Erst Potenzgesetze, dann Ableiten

Hat ein Produkt aus Potenzen die gleiche Basis, so addiert man die Exponenten:

$f(x)=4e^{2x}\cdot e^{x^2}=4e^{2x+x^2}$

Jetzt braucht man nur die Kettenregel, da die Zahl 4 nur eine Konstante ist und im Exponenten nur eine Summe ist. Dabei ist $4e^x$ die äußere Funktion und $2x+x^2$ die innere:

$f'(x)=(2+2x)\cdot4e^{2x+x^2}=(8+8x)e^{2x+x^2}$

Ableiten mit der Produktregel

Da sowohl im Faktor $e^{2x}$ als auch im Faktor $e^{x^2}$ ein x vorkommt, braucht es neben der Kettenregel auch die Produktregel:

$f'(x)=2\cdot 4e^{2x}\cdot e^{x^2}+4e^{2x}\cdot 2x\cdot e^{x^2}$

Vereinfache den Term, um zu zeigen, dass er mit der anderen Ableitung übereinstimmt:

$f'(x)=2\cdot4e^{2x}\cdot e^{x^2}+4e^{2x}\cdot2x\cdot e^{x^2}=8e^{2x}\cdot e^{x^2}+8xe^{2x}\cdot e^{x^{2\ }}=e^{2x}\cdot e^{x^2}\cdot\left(8+8x\right)$