Sachkontext ist die in R\mathbb{R} definierte Funktionenschar hah_{a} mit ha(x)=(1ax)e2ax,aRh_{a}(x)=(1-a \cdot x) \cdot e^{2 \cdot a \cdot x}, a \in \mathbb{R}, gegeben.

      Zeigen Sie für a0a \neq 0, dass der maximale Funktionswert unabhängig vom Wert von aa ist.

      (4 BE)

    8. Für jeden Wert von aa für a0a \neq 0 wird die Gerade durch den Schnittpunkt mit der xx-Achse und den Hochpunkt des zugehörigen Graphen zu hah_{a} betrachtet.

      Für alle diese Geraden gilt: Sie schneiden sich in einem Punkt auf der yy-Achse.

      Bestimmen Sie die yy-Koordinate dieses gemeinsamen Punktes auch mithilfe einer Skizze ohne Berechnung der Geradengleichungen. (6 BE)

    9. Berechnen Sie alle Werte von aa, für die der Graph der Ableitungsfunktion hah_{a}^{\prime} vollständig unterhalb des Graphen der Funktion hah_{a} liegt. (5 BE)

  3. 3

    Aufgabe 1C

    Ein ICE fährt bis 15: 00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15: 00 Uhr bis 15: 02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15: 02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit.

    Die Geschwindigkeit von 15: 00 Uhr bis 15: 02 Uhr wird mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit f(x)=30x390x2+240f(x)=30 x^{3}-90 x^{2}+240 beschrieben.

    Dabei ist xx die seit 15: 00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und f(x)f(x) die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde. Abbildung 1 veranschaulicht den Sachverhalt.

    Bild
    1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, die der ICE eine halbe Minute nach 15: 00 Uhr hat.

      Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit in der ersten halben Minute nach 15: 00 Uhr um einen kleineren Betrag abnimmt als in der darauf folgenden halben Minute. (4 BE)

    2. Bestimmen Sie die Länge des Zeitraumes, in dem die Geschwindigkeit höchstens 200 aber mindestens 150 Kilometer pro Stunde beträgt. (3 BE)

    3. Geben Sie mögliche Werte x1x_{1} und x2x_{2} an, sodass gilt: f(x1)=f(x2)f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right). Deuten Sie die Aussage f(x1)=f(x2)f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right) im Sachzusammenhang. (3 BE)

    4. Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt.

      (3 BE)

    5. Bestimmen Sie einen Zeitraum, der frühestens um 14:59 Uhr beginnt und spätestens um 15: 03 Uhr endet, in dem der ICE eine Strecke mit einer Länge von genau 7 km7 \mathrm{~km} zurücklegt.

      (5 BE)

    6. Untersuchen Sie, ob folgende Aussage richtig ist: (6 BE)

      Wenn sich die Abnahme der Geschwindigkeit von 15: 01 Uhr an nicht mehr verändern würde, dann käme der ICE von diesem Zeitpunkt an nach drei Kilometern zum Stehen.

    7. Betrachtet wird die in R\mathbb{R} definierte Funktion ss mit s(x)=asin(bx)+cs(x)=a \cdot \sin (b \cdot x)+c mit a,b,cRa, b, c \in \mathbb{R}.

      Die Punkte E1(21)E_{1}(-2 \mid-1) und E2(23)E_{2}(2 \mid 3) sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von ss.

      Bestimmen Sie die passenden Werte von a,ba, b und cc. (5 BE)

      [Zur Kontrolle: a=2,b=π4,c=1a=2, b=\frac{\pi}{4}, c=1 ]

    8. Berechnen Sie den Wert des Terms 22s(x)  dx\displaystyle\int_{-2}^{2} s(x)\; d x. Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung 2, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann. (6 BE)

      Bild
    9. Die Punkte des Graphen von ss mit der yy-Koordinate 1 sind die Wendepunkte des Graphen. Die xx-Koordinate der Wendepunkte ist ganzzahlig und ein Vielfaches von 4. Die Steigung des Graphen von ss in jedem seiner Wendepunkte ist entweder