Aufgaben zur Volumenberechnung

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Parallelotop}=\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$  .

$\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}\right|$

$=\left|5\cdot5\cdot5\right|=\left|125\right|=125$

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\7\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\7\\2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\0\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\6\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  $\mathrm{V}_{\mathrm{Parallelotop}}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)\right|$  .

$\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}5&0&1\\1&7&0\\1&2&6\end{pmatrix}\right|$

Benutze nun die Laplacesche Entwicklung nach 2. Spalte und berechne die daraus entstehenden  $2\times2-\mathrm{Matrizen}$  mit Hilfe der Formel  $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$  .

$\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}5&0&1\\1&7&0\\1&2&6\end{pmatrix}\right|=\left|0\cdot\begin{pmatrix}1&0\\1&6\end{pmatrix}+7\cdot\begin{pmatrix}5&1\\1&6\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}5&1\\1&0\end{pmatrix}\right|$

$=\left|7\cdot\left(30-1\right)-2\cdot\left(-1\right)\right|$

$=\left|203+2\right|=\left|205\right|=205$

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Parallelotop}=\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$  .

Benutze die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .

$\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}\right|$

$=\left|2\cdot2\cdot2\right|=\left|8\right|=8$

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\4\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Parallelotop}=\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$  .

$\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}2&-2&-2\\-2&2&-2\\-1&-1&4\end{pmatrix}\right|$

$=\left|16-4-4-4-4-16\right|\ =\ \left|-16\right|\ =\ 16$

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-5\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Parallelotop}=\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$  .

Nutze dann die Laplacesche Entwicklung nach 3. Spalte und berechne dann die  $2\times2-\mathrm{Matrix}$  mit Hilfe der Formel  $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$

$\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}-3&3&0\\0&7&0\\1&3&4\end{pmatrix}\right|$

$=\left|0\cdot\begin{pmatrix}0&7\\1&3\end{pmatrix}-0\cdot\begin{pmatrix}-3&3\\1&3\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3&3\\0&7\end{pmatrix}\right|$

Berechne die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Tetraeder}=\frac16\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$

$\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}6&0&0\\0&6&0\\0&0&6\end{vmatrix}$

Benutze nun die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .

Berechne die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\-3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Tetraeder}=\frac16\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$

$\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}0&1&2\\4&7&-1\\0&0&3\end{vmatrix}$

Verwende die Laplacesche Entwicklung nach der 1. Spalte und benutze die Eigenschaften der Determinante einer oberen Dreiecksmatrix .

$\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}0&1&2\\4&7&-1\\0&0&3\end{vmatrix}$$=\frac16\cdot\left|0\cdot\begin{pmatrix}7&-1\\0&3\end{pmatrix}-4\cdot\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1&2\\7&-1\end{pmatrix}\right|$

$=\frac16\cdot\left|-4\cdot\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\right|$

$=\frac16\cdot\left|-4\cdot3\right|$

$=\frac16\cdot\left|-12\right|=\frac{12}6=2$

Berechne die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\-3\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Tetraeder}=\frac16\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$ und wende die  Regel von Sarrus  an.

$\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}-1&2&1\\3&1&3\\-2&-3&1\end{vmatrix}$

$=\frac16\cdot\left|-1-12-9+2-9-6\right|$

$=\frac16\cdot\left|-35\right|=\frac{35}6$

Berechne die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\6\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\4\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\3\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\5\\-2{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2{,}5\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Tetraeder}=\frac16\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$

$\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}0&-4&1\\5&3&4\\-1&-1&-2{,}5\end{vmatrix}$

Wende die Laplacesche Entwicklung nach der 1. Spalte an.

Berechne dann die  $2\times2-\mathrm{Matrizen}$  mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$  .

$\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}0&-4&1\\5&3&4\\-1&-1&-2{,}5\end{vmatrix}$$=\frac16\cdot\left|0\cdot\begin{pmatrix}3&4\\-1&-2{,}5\end{pmatrix}-5\cdot\begin{pmatrix}-4&1\\-1&-2{,}5\end{pmatrix}+\left(-1\right)\cdot\begin{pmatrix}-4&1\\3&4\end{pmatrix}\right|$

$=\frac{1}{6}\cdot\left|-5\cdot\left(10+1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-16-3\right)\right|$

$=\frac{1}{6}\cdot\left|-55+19\right|$

$=\frac{1}{6}\cdot\left|-36\right|=6$

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AS}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AS}}=\overrightarrow{\mathrm S}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Pyramide}=\frac13\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$.

$\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}6&0&3\\0&6&3\\0&0&6\end{pmatrix}\right|$

Benutze die Eigenschaften der Determinante einer oberen Dreiecksmatrix .

$\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}6&0&3\\0&6&3\\0&0&6\end{pmatrix}\right|\\=\frac13\cdot\left|6\cdot6\cdot6\right|\\=\frac13\cdot\left|216\right|\\=72$

Berechne dazu die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ , $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AS}}$.

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\6\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm B}=\begin{pmatrix}-6\\5\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\6\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm C}=\begin{pmatrix}-6\\5\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AS}}=\overrightarrow{\mathrm S}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\-5\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Pyramide}=\frac13\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AS}}\right)\right|$.

$\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}-4&-2&-3\\-1&6&-1\\-2&0&-5\end{pmatrix}\right|$

Berechne die Determinante mit der Laplace-schen Entwicklung nach 2. Spalte.

$\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}-4&-2&-3\\-1&6&-1\\-2&0&-5\end{pmatrix}\right|\\=\frac13\cdot\left|-\left(-2\right)\cdot\begin{pmatrix}-1&-1\\-2&-5\end{pmatrix}+6\cdot\begin{pmatrix}-4&-3\\-2&-5\end{pmatrix}-0\cdot\begin{pmatrix}-4&-3\\-1&-1\end{pmatrix}\right|$

Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrizen}$ mit Hilfe der Formel  $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$.

$V=...=\frac13\cdot\left|2\cdot\left(5-2\right)+6\cdot\left(20-6\right)\right|$

$=\frac13\cdot\left|6+84\right|=\frac{90}3=30$

Gegeben:

$A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $C(0|6|0)$

$V=51\text{VE}$

Überlege dir die Volumenformel.

Vektoriell kannst du das Volumen auch über diese Formel bestimmen:

$G= A_{Dreieck}= \frac{1}{2} \ \left | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right |$

Bestimme zunächst die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}$

Setze in die Formel ein.