Erst Potenzgesetze, dann Ableiten

Hat ein Produkt aus Potenzen die gleiche Basis, so addiert man die Exponenten:

$f(x)=4e^{2x}\cdot e^{x^2}=4e^{2x+x^2}f(x)=4e^\{2x\}\backslash cdot\; e^\{x^2\}=4e^\{2x+x^2\}$

Jetzt braucht man nur die Kettenregel, da die Zahl 4 nur eine Konstante ist und im Exponenten nur eine Summe ist. Dabei ist $4e^{x}4e^x$ die äußere Funktion und $2x+x^{2}2x+x^2$ die innere:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(2+2x)\cdot 4e^{2x+x^2}=(8+8x)e^{2x+x^2}f\text{'}(x)=(2+2x)\backslash cdot4e^\{2x+x^2\}=(8+8x)e^\{2x+x^2\}$

Ableiten mit der Produktregel

Da sowohl im Faktor $e^{2x}e^\{2x\}$ als auch im Faktor $e^{x^2}e^\{x^2\}$ ein x vorkommt, braucht es neben der Kettenregel auch die Produktregel:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot 4e^{2x}\cdot e^{x^2}+4e^{2x}\cdot 2x\cdot e^{x^2}f\text{'}(x)=2\backslash cdot\; 4e^\{2x\}\backslash cdot\; e^\{x^2\}+4e^\{2x\}\backslash cdot\; 2x\backslash cdot\; e^\{x^2\}$

Vereinfache den Term, um zu zeigen, dass er mit der anderen Ableitung übereinstimmt:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot 4e^{2x}\cdot e^{x^2}+4e^{2x}\cdot 2x\cdot e^{x^2}=8e^{2x}\cdot e^{x^2}+8x{e}^{2x}\cdot e^{x^2}=e^{2x}\cdot e^{x^2}\cdot (8+8x)f\text{'}(x)=2\backslash cdot4e^\{2x\}\backslash cdot\; e^\{x^2\}+4e^\{2x\}\backslash cdot2x\backslash cdot\; e^\{x^2\}=8e^\{2x\}\backslash cdot\; e^\{x^2\}+8xe^\{2x\}\backslash cdot\; e^\{x^\{2\backslash \; \}\}=e^\{2x\}\backslash cdot\; e^\{x^2\}\backslash cdot\backslash left(8+8x\backslash right)$