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Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen G der in ℝ\{−3} definierten Funktion f mit f(x)=x−3+5x+3. G hat genau einen Tiefpunkt T.

Bild
  1. Die Geraden mit den Gleichungen x=−3 und y=x−3 haben eine

    besondere Bedeutung fĂŒr G. Zeichnen Sie die beiden Geraden in die

    Abbildung ein und geben Sie diese Bedeutung an. Geben Sie zudem die

    Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden an.

  2. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G mit der y-Achse.

    BegrĂŒnden Sie anhand des gegebenen Terms von f, dass G fĂŒr x>−3

    oberhalb der Gerade mit der Gleichung y=x−3 verlĂ€uft.

  3. Weisen Sie nach, dass f(x)=x2−4x+3 gilt, indem Sie den Term x−3+5x+3

    geeignet umformen, und begrĂŒnden Sie, dass f genau die Nullstellen −2 und 2 hat.

  4. Ermitteln Sie rechnerisch einen Term der ersten Ableitungsfunktion fâ€Č von f und berechnen Sie die x-Koordinate von T.

  5. Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen NĂ€herungswert fĂŒr das Integral ∫−22f(x)dx.

  6. Betrachtet wird die in ]−3;+∞[ definierte Integralfunktion J:x↊∫−2xf(t)dt.

    BegrĂŒnden Sie, dass die in ]−3;+∞[ definierte Funktion

    F:x↩12x2−3x+5⋅ln⁥(x+3) fĂŒr x>−3 eine Stammfunktion von f ist.

    Zeigen Sie damit, dass limx→−3⁡J(x)=−∞ gilt, und deuten Sie diese Aussage geometrisch.

  7. BegrĂŒnden Sie ohne weitere Rechnung, dass J mindestens zwei Nullstellen besitzt.