Begründung, dass die Punkte $B$ und $C$ symmetrisch bezüglich der $x_{3}$-Achse liegen

Sowohl die $x_1$-Koordinaten als auch die $x_2$-Koordinaten der beiden Punkte $B$ und $C$ unterscheiden sich nur in ihren Vorzeichen. Die $x_3$-Koordinaten stimmen überein. Daher liegen die beiden Punkte $B$ und $C$ symmetrisch bezüglich der $x_3$-Achse.

Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit

Der Streckenzug setzt sich aus den Längen der drei Vektoren $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{CD}$ zusammen. Man berechnet die Vektoren und ihre Beträge.

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}-11\\11\\28\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\11\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-22\\0\\28\end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-22)^2+0^2+28^2}=\sqrt{1268}$

Aus Abbildung $2$ ist zu erkennen, dass der Betrag des Vektors $\overrightarrow{CD}$ gleich dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{AB}$ ist. (Der Vektor $\overrightarrow{CD}$ muss nicht extra berechnet werden.)

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}11\\-11\\28\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-11\\11\\28\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}22\\-22\\0\end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{22^2+(-22)^2+0^2}=\sqrt{968}$

Der Streckenzug setzt sich aus den Längen $2\cdot |\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|=2\cdot \sqrt{1268}+\sqrt{968}$ zusammen. Er hat etwa die Länge $102{,}33\;\mathrm{m}$.

Gleichung von $E$ in Koordinatenform

Die Vektoren $\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}11\\11\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-22\\0\\28\end{pmatrix}$ sind schon bekannt (Aufgabe $a$)). Der Vektor $\overrightarrow{AC}$ muss noch berechnet werden.

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}11\\-11\\28\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\11\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-22\\28\end{pmatrix}$

Dann gilt: $\vec n_E\circ \overrightarrow{AB}=0$ und $\vec n_E\circ \overrightarrow{AC}=0$

Man erhält zwei Gleichungen:

$\mathrm{(I)}: -22\cdot n_1+0\cdot n_2+28\cdot n_3=0$

$\mathrm{(II)}:\;\; 0\cdot n_1-22\cdot n_2+28\cdot n_3=0$

Rechne $\mathrm{(I)}-\mathrm{(II)}$:

$-22\cdot n_1+22\cdot n_2=0\;\Rightarrow\;n_1=n_2$

Wähle z.B.: $\boxed{n_1=n_2=14}\;\Rightarrow\;-22\cdot14+28\cdot n_3=0\;\Rightarrow\;\boxed{n_3=\dfrac{22\cdot 14}{28}=11}$

Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist $\vec n_{E}=\begin{pmatrix}14\\14\\11\end{pmatrix}$.

Die Ebenengleichung hat dann die Form $E:\;14 x_{1}+14 x_{2}+11 x_{3}=d$

Der Punkt $A(11|11|0)$ liegt dann in der Ebene, wenn $14 \cdot 11+14 \cdot 11+11 \cdot 0=d$ ist. $\;\Rightarrow\;d=308$

• Die Gleichung von $E$ in Koordinatenform lautet $14 x_{1}+14 x_{2}+11 x_{3}=308$.

Größe $\alpha$ des Winkels, unter dem $E$ die $x_{1} x_{2}$-Ebene schneidet

Für den Schnittwinkel zweier Ebenen gilt: ${\mathbf{cos}\;\mathbf\alpha\;\boldsymbol=\;\frac{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\;\boldsymbol\circ\;\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf m}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right|\boldsymbol\cdot\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf m}\right|}}$

Dabei sind $\vec n$ und $\vec m$ die Normalenvektoren der beiden Ebenen.

Die Ebene $E$ hat den Normalenvektor $\vec n=\begin{pmatrix}14\\14\\11\end{pmatrix}$ und $|\vec{n}|=\sqrt{14^2+14^2+11^2}=\sqrt{513}$.

Die $x_1x_2$-Ebene hat den Normalenvektor $\vec m=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ und $|\vec{m }|=1$.

Du hast die Gleichung $\cos(\varphi)=\frac{11}{\sqrt{513}}$ erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kann der Winkel $\varphi$ berechnet werden. Man benutzt auf dem TR die Funktion $\cos^{-1}(x)$.

$\varphi=\arccos(\frac{11}{\sqrt{513}})\approx 60{,}94^\circ$

Der Schnittwinkel $\varphi$, unter dem $E$ die $x_1x_2$-Ebene schneidet, beträgt rund $61^\circ$.

Geben Sie einen Term an, mit dem aus $\alpha$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur der Veranschaulichung.

Eingezeichnet sind die beiden Ebenen $E$ ($\textcolor{ff6600}{\text{orange}}$) und $F$ ($\textcolor{006400}{\text{grün}}$). Der Schnittwinkel, unter dem $E$ die $x_1x_2$-Ebene schneidet, ist der Winkel $\varphi$. Aus Symmetriegründen schneidet die Ebene $F$ die $x_1x_2$-Ebene unter dem gleichen Winkel $\varphi$.

Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper

Der pyramidenförmige Teilkörper ist eine dreiseitige Pyramide.

Für das Pyramidenvolumen gilt: $V_P=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$

Die Grundfläche der Pyramide $G$ ist die Hälfte der Grundfläche $A$ des Quaders:

$G=\dfrac{1}{2} \cdot A$.

Quader und Pyramide haben die gleiche Höhe $h$. Das Volumen des Quaders ist $V_Q=A\cdot h$.

$\;\Rightarrow\;V_P=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{1}{2} \cdot A\right)\cdot h=\dfrac{1}{6}\cdot A\cdot h=\dfrac{1}{6}\cdot V_Q$

Damit beträgt das gesuchte Verhältnis $1: 5$.

Möglicher Vektor, der die zu der Position gehörige Blickrichtung beschreibt

Blickt man in Richtung der $x_2$-Achse, so erscheint das Saarpolygon entsprechend der Abbildung $1$.

Ein möglicher Vektor für diese Blickrichtung ist der Vektor $\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}$ oder auch $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$.

Für die Abbildung $2$ muss man in Richtung einer Winkelhalbierenden der $x_1x_2$-Ebene blicken.

Ein möglicher Vektor für diese Blickrichtung ist der Vektor $\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$oder auch $\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$.

Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar

Blickt man von oben auf das Saarpolygon, so erhält man die untere Abbildung.

Oder auch in gedrehter Ansicht.

Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von $h$ zugrunde liegen

Mit Gleichung $\mathrm{i}$ wird ein Punkt $Q$ festgelegt, der auf der Strecke $\overline {AB}$ liegt (wegen $t\in [0;1]$).

Der Punkt $P(0|0|h)$ ist ein Punkt auf der $x_3$-Achse. Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ soll senkrecht auf der Strecke $\overline {AB}$ stehen (für den kürzesten Abstand der Punkte $P$ und $Q$). Das ist dann der Fall, wenn Gleichung $\mathrm{ii}$ erfüllt ist.

Die Länge von $\overline{PQ}$ ist der Abstand des Punktes $P$ von $Q$. Andererseits soll nach Aufgabenstellung der Punkt $P$ auch den gleichen Abstand zur Strecke $\overline {BC}$ haben.

Für die Punkte $B$ und $C$ ist $x_3=28$. Die $x_3$-Koordinate vom Punkt $P$ ist $h$. Der Abstand von $P$ zur Strecke $\overline {BC}$ ist dann gleich $28-h$, wie es Gleichung $\mathrm{iii}$ beschreibt.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur der Veranschaulichung.