Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen als Hilfsmittel verwendet werden.

• die vom Staatsministerium genehmigte Merkhilfe für das Fach Mathematik,

• eine der vom Staatsministerium zugelassenen stochastischen Tabellen,

• eine der vom Staatsministerium für Leistungserhebungen zugelassenen naturwissenschaftlichen Formelsammlungen,

• ein Taschenrechner, der den vom Staatsministerium getroffenen Regelungen

entspricht.

Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $G$ der in $\mathbb{R}\backslash\{-3\}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=x-3+\dfrac{5}{x+3}$ . $G$ hat genau einen Tiefpunkt $T$ .

Die Geraden mit den Gleichungen $x = - 3$ und $y = x - 3$ haben eine
besondere Bedeutung für $G$ . Zeichnen Sie die beiden Geraden in die
Abbildung ein und geben Sie diese Bedeutung an. Geben Sie zudem die
Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptote
Zeichnen Sie die beiden Geraden in die Abbildung ein
Geben Sie die Bedeutung der beiden Graphen an
Die Gerade $x = - 3$ ist eine senkrechte Asymptote bei der Definitionslücke und die Gerade $y = x - 3$ ist eine schiefe Asymptote für $x\to\pm\infty$ .
Die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden angeben
Die beiden Geraden schneiden sich für $x = - 3$ .
Setze $x = - 3$ in die Geradengleichung $y = x - 3$ ein:
$\Rightarrow\;y=-3-3=-6$
Der Schnittpunkt der beiden Geraden hat somit die Koordinaten $S (- 3 ∣ - 6)$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Teil 1
Zeichne die beiden Geraden in die Abbildung ein.
Teil 2
Die Geraden sind Asymptoten. Gib eine genauere Bezeichnung an.
Teil 3
Die beiden Geraden schneiden sich für $x = - 3$ . Setze $x = - 3$ in die zweite Geradengleichung ein.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G$ mit der y-Achse.

Begründen Sie anhand des gegebenen Terms von $f$ , dass $G$ für $x\gt-3$

oberhalb der Gerade mit der Gleichung $y = x - 3$ verläuft.

Weisen Sie nach, dass $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x+3}$ gilt, indem Sie den Term $x-3+\dfrac{5}{x+3}$

geeignet umformen, und begründen Sie, dass $f$ genau die Nullstellen $- 2$ und $2$ hat.

Ermitteln Sie rechnerisch einen Term der ersten Ableitungsfunktion $f^{'}$ von $f$ und berechnen Sie die x-Koordinate von $T$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

Term der ersten Ableitungsfunktion f'

Gegeben ist $f(x)=x-3+\dfrac{5}{x+3}=x-3+5\cdot(x+3)^{-1}$

Leite nach den Regeln für Potenzfunktionen ab:

\displaystyle f'(x)=1-5\cdot (x+3)^{-2}=1-\dfrac{5}{(x+3)^2}

Berechne die x-Koordinate von $T$

$f^{'} (x) = 0$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1-\dfrac{5}{(x+3)^2}$	$\displaystyle +\dfrac{5}{(x+3)^2}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle \dfrac{5}{(x+3)^2}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot (x+3)^2$
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle (x+3)^2$
	↓	Berechne das Quadrat.
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+9$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+4$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = 6$ und $q = 4$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-4}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -3\pm\sqrt{9-4}$
	$=$	$\displaystyle -3\pm\sqrt{5}$

Die beiden Lösungen sind $x_1=-3-\sqrt{5}\approx-5{,}24$ und $x_2=-3+\sqrt{5}\approx-0{,}76$ .

Da in der gegebenen Abbildung die x-Koordinate des Tiefpunkts etwa $- 0,8$ beträgt, ist $x_2=-3+\sqrt{5}$ die gesuchte Lösung.

$\Rightarrow\;TP\left(-3+\sqrt{5}\;|\;f(-3+\sqrt{5})\right)$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \;\mathrm{d}x$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Näherungswert für das Integral $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \;\mathrm{d}x$
Zählt man die kleinen Kästchen (Seitenlänge $0{,}5 \; \text{LE}$ ) unterhalb der x-Achse, so kommt man auf etwa $16$ Kästchen.
Da $4$ kleine Kästchen $1\; \text{FE}$ ergeben, erhält man also $\dfrac{16}{4}=4\; \text{FE}$ .
Da sich die Fläche unterhalb der x-Achse befindet, erhält man als Näherungswert für das Integral $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \;\mathrm{d}x\approx-4$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Zähle die kleinen Kästchen (Seitenlänge $0{,}5 \; \text{LE}$ ) unterhalb der x-Achse, beachte dabei, dass $4$ kleine Kästchen $1\; \text{FE}$ ergeben.
Beachte außerdem, dass sich die Fläche unterhalb der x-Achse befindet.

Betrachtet wird die in $]−3;+\infty[$ definierte Integralfunktion $J: x\mapsto \displaystyle\int_{-2}^{x} f(t)\; \mathrm{d}t$ .

Begründen Sie, dass die in $]−3;+\infty[$ definierte Funktion

$F:x\mapsto \dfrac{1}{2}x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)$ für $x\gt -3$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

Zeigen Sie damit, dass $\lim\limits_{x \rightarrow -3}J(x)=-\infty$ gilt, und deuten Sie diese Aussage geometrisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion

$F$ ist eine Stammfunktion von $f$

Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann muss $F^{'} (x) = f (x)$ sein.

$\displaystyle F(x)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)$
	↓	Bilde die erste Ableitung.
$\displaystyle F'(x)$	$=$	$\displaystyle x-3+5\cdot\dfrac{1}{x+3}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle x-3+\dfrac{5}{x+3}$
$\displaystyle F'(x)$	$=$	$\displaystyle f(x)\;\checkmark$

Zeige damit, dass $\lim\limits_{x \rightarrow -3}J(x)=-\infty$ gilt

Wegen $]−3;+\infty[$ geht der Grenzwert gegen $- 3^{+}$ .

Zu zeigen ist also $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}J(x)=-\infty$ .

Es ist $J(x)= \displaystyle\int_{-2}^{x} f(t)\; \mathrm{d}t=F(x)-F(-2)$

Betrachte $F (x) - F (- 2)$ :

$F(x)-F(-2)= \underbrace{0{,}5x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)}_{F(x)}-\underbrace{(2+6+5\cdot 0)}_{F(-2)}$

$\Rightarrow\;F(x)-F(2)=0{,}5x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)-8$

Untersuche nun das Verhalten des Terms $0{,}5x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)-8$ für $x \rightarrow -3^+$ :

$\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}0{,}5x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)-8=\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}\underbrace{0{,}5x^2}_{\rightarrow 4{,}5}\underbrace{-3x}_{\rightarrow+9}+\underbrace{5\cdot \ln(\underbrace{x+3}_{\rightarrow 0^+})}_{\rightarrow -\infty}-8=-\infty$

Damit ist gezeigt, dass $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}J(x)=-\infty$ ist.

Deute diese Aussage geometrisch

In der Abbildung ist die Fläche $A_{1}$ markiert.

Gezeigt wurde $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}J(x)=-\infty$ mit $J(x)= \displaystyle\int_{-2}^{x} f(t)\; \mathrm{d}t$

Die markierte Fläche $A_{1}$ ist somit unendlich groß.

Sie hat keinen endlichen Flächeninhalt. Der Graph schneidet die senkrechte Asymptote nicht.

Anmerkung: Beachte $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\; \mathrm{d}x=- \displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\; \mathrm{d}x$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass $J$ mindestens zwei Nullstellen besitzt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralfunktion
$J$ besitzt mindestens zwei Nullstellen
Jede Integralfunktion $F(x)= \displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\; \mathrm{d}t$ hat an der Stelle $x = a$ eine Nullstelle, also besitzt jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle.
$J$ hat also eine Nullstelle für $x_{1} = - 2$ .
Eine zweite Nullstelle kann man finden, wenn man sich den Verlauf des Graphens von $f$ ansieht.
In der obigen Abbildung sind zwei Flächen gekennzeichnet, $A_{2}$ und $A_{3}$ .
Beide Flächen haben den gleichen Flächeninhalt, sodass die Flächenbilanz null ist. Bei $x_{2}$ liegt demnach die zweite Nullstelle von $J$ .
Hinweis:
Im Bereich von $- 3 < x < - 2$ gibt es ein weiteres Flächenstück, das den gleichen Flächeninhalt wie $A_{2}$ hat.
Allerdings ergibt hier das Integral $J(x)= \displaystyle\int_{-2}^{-2{,}81} f(t)\; \mathrm{d}t\approx -4$ , sodass sich die beiden Integrale nicht gegenseitig aufheben.
Es gibt also keine weitere Nullstelle von $J (x)$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Teil 1
Jede Integralfunktion $F(x)= \displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\; \mathrm{d}t$ hat an der Stelle $x = a$ eine Nullstelle.
Teil 2
Eine zweite Nullstelle kann man finden, wenn man sich den Verlauf des Graphens von $f$ ansieht. Gesucht ist eine Stelle $x_{2} > 2$ , sodass die beiden Flächen von $- 2$ bis $2$ (unterhalb der x-Achse) und von $2$ bis $x_{2} > 2$ (oberhalb der x-Achse) den gleichen Flächeninhalt haben. Die Flächenbilanz ist dann gleich null.

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}\backslash\{-3\}$ definierten Funktionen

$f_k: x\mapsto \dfrac{x^2-k}{x+3}$ mit $k\in\mathbb{R}\backslash\{9\}$ . Der Graph von $f_{k}$ wird mit $G_{k}$ bezeichnet. Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 ist somit die Funktion $f_{4}$ dieser Schar.

Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_{k}$ in Abhängigkeit von $k$ an und
begründen Sie, dass die Funktion $f_{0}$ der Schar eine Nullstelle ohne
Vorzeichenwechsel hat.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die Anzahl der Nullstellen von $f_{k}$ in Abhängigkeit von $k$
Gegeben ist $f_k(x)= \dfrac{x^2-k}{x+3}$ :
Die Nullstellen von $f_{k} (x)$ sind die Nullstellen des Zählers für $x\neq -3$ .
$k>0\;\Rightarrow\;$ es gibt 2 Nullstellen $x_{1{,}2}=\pm\sqrt{k}$
$k=0 \;\Rightarrow\;$ es gibt 1 Nullstelle $x = 0$
$k<0\;\Rightarrow\;$ es gibt keine Nullstellen
Die Funktion $f_{0}$ der Schar hat eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel
$k=0\;\Rightarrow\;f_0(x)=\dfrac{x^2}{x+3}$ $\;\Rightarrow\;x^2=0$
$\Rightarrow\;$ Es gibt eine Nullstelle $x = 0$ ohne Vorzeichenwechsel (Berührpunkt mit der x-Achse im Ursprung), da der Zähler von $f_{k}$ einen geraden Exponenten hat.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Teil 1
Die Nullstellen von $f_{k} (x)$ sind die Nullstellen des Zählers für $x\neq -3$ .
Untersuche die Nullstellen des Zählers für verschiedene k-Werte.
Teil 2
Für $k = 0$ verbleibt ein quadratischer Term im Zähler.

Für die erste Ableitungsfunktion von $f_{k}$ gilt

$f'_k(x)=\dfrac{x^2+6x+k}{(x+3)^2}$

Begründen Sie, dass $G_{k}$ für $k\gt9$ keine Extrempunkte besitzt.

Die Tangente an $G_{k}$ im Punkt $(0 ∣ f_{k} (0))$ wird mit $t_{k}$ bezeichnet.
Zeigen Sie, dass $t_{k}$ die Steigung $\dfrac{k}{9}$ hat, und bestimmen Sie denjenigen Wert von $k$ , für den $t_{k}$ senkrecht zur Gerade mit der Gleichung $y = x - 3$ steht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Zeige, dass die Tangente $t_{k}$ die Steigung $\dfrac{k}{9}$ hat
Die Tangente an $G_{k}$ im Punkt $(0 ∣ f_{k} (0))$ soll die Steigung $\dfrac{k}{9}$ haben.
Es ist $f'_k(x)=\dfrac{x^2+6x+k}{(x+3)^2}$ .
Dann folgt:
$f'_k(0)=\dfrac{0^2+6\cdot 0+k}{(0+3)^2}=\dfrac{k}{9}$
Die Tangente an $G_{k}$ im Punkt $(0 ∣ f_{k} (0))$ hat die Steigung $\dfrac{k}{9}$ .
Bestimme denjenigen Wert von $k$ , für den $t_{k}$ senkrecht zur Geraden mit der Gleichung $y = x - 3$ steht
$t_k \perp y$ , wenn $m_{t_k}\cdot m_y=-1$ ist.
$\;\Rightarrow\;\dfrac{k}{9}\cdot 1=-1\;\Rightarrow\;k=-9$
Für $k = - 9$ steht $t_{k}$ senkrecht zur Geraden mit der Gleichung $y = x - 3$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
In Aufgabe b) ist $f_{k}^{'} (x)$ gegeben.
Berechne $f_{k}^{'} (0)$ .
Geben Sie eine Gleichung von $t_{k}$ an und beurteilen Sie folgende Aussage:
Es gibt einen Punkt, der für alle $k\in\mathbb{R}\backslash\{9\}$ auf $t_{k}$ liegt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Gib eine Gleichung von $t_{k}$ an
Allgemeine Tangentengleichung:
$y_T=m_T\cdot x+b$
Mit $m_T=\dfrac{k}{9}$ , dem Punkt $(0 ∣ f_{k} (0))$ , d.h. $f_k(0)= \dfrac{0^2-k}{0+3}=-\dfrac{k}{3}$ folgt dann:
$t_k: y=\dfrac{k}{9}\cdot x+b$
Setze den Punkt $\left(0\Big\vert-\dfrac{k}{3}\right)$ in $t_{k}$ ein:
$-\dfrac{k}{3}=\dfrac{k}{9}\cdot 0+b\;\Rightarrow\;b=-\dfrac{k}{3}$
Die Tangentengleichung lautet dann:
$\displaystyle t_k: y=\dfrac{k}{9}\cdot x-\dfrac{k}{3}$
Es gibt einen Punkt, der für alle $k\in\mathbb{R}\backslash\{9\}$ auf $t_{k}$ liegt
Es ist $t_k: y=\dfrac{k}{9}\cdot x-\dfrac{k}{3}$ .
Für welchen Wert von $x$ erhält man immer dasselbe Ergebnis unabhängig von $k$ ?
Schreibe $\displaystyle y=\frac{k}{9}\cdot x-\frac{k}{3}=\frac{k}{9}(x-3)$ . Damit dieser Ausdruck unabhängig von $k$ ist, muss $x = 3$ sein. Dann ist immer $y = 0$ .
Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten $(3 ∣ 0)$ und liegt für alle $k\in\mathbb{R}\backslash\{9\}$ auf $t_{k}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Teil 1
Allgemeine Tangentengleichung: $y_T=m_T\cdot x+b$
Mit $m_T=\dfrac{k}{9}$ und dem Punkt $(0 ∣ f_{k} (0))$ kann dann $b$ berechnet werden.
Teil 2
Für welchen Wert von $x$ erhält man immer dasselbe Ergebnis unabhängig von $k$ ?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$\displaystyle x-3+\frac{5}{x+3}$
	↓ Erweitere mit dem Hauptnenner $(x + 3)$ .
$=$	$\displaystyle x\cdot\dfrac{(x+3)}{(x+3)}-3\cdot\dfrac{(x+3)}{(x+3)}+\dfrac{5}{x+3}$
	↓ Schreibe auf einen Nenner.
$=$	$\displaystyle \dfrac{x\cdot(x+3)-3\cdot(x+3)+5}{x+3}$
	↓ Löse die Klammern auf.
$=$	$\displaystyle \dfrac{x^2+3x-3x-9+5}{x+3}$
	↓ Vereinfache.
$=$	$\displaystyle \dfrac{x^2-4}{x+3}$

Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Zeichnen Sie die beiden Geraden in die Abbildung ein

Geben Sie die Bedeutung der beiden Graphen an

Die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden angeben

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von $G$ mit der y-Achse

$G$ verläuft für $x\gt-3$ oberhalb der Geraden mit der Gleichung $y = x - 3$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige $\dfrac{x^2-4}{x+3}$ ist gleich $x-3+\dfrac{5}{x+3}$

Begründe, dass $f$ genau die Nullstellen $- 2$ und $2$ hat

Hast du eine Frage oder Feedback?

Term der ersten Ableitungsfunktion f'

Berechne die x-Koordinate von $T$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Näherungswert für das Integral $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \;\mathrm{d}x$

Hast du eine Frage oder Feedback?

$F$ ist eine Stammfunktion von $f$

Zeige damit, dass $\lim\limits_{x \rightarrow -3}J(x)=-\infty$ gilt

Deute diese Aussage geometrisch

Hast du eine Frage oder Feedback?

$J$ besitzt mindestens zwei Nullstellen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Die Anzahl der Nullstellen von $f_{k}$ in Abhängigkeit von $k$

Die Funktion $f_{0}$ der Schar hat eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel

Hast du eine Frage oder Feedback?

Begründe, dass $G_{k}$ für $k\gt9$ keine Extrempunkte besitzt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige, dass die Tangente $t_{k}$ die Steigung $\dfrac{k}{9}$ hat

Bestimme denjenigen Wert von $k$ , für den $t_{k}$ senkrecht zur Geraden mit der Gleichung $y = x - 3$ steht

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib eine Gleichung von $t_{k}$ an

Es gibt einen Punkt, der für alle $k\in\mathbb{R}\backslash\{9\}$ auf $t_{k}$ liegt

Hast du eine Frage oder Feedback?

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x-3+\dfrac{5}{x+3}$
	↓	Setze $x = 0$ ein.
$\displaystyle f\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle 0-3+\dfrac{5}{0+3}$
	$=$	$\displaystyle -3+\dfrac{5}{3}$
	↓	HN ist $3$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-9+5}{3}$
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{4}{3}$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \dfrac{x^2+6x+k}{(x+3)^2}$	$\displaystyle \cdot(x+3)^2$
	↓	Wegen $x\neq -3$ darf mit dem Nenner multipliziert werden.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+k$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = 6$ und $q = k$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-k}$
	$=$	$\displaystyle -3\pm\sqrt{9-k}$

Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Zeichnen Sie die beiden Geraden in die Abbildung ein

Geben Sie die Bedeutung der beiden Graphen an

Die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden angeben

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von GGG mit der y-Achse

GGG verläuft für x>−3x\gt-3x>−3 oberhalb der Geraden mit der Gleichung y=x−3y=x-3y=x−3

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige x2−4x+3\dfrac{x^2-4}{x+3}x+3x2−4​ ist gleich x−3+5x+3x-3+\dfrac{5}{x+3}x−3+x+35​

Begründe, dass fff genau die Nullstellen −2−2−2 und 222 hat

Hast du eine Frage oder Feedback?

Term der ersten Ableitungsfunktion f'

Berechne die x-Koordinate von TTT

Hast du eine Frage oder Feedback?

Näherungswert für das Integral ∫−22f(x) dx\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \;\mathrm{d}x∫−22​f(x)dx

Hast du eine Frage oder Feedback?

FFF ist eine Stammfunktion von fff

Zeige damit, dass lim⁡x→−3J(x)=−∞\lim\limits_{x \rightarrow -3}J(x)=-\inftyx→−3lim​J(x)=−∞ gilt

Deute diese Aussage geometrisch

Hast du eine Frage oder Feedback?

JJJ besitzt mindestens zwei Nullstellen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Die Anzahl der Nullstellen von fkf_kfk​ in Abhängigkeit von kkk

Die Funktion f0f_0f0​ der Schar hat eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel

Hast du eine Frage oder Feedback?

Begründe, dass GkG_kGk​ für k>9k\gt9k>9 keine Extrempunkte besitzt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige, dass die Tangente tkt_ktk​ die Steigung k9\dfrac{k}{9}9k​ hat

Bestimme denjenigen Wert von kkk, für den tkt_ktk​ senkrecht zur Geraden mit der Gleichung y=x−3y=x-3y=x−3 steht

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib eine Gleichung von tkt_ktk​ an

Es gibt einen Punkt, der für alle k∈R\{9}k\in\mathbb{R}\backslash\{9\}k∈R\{9} auf tkt_ktk​ liegt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von $G$ mit der y-Achse

$G$ verläuft für $x\gt-3$ oberhalb der Geraden mit der Gleichung $y = x - 3$

Zeige $\dfrac{x^2-4}{x+3}$ ist gleich $x-3+\dfrac{5}{x+3}$

Begründe, dass $f$ genau die Nullstellen $- 2$ und $2$ hat

Berechne die x-Koordinate von $T$

Näherungswert für das Integral $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \;\mathrm{d}x$

$F$ ist eine Stammfunktion von $f$

Zeige damit, dass $\lim\limits_{x \rightarrow -3}J(x)=-\infty$ gilt

$J$ besitzt mindestens zwei Nullstellen

Die Anzahl der Nullstellen von $f_{k}$ in Abhängigkeit von $k$

Die Funktion $f_{0}$ der Schar hat eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel

Begründe, dass $G_{k}$ für $k\gt9$ keine Extrempunkte besitzt

Zeige, dass die Tangente $t_{k}$ die Steigung $\dfrac{k}{9}$ hat

Bestimme denjenigen Wert von $k$ , für den $t_{k}$ senkrecht zur Geraden mit der Gleichung $y = x - 3$ steht

Gib eine Gleichung von $t_{k}$ an

Es gibt einen Punkt, der für alle $k\in\mathbb{R}\backslash\{9\}$ auf $t_{k}$ liegt