Fünfjahreszeiträume

Dem Diagramm entnimmt man die erste Jahreszahl $1950$ mit $10$ Milliarden €.

$1955$ hat sich der Schuldenstand auf $21$ Milliarden € erhöht, also etwas mehr als verdoppelt.

Im weiteren Verlauf findet man dann das Jahr $1970$ mit $64$ Milliarden € und nach $5$ Jahren, also $1975$ einen Schuldenstand von $130$ Milliarden €, also etwas mehr als verdoppelt.

Exponentielle Regression

Wähle z.B. die exponentielle Regression $y=a\cdot e^{b\cdot x}$.

Übertrage alle Daten in eine Tabelle und lass Dir die entsprechenden Koeffizienten anzeigen.

Der TR liefert die Werte $a\approx1{,}15085\cdot10^{-76}$ und $b\approx1{,}09522\;$

$\Rightarrow\; y=1{,}15085\cdot10^{-76}\cdot e^{1{,}09522\cdot x}$

Ergebnis ist eine klassische e-Funktion mit unbegrenztem Schuldenwachstum. Es findet keine Schuldenbremse statt.

Logistische Regression

Wähle als weitere Möglichkeit die logistische Regression $y=\dfrac{c}{1+a\cdot e^{-b\cdot x}}$.

Der TR liefert die Werte $c\approx2938{,}15971$, $a\approx4{,}33448\cdot10^{89}$ und $b\approx0{,}10303$

$\Rightarrow\; y=\dfrac{2938{,}15971}{1+4{,}33448\cdot10^{89}\cdot e^{-0{,}10303\cdot x}}$

Ergebnis ist eine sich abflachende e-Funktion, die geeignet ist, den Schuldenstand mit einer Schuldenbremse darzustellen.

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

Die blauen Punkte sind der gegebene Datensatz. Der grüne Graph entspricht der exponentiellen Regression und der orangefarbige Graph der logistischen Regression.

Schuldenstand in Mrd. Euro zu Beginn des Jahres 2025 kann mit dem folgenden Term bestimmt werden: $1490+\displaystyle\int_{0}^{20} g(x)\; d x$

Die Funktion $𝑔$ gibt die Änderung des Schuldenstands in Milliarden € pro Jahr an.

Das Integral von $𝑔$ über ein Zeitintervall gibt die Gesamtzunahme der

Schulden in dem entsprechenden Zeitraum an.

$1490$ Milliarden € ist der Schuldenstand zu Beginn des Jahres $2005$.

Das Integral geht von $0$ (entspricht dem Jahr $2005$) bis $20$ (entspricht dem Jahr $2025$).

Die Summe von $1490$ und dem Integral gibt demnach den Schuldenstand zu Beginn des Jahres $2025$ an.

Skizze des Koordinatensystems

Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei $1490$.

Der Hochpunkt liegt an der Stelle der Nullstelle des Graphen von $𝑔$.

Nach dem Hochpunkt erfolgt annähernd eine lineare Abnahme.

Jahr in dem der erwartete Schuldenstand genauso hoch ist wie zu Beginn des Jahres 2005

Definiere die Funktion $f(x)= 1490+\displaystyle\int_{0}^{t} g(x)\; d x$

Löse dann die Gleichung $f(x)=1490$:

Das Ergebnis ist $t=26{,}8$ Jahre, d.h. wir sind dann im Jahr $2005+26{,}8=2031{,}8$.

Im Jahr $2031$ ist der zu erwartete Schuldenstand genauso hoch ist wie zu Beginn des Jahres $2005$.

Maximaler Schuldenstand sowie das Jahr, in dem dieser erreicht wird

Der Schuldenstand ist maximal, wenn die Änderungsrate gleich null ist.

$g(x)=235 \cdot e^{-0.25 x}-35=0$

Das Ergebnis ist $x\approx7{,}62$ Jahre.

Wir sind dann im Jahr $2005+7{,}62=2012{,}62$.

Im Jahr $2012$ ist der zu erwartete Schuldenstand maximal.

Er beträgt $f(7{,}62)= 1490+\displaystyle\int_{0}^{7{,}62} g(x)\; d x\approx2023{,}4$

Der maximale Schuldenstand beträgt etwa $2023{,}4$ Milliarden €.

Nachweis für $a \neq 0$, dass der maximale Funktionswert unabhängig vom Wert von $a$ ist

Berechne die 1. Ableitung der Funktion $h_a$.

$h_a'(x)=a\cdot(1-2ax)\cdot e^{2ax}$

Setze $h_a'(x)=0\;\Rightarrow\;0=a\cdot(1-2ax)\cdot e^{2ax}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt dann, dass $1-2ax=0$ sein muss, da $a\neq0$ und $e^{2ax}>0$ für alle $x$ ist.

$1-2ax=0\;\Rightarrow\;x=\dfrac{1}{2a}$

Berechne den maximalen Funktionswert an der Stelle $x=\dfrac{1}{2a}$:

Der maximale Funktionswert $h_{a}(x)=\dfrac{1}{2}\cdot e^1$ ist unabhängig von $a$.

y-Koordinate dieses gemeinsamen Punktes mithilfe einer Skizze ohne Berechnung der Geradengleichungen

Die Gerade geht durch den Schnittpunkt mit der $x$-Achse und den Hochpunkt $HP\left(\dfrac{1}{2a}\Big\vert\dfrac{1}{2}e\right)$ des zugehörigen Graphen zu $h_{a}$.

Benötigt wird der Schnittpunkt mit der $x$-Achse.

Berechne $h_a(x)=0$

$0=(1-ax)\cdot e^{2 \cdot a \cdot x}$

Wegen $e^{2ax}>0$ für alle $x$, muss $1-ax=0$ sein $\;\Rightarrow\;x=\dfrac{1}{a}$

Damit ergibt sich folgende Skizze:

Aus der Skizze ist ersichtlich, dass die Strecke $|\frac{1}{a}|$ doppelt so lang wie die Strecke $|\frac{1}{2a}|$ ist.

Mit den Strahlensätzen ist dann auch der y-Achsenabschnitt doppelt so lang wie die Strecke $|\frac{1}{2}e|$.

Die $y$-Koordinate dieses gemeinsamen Punktes auf der y-Achse ist dann gleich $e$.

Werte von $a$, für die der Graph der Ableitungsfunktion $h_{a}^{\prime}$ vollständig unterhalb des Graphen der Funktion $h_{a}$ liegt

Es ist $h_a(x)=(1-ax)\cdot e^{2 \cdot a \cdot x}$ und $h_a'(x)=a\cdot(1-2ax)\cdot e^{2ax}$.

Berechne $h_a(x)=h_a'(x)$:

Die Gleichung kann nur nach $x$ aufgelöst werden, nur wenn $a(1-2a)\neq 0$, d.h. $a\neq 0$ und $(1-2a)\neq 0$.

Man erhält keine Lösung für $a=0$ und für $1-2a=0\;\Rightarrow\;a=\dfrac{1}{2}$.

Es ist $a=0\;\Rightarrow\;h_0(x)=1$ und $h_0'(x)=0$, d.h. $h_0'(x)$ liegt ganz unterhalb von $h_0(x)$.

Es ist $a=\dfrac{1}{2}\;\Rightarrow\;$ $h_{\frac{1}{2}}(x)=(1-\frac{1}{2}x)\cdot e^{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x}=(1-\frac{1}{2}x)\cdot e^x=e^x-\frac{1}{2}xe^x$ und $h_{\frac{1}{2}}'(x)=\frac{1}{2}\cdot(1-2\frac{1}{2}x)\cdot e^{2\frac{1}{2}x}=\frac{1}{2}\cdot(1-x)\cdot e^x=\frac{1}{2}e^x-\frac{1}{2}xe^x$

Damit liegt $h_{\frac{1}{2}}'(x)$ stets unterhalb von $h_{\frac{1}{2}}(x)$, weil $\frac{1}{2}e^x$ stets kleiner als $e^x$ ist.

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

Dabei ist $h_{\frac{1}{2}}'(x)$ der schwarze Graph und $h_{\frac{1}{2}}(x)$ der orangefarbige Graph.