Zeichnen Sie die beiden Geraden in die Abbildung ein

Geben Sie die Bedeutung der beiden Graphen an

Die Gerade $x=-3x=-3$ ist eine senkrechte Asymptote bei der Definitionslücke und die Gerade $y=x-3y=x-3$ ist eine schiefe Asymptote für $x\to \pm \mathrm{\infty }x\backslash to\backslash pm\backslash infty$.

Die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden angeben

Die beiden Geraden schneiden sich für $x=-3x=-3$.

Setze $x=-3x=-3$ in die Geradengleichung $y=x-3y=x-3$ ein:

$\Rightarrow y=-3-3=-6\backslash Rightarrow\backslash ;y=-3-3=-6$

Der Schnittpunkt der beiden Geraden hat somit die Koordinaten $S(-3\mathrm{\mid }-6)S(-3|-6)$.

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von $GG$ mit der y-Achse

Setze $x=0x=0$ in $f(x)f(x)$ ein:

$GG$ verläuft für $x>-3x\backslash gt-3$ oberhalb der Geraden mit der Gleichung $y=x-3y=x-3$

Zu zeigen ist, dass der Term ${\displaystyle \frac{5}{x+3}}\backslash dfrac\{5\}\{x+3\}$ für $x>-3x\backslash gt-3$ größer null ist.

Für $x>-3x\backslash gt-3$ ist der Nenner des Bruches größer null:

${\displaystyle \frac{5}{\underset{>0}{\underbrace{x+3}}}}\Rightarrow \backslash dfrac\{5\}\{\backslash underbrace\{x+3\}\_\{>0\}\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$5 geteilt durch eine Zahl größer null ist ebenfalls größer null.

Also verläuft $GG$ für $x>-3x\backslash gt-3$ oberhalb der Geraden mit der Gleichung $y=x-3y=x-3$.

Zeige ${\displaystyle \frac{x^2-4}{x+3}}\backslash dfrac\{x^2-4\}\{x+3\}$ ist gleich $x-3+{\displaystyle \frac{5}{x+3}}x-3+\backslash dfrac\{5\}\{x+3\}$

Bringe den Term $x-3+{\displaystyle \frac{5}{x+3}}x-3+\backslash dfrac\{5\}\{x+3\}$ auf Hauptnenner:

Damit ist gezeigt, dass der Term $x-3+{\displaystyle \frac{5}{x+3}}x-3+\backslash dfrac\{5\}\{x+3\}$ gleich dem Term ${\displaystyle \frac{x^2-4}{x+3}}\backslash dfrac\{x^2-4\}\{x+3\}$ ist.

Begründe, dass $ff$ genau die Nullstellen $-2-2$ und $22$ hat

Der Zähler von $ff$ kann mithilfe der 3. binomischen Formel umgeformt werden.

$x^2-4=(x+2)\cdot (x-2)x^2-4=(x+2)\backslash cdot\; (x-2)$

Berechne die Nullstellen von $ff$:

$(x+2)\cdot (x-2)=0(x+2)\backslash cdot\; (x-2)=0$

Verwende den Satz vom Nullprodukt:

$x+2=0\Rightarrow x=-2x+2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=-2$

$x-2=0\Rightarrow x=2x-2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=2$

Beide x-Werte liegen im Definitionsbereich von $ff$, sind also die gesuchten Nullstellen.

Term der ersten Ableitungsfunktion f'

Gegeben ist $f(x)=x-3+{\displaystyle \frac{5}{x+3}}=x-3+5\cdot (x+3{)}^{-1}f(x)=x-3+\backslash dfrac\{5\}\{x+3\}=x-3+5\backslash cdot(x+3)^\{-1\}$

Leite nach den Regeln für Potenzfunktionen ab:

Berechne die x-Koordinate von $TT$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Die beiden Lösungen sind $x_1=-3-\sqrt{5}\approx -\mathrm{5,24}x\_1=-3-\backslash sqrt\{5\}\backslash approx-5\{,\}24$ und $x_2=-3+\sqrt{5}\approx -\mathrm{0,76}x\_2=-3+\backslash sqrt\{5\}\backslash approx-0\{,\}76$.

Da in der gegebenen Abbildung die x-Koordinate des Tiefpunkts etwa $-\mathrm{0,8}-0\{,\}8$ beträgt, ist $x_2=-3+\sqrt{5}x\_2=-3+\backslash sqrt\{5\}$ die gesuchte Lösung.

$\Rightarrow TP(-3+\sqrt{5}\mathrm{\mid }f(-3+\sqrt{5}))\backslash Rightarrow\backslash ;TP\backslash left(-3+\backslash sqrt\{5\}\backslash ;|\backslash ;f(-3+\backslash sqrt\{5\})\backslash right)$

Näherungswert für das Integral ${\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f(x)\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^\{2\}\; f(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$

Zählt man die kleinen Kästchen (Seitenlänge $\mathrm{0,5}\text{LE}0\{,\}5\; \backslash ;\; \backslash text\{LE\}$) unterhalb der x-Achse, so kommt man auf etwa $1616$ Kästchen.

Da $44$ kleine Kästchen $1\text{FE}1\backslash ;\; \backslash text\{FE\}$ ergeben, erhält man also ${\displaystyle \frac{16}{4}}=4\text{FE}\backslash dfrac\{16\}\{4\}=4\backslash ;\; \backslash text\{FE\}$.

Da sich die Fläche unterhalb der x-Achse befindet, erhält man als Näherungswert für das Integral ${\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f(x)\mathrm{d}x\approx -4}\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^\{2\}\; f(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}x\backslash approx-4$.

$FF$ ist eine Stammfunktion von $ff$

Wenn $FF$ eine Stammfunktion von $ff$ ist, dann muss $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)F\text{'}(x)=f(x)$ sein.

Zeige damit, dass $\underset{x\to -3}{\lim }J(x)=-\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; -3\}J(x)=-\backslash infty$ gilt

Wegen $]-3;+\mathrm{\infty }[]-3;+\backslash infty[$ geht der Grenzwert gegen $-3^{+}-3^+$.

Zu zeigen ist also $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }J(x)=-\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; -3^+\}J(x)=-\backslash infty$.

Es ist $J(x)={\displaystyle {\int }_{-2}^{x}f(t)\mathrm{d}t=F(x)-F(-2)}J(x)=\; \backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^\{x\}\; f(t)\backslash ;\; \backslash mathrm\{d\}t=F(x)-F(-2)$

Betrachte $F(x)-F(-2)F(x)-F(-2)$:

$F(x)-F(-2)=\underset{F(x)}{\underbrace{\mathrm{0,5}{x}^2-3x+5\cdot \ln (x+3)}}-\underset{F(-2)}{\underbrace{(2+6+5\cdot 0)}}F(x)-F(-2)=\; \backslash underbrace\{0\{,\}5x^2-3x+5\backslash cdot\; \backslash ln(x+3)\}\_\{F(x)\}-\backslash underbrace\{(2+6+5\backslash cdot\; 0)\}\_\{F(-2)\}$

$\Rightarrow F(x)-F(2)=\mathrm{0,5}{x}^2-3x+5\cdot \ln (x+3)-8\backslash Rightarrow\backslash ;F(x)-F(2)=0\{,\}5x^2-3x+5\backslash cdot\; \backslash ln(x+3)-8$

Untersuche nun das Verhalten des Terms $\mathrm{0,5}{x}^2-3x+5\cdot \ln (x+3)-80\{,\}5x^2-3x+5\backslash cdot\; \backslash ln(x+3)-8$ für $x\to -3^{+}x\; \backslash rightarrow\; -3^+$:

$\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\mathrm{0,5}{x}^2-3x+5\cdot \ln (x+3)-8=\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\underset{\to \mathrm{4,5}}{\underbrace{\mathrm{0,5}{x}^2}}\underset{\to +9}{\underbrace{-3x}}+\underset{\to -\mathrm{\infty }}{\underbrace{5\cdot \ln (\underset{\to 0^{+}}{\underbrace{x+3}})}}-8=-\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; -3^+\}0\{,\}5x^2-3x+5\backslash cdot\; \backslash ln(x+3)-8=\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; -3^+\}\backslash underbrace\{0\{,\}5x^2\}\_\{\backslash rightarrow\; 4\{,\}5\}\backslash underbrace\{-3x\}\_\{\backslash rightarrow+9\}+\backslash underbrace\{5\backslash cdot\; \backslash ln(\backslash underbrace\{x+3\}\_\{\backslash rightarrow\; 0^+\})\}\_\{\backslash rightarrow\; -\backslash infty\}-8=-\backslash infty$

Damit ist gezeigt, dass $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }J(x)=-\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; -3^+\}J(x)=-\backslash infty$ ist.

Deute diese Aussage geometrisch

In der Abbildung ist die Fläche $A_{1}A\_1$ markiert.

Gezeigt wurde $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }J(x)=-\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; -3^+\}J(x)=-\backslash infty$ mit $J(x)={\displaystyle {\int }_{-2}^{x}f(t)\mathrm{d}t}J(x)=\; \backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^\{x\}\; f(t)\backslash ;\; \backslash mathrm\{d\}t$

Die markierte Fläche $A_{1}A\_1$ ist somit unendlich groß.

Sie hat keinen endlichen Flächeninhalt. Der Graph schneidet die senkrechte Asymptote nicht.

Anmerkung: Beachte ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\displaystyle {\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{a\}^\{b\}\; f(x)\backslash ;\; \backslash mathrm\{d\}x=-\; \backslash displaystyle\backslash int\_\{b\}^\{a\}\; f(x)\backslash ;\; \backslash mathrm\{d\}x$

$JJ$ besitzt mindestens zwei Nullstellen

Jede Integralfunktion $F(x)={\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}F(x)=\; \backslash displaystyle\backslash int\_\{a\}^\{x\}\; f(t)\backslash ;\; \backslash mathrm\{d\}t$ hat an der Stelle $x=ax=a$ eine Nullstelle, also besitzt jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle.

$JJ$ hat also eine Nullstelle für $x_1=-2x\_1=-2$.

Eine zweite Nullstelle kann man finden, wenn man sich den Verlauf des Graphens von $ff$ ansieht.

In der obigen Abbildung sind zwei Flächen gekennzeichnet, $A_{2}A\_2$ und $A_{3}A\_3$.

Beide Flächen haben den gleichen Flächeninhalt, sodass die Flächenbilanz null ist. Bei $x_{2}x\_2$ liegt demnach die zweite Nullstelle von $JJ$.

Hinweis:

Im Bereich von gibt es ein weiteres Flächenstück, das den gleichen Flächeninhalt wie $A_{2}A\_2$ hat.

Allerdings ergibt hier das Integral $J(x)={\displaystyle {\int }_{-2}^{-\mathrm{2,81}}f(t)\mathrm{d}t\approx -4}J(x)=\; \backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^\{-2\{,\}81\}\; f(t)\backslash ;\; \backslash mathrm\{d\}t\backslash approx\; -4$, sodass sich die beiden Integrale nicht gegenseitig aufheben.

Es gibt also keine weitere Nullstelle von $J(x)J(x)$.