Zeige damit, dass lim ⥠x â â 3 J ( x ) = â â \lim\limits_{x \rightarrow -3}J(x)=-\inftyx â â 3 lim â J ( x ) = â â gilt Wegen ] â 3 ; + â [ ]â3;+\infty[] â 3 ; + â [ geht der Grenzwert gegen â 3 + -3^+â 3 + .
Zu zeigen ist also lim ⥠x â â 3 + J ( x ) = â â \lim\limits_{x \rightarrow -3^+}J(x)=-\inftyx â â 3 + lim â J ( x ) = â â .
Es ist J ( x ) = â« â 2 x f ( t ) â
â d t = F ( x ) â F ( â 2 ) J(x)= \displaystyle\int_{-2}^{x} f(t)\; \mathrm{d}t=F(x)-F(-2)J ( x ) = â« â 2 x â f ( t ) d t = F ( x ) â F ( â 2 )
Betrachte F ( x ) â F ( â 2 ) F(x)-F(-2)F ( x ) â F ( â 2 ) :
F ( x ) â F ( â 2 ) = 0,5 x 2 â 3 x + 5 â
ln ⥠( x + 3 ) â F ( x ) â ( 2 + 6 + 5 â
0 ) â F ( â 2 ) F(x)-F(-2)= \underbrace{0{,}5x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)}_{F(x)}-\underbrace{(2+6+5\cdot 0)}_{F(-2)}F ( x ) â F ( â 2 ) = F ( x ) 0 , 5 x 2 â 3 x + 5 â
ln ( x + 3 ) â â â F ( â 2 ) ( 2 + 6 + 5 â
0 ) â â
â â
â F ( x ) â F ( 2 ) = 0,5 x 2 â 3 x + 5 â
ln ⥠( x + 3 ) â 8 \Rightarrow\;F(x)-F(2)=0{,}5x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)-8â F ( x ) â F ( 2 ) = 0 , 5 x 2 â 3 x + 5 â
ln ( x + 3 ) â 8
Untersuche nun das Verhalten des Terms 0,5 x 2 â 3 x + 5 â
ln ⥠( x + 3 ) â 8 0{,}5x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)-80 , 5 x 2 â 3 x + 5 â
ln ( x + 3 ) â 8 fĂŒr x â â 3 + x \rightarrow -3^+x â â 3 + :
lim ⥠x â â 3 + 0,5 x 2 â 3 x + 5 â
ln ⥠( x + 3 ) â 8 = lim ⥠x â â 3 + 0,5 x 2 â â 4,5 â 3 x â â + 9 + 5 â
ln ⥠( x + 3 â â 0 + ) â â â â â 8 = â â \lim\limits_{x \rightarrow -3^+}0{,}5x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)-8=\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}\underbrace{0{,}5x^2}_{\rightarrow 4{,}5}\underbrace{-3x}_{\rightarrow+9}+\underbrace{5\cdot \ln(\underbrace{x+3}_{\rightarrow 0^+})}_{\rightarrow -\infty}-8=-\inftyx â â 3 + lim â 0 , 5 x 2 â 3 x + 5 â
ln ( x + 3 ) â 8 = x â â 3 + lim â â 4 , 5 0 , 5 x 2 â â â + 9 â 3 x â â + â â â 5 â
ln ( â 0 + x + 3 â â ) â â â 8 = â â
Damit ist gezeigt, dass lim ⥠x â â 3 + J ( x ) = â â \lim\limits_{x \rightarrow -3^+}J(x)=-\inftyx â â 3 + lim â J ( x ) = â â ist.
In der Abbildung ist die FlĂ€che A 1 A_1A 1 â markiert.
Gezeigt wurde lim ⥠x â â 3 + J ( x ) = â â \lim\limits_{x \rightarrow -3^+}J(x)=-\inftyx â â 3 + lim â J ( x ) = â â mit J ( x ) = â« â 2 x f ( t ) â
â d t J(x)= \displaystyle\int_{-2}^{x} f(t)\; \mathrm{d}tJ ( x ) = â« â 2 x â f ( t ) d t
Die markierte FlĂ€che A 1 A_1A 1 â ist somit unendlich groĂ .
Sie hat keinen endlichen FlÀcheninhalt. Der Graph schneidet die senkrechte Asymptote nicht.
Anmerkung: Beachte â« a b f ( x ) â
â d x = â â« b a f ( x ) â
â d x \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\; \mathrm{d}x=- \displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\; \mathrm{d}xâ« a b â f ( x ) d x = â â« b a â f ( x ) d x