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Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen GG der in R\{−3}\mathbb{R}\backslash\{-3\} definierten Funktion ff mit f(x)=x−3+5x+3f(x)=x-3+\dfrac{5}{x+3}. GG hat genau einen Tiefpunkt TT.

Bild
  1. Die Geraden mit den Gleichungen x=−3x=-3 und y=x−3y=x-3 haben eine

    besondere Bedeutung fĂŒr GG. Zeichnen Sie die beiden Geraden in die

    Abbildung ein und geben Sie diese Bedeutung an. Geben Sie zudem die

    Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden an.

  2. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GG mit der y-Achse.

    BegrĂŒnden Sie anhand des gegebenen Terms von ff, dass GG fĂŒr x>−3x\gt-3

    oberhalb der Gerade mit der Gleichung y=x−3y=x-3 verlĂ€uft.

  3. Weisen Sie nach, dass f(x)=x2−4x+3f(x)=\dfrac{x^2-4}{x+3} gilt, indem Sie den Term x−3+5x+3x-3+\dfrac{5}{x+3}

    geeignet umformen, und begrĂŒnden Sie, dass ff genau die Nullstellen −2−2 und 22 hat.

  4. Ermitteln Sie rechnerisch einen Term der ersten Ableitungsfunktion fâ€Čf' von ff und berechnen Sie die x-Koordinate von TT.

  5. Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen NĂ€herungswert fĂŒr das Integral ∫−22f(x)  dx\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \;\mathrm{d}x.

  6. Betrachtet wird die in ]−3;+∞[]−3;+\infty[ definierte Integralfunktion J:x↊∫−2xf(t)  dtJ: x\mapsto \displaystyle\int_{-2}^{x} f(t)\; \mathrm{d}t.

    BegrĂŒnden Sie, dass die in ]−3;+∞[]−3;+\infty[ definierte Funktion

    F:x↩12x2−3x+5⋅ln⁥(x+3)F:x\mapsto \dfrac{1}{2}x^2-3x+5\cdot \ln(x+3) fĂŒr x>−3x\gt -3 eine Stammfunktion von ff ist.

    Zeigen Sie damit, dass lim⁡x→−3J(x)=−∞\lim\limits_{x \rightarrow -3}J(x)=-\infty gilt, und deuten Sie diese Aussage geometrisch.

  7. BegrĂŒnden Sie ohne weitere Rechnung, dass JJ mindestens zwei Nullstellen besitzt.