Die Anzahl der Nullstellen von $f_{k}f\_k$ in Abhängigkeit von $kk$

Gegeben ist $f_k(x)={\displaystyle \frac{x^2-k}{x+3}}f\_k(x)=\; \backslash dfrac\{x^2-k\}\{x+3\}$:

Die Nullstellen von $f_k(x)f\_k(x)$ sind die Nullstellen des Zählers für $x\mathrm{\ne }-3x\backslash neq\; -3$.

$k>0\Rightarrow k>0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$es gibt 2 Nullstellen $x_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{k}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash pm\backslash sqrt\{k\}$

$k=0\Rightarrow k=0\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ es gibt 1 Nullstelle $x=0x=0$

es gibt keine Nullstellen

Die Funktion $f_{0}f\_0$ der Schar hat eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel

$k=0\Rightarrow f_0(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x+3}}k=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f\_0(x)=\backslash dfrac\{x^2\}\{x+3\}$$\Rightarrow x^2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x^2=0$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$ Es gibt eine Nullstelle $x=0x=0$ ohne Vorzeichenwechsel (Berührpunkt mit der x-Achse im Ursprung), da der Zähler von $f_{k}f\_k$ einen geraden Exponenten hat.

Begründe, dass $G_{k}G\_k$ für $k>9k\backslash gt9$ keine Extrempunkte besitzt

Gegeben ist $f_k^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x+k}{(x+3{)}^2}}f\text{'}\_k(x)=\backslash dfrac\{x^2+6x+k\}\{(x+3)^2\}$:

Für einen Extrempunkt muss $f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}\_k(x)=0$ sein:

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel:

Für $k>9k\backslash gt9$ ist der Radikand negativ, d.h. es gibt keine Lösung für die quadratische Gleichung und damit besitzt $f_{k}f\_k$ für $k>9k\backslash gt9$ keine Extrempunkte.

Zeige, dass die Tangente $t_{k}t\_k$ die Steigung ${\displaystyle \frac{k}{9}}\backslash dfrac\{k\}\{9\}$ hat

Die Tangente an $G_{k}G\_k$ im Punkt $(0\mathrm{\mid }{f}_k(0))(0|f\_k(0))$ soll die Steigung ${\displaystyle \frac{k}{9}}\backslash dfrac\{k\}\{9\}$ haben.

Es ist $f_k^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x+k}{(x+3{)}^2}}f\text{'}\_k(x)=\backslash dfrac\{x^2+6x+k\}\{(x+3)^2\}$.

Dann folgt:

$f_k^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{0^2+6\cdot 0+k}{(0+3{)}^2}}={\displaystyle \frac{k}{9}}f\text{'}\_k(0)=\backslash dfrac\{0^2+6\backslash cdot\; 0+k\}\{(0+3)^2\}=\backslash dfrac\{k\}\{9\}$

Die Tangente an $G_{k}G\_k$ im Punkt $(0\mathrm{\mid }{f}_k(0))(0|f\_k(0))$ hat die Steigung ${\displaystyle \frac{k}{9}}\backslash dfrac\{k\}\{9\}$.

Bestimme denjenigen Wert von $kk$, für den $t_{k}t\_k$ senkrecht zur Geraden mit der Gleichung $y=x-3y=x-3$ steht

$t_k\perp yt\_k\; \backslash perp\; y$, wenn $m_{t_k}\cdot m_y=-1m\_\{t\_k\}\backslash cdot\; m\_y=-1$ ist.

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{k}{9}}\cdot 1=-1\Rightarrow k=-9\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{k\}\{9\}\backslash cdot\; 1=-1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;k=-9$

Für $k=-9k=-9$ steht $t_{k}t\_k$ senkrecht zur Geraden mit der Gleichung $y=x-3y=x-3$.

Gib eine Gleichung von $t_{k}t\_k$ an

Allgemeine Tangentengleichung:

$y_T=m_T\cdot x+by\_T=m\_T\backslash cdot\; x+b$

Mit $m_T={\displaystyle \frac{k}{9}}m\_T=\backslash dfrac\{k\}\{9\}$, dem Punkt $(0\mathrm{\mid }{f}_k(0))(0|f\_k(0))$, d.h. $f_k(0)={\displaystyle \frac{0^2-k}{0+3}}=-{\displaystyle \frac{k}{3}}f\_k(0)=\; \backslash dfrac\{0^2-k\}\{0+3\}=-\backslash dfrac\{k\}\{3\}$ folgt dann:

$t_k:y={\displaystyle \frac{k}{9}}\cdot x+bt\_k:\; y=\backslash dfrac\{k\}\{9\}\backslash cdot\; x+b$

Setze den Punkt $(0\mid -{\displaystyle \frac{k}{3}})\backslash left(0\backslash Big\backslash vert-\backslash dfrac\{k\}\{3\}\backslash right)$ in $t_{k}t\_k$ ein:

$-{\displaystyle \frac{k}{3}}={\displaystyle \frac{k}{9}}\cdot 0+b\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{k}{3}}-\backslash dfrac\{k\}\{3\}=\backslash dfrac\{k\}\{9\}\backslash cdot\; 0+b\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;b=-\backslash dfrac\{k\}\{3\}$

Die Tangentengleichung lautet dann:

Es gibt einen Punkt, der für alle $k\in \mathbb{R}\mathrm{\backslash }\{9\}k\backslash in\backslash mathbb\{R\}\backslash backslash\backslash \{9\backslash \}$ auf $t_{k}t\_k$ liegt

Es ist $t_k:y={\displaystyle \frac{k}{9}}\cdot x-{\displaystyle \frac{k}{3}}t\_k:\; y=\backslash dfrac\{k\}\{9\}\backslash cdot\; x-\backslash dfrac\{k\}\{3\}$.

Für welchen Wert von $xx$ erhält man immer dasselbe Ergebnis unabhängig von $kk$?

Schreibe ${\displaystyle y=\frac{k}{9}\cdot x-\frac{k}{3}=\frac{k}{9}(x-3)}\backslash displaystyle\; y=\backslash frac\{k\}\{9\}\backslash cdot\; x-\backslash frac\{k\}\{3\}=\backslash frac\{k\}\{9\}(x-3)$. Damit dieser Ausdruck unabhängig von $kk$ ist, muss $x=3x=3$ sein. Dann ist immer $y=0y=0$.

Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten $(3\mathrm{\mid }0)(3|0)$ und liegt für alle $k\in \mathbb{R}\mathrm{\backslash }\{9\}k\backslash in\backslash mathbb\{R\}\backslash backslash\backslash \{9\backslash \}$ auf $t_{k}t\_k$.