Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $G$ der in $\mathbb{R}\backslash\{-3\}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=x-3+\dfrac{5}{x+3}$ . $G$ hat genau einen Tiefpunkt $T$ .

Die Geraden mit den Gleichungen $x = - 3$ und $y = x - 3$ haben eine
besondere Bedeutung für $G$ . Zeichnen Sie die beiden Geraden in die
Abbildung ein und geben Sie diese Bedeutung an. Geben Sie zudem die
Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptote
Zeichnen Sie die beiden Geraden in die Abbildung ein
Geben Sie die Bedeutung der beiden Graphen an
Die Gerade $x = - 3$ ist eine senkrechte Asymptote bei der Definitionslücke und die Gerade $y = x - 3$ ist eine schiefe Asymptote für $x\to\pm\infty$ .
Die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden angeben
Die beiden Geraden schneiden sich für $x = - 3$ .
Setze $x = - 3$ in die Geradengleichung $y = x - 3$ ein:
$\Rightarrow\;y=-3-3=-6$
Der Schnittpunkt der beiden Geraden hat somit die Koordinaten $S (- 3 ∣ - 6)$ .
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Teil 1
Zeichne die beiden Geraden in die Abbildung ein.
Teil 2
Die Geraden sind Asymptoten. Gib eine genauere Bezeichnung an.
Teil 3
Die beiden Geraden schneiden sich für $x = - 3$ . Setze $x = - 3$ in die zweite Geradengleichung ein.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G$ mit der y-Achse.

Begründen Sie anhand des gegebenen Terms von $f$ , dass $G$ für $x\gt-3$

oberhalb der Gerade mit der Gleichung $y = x - 3$ verläuft.

Weisen Sie nach, dass $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x+3}$ gilt, indem Sie den Term $x-3+\dfrac{5}{x+3}$

geeignet umformen, und begründen Sie, dass $f$ genau die Nullstellen $- 2$ und $2$ hat.

Ermitteln Sie rechnerisch einen Term der ersten Ableitungsfunktion $f^{'}$ von $f$ und berechnen Sie die x-Koordinate von $T$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

Term der ersten Ableitungsfunktion f'

Gegeben ist $f(x)=x-3+\dfrac{5}{x+3}=x-3+5\cdot(x+3)^{-1}$

Leite nach den Regeln für Potenzfunktionen ab:

\displaystyle f'(x)=1-5\cdot (x+3)^{-2}=1-\dfrac{5}{(x+3)^2}

Berechne die x-Koordinate von $T$

$f^{'} (x) = 0$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1-\dfrac{5}{(x+3)^2}$	$\displaystyle +\dfrac{5}{(x+3)^2}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle \dfrac{5}{(x+3)^2}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot (x+3)^2$
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle (x+3)^2$
	↓	Berechne das Quadrat.
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+9$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+6x+4$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = 6$ und $q = 4$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-4}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -3\pm\sqrt{9-4}$
	$=$	$\displaystyle -3\pm\sqrt{5}$

Die beiden Lösungen sind $x_1=-3-\sqrt{5}\approx-5{,}24$ und $x_2=-3+\sqrt{5}\approx-0{,}76$ .

Da in der gegebenen Abbildung die x-Koordinate des Tiefpunkts etwa $- 0,8$ beträgt, ist $x_2=-3+\sqrt{5}$ die gesuchte Lösung.

$\Rightarrow\;TP\left(-3+\sqrt{5}\;|\;f(-3+\sqrt{5})\right)$

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Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \;\mathrm{d}x$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Näherungswert für das Integral $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \;\mathrm{d}x$
Zählt man die kleinen Kästchen (Seitenlänge $0{,}5 \; \text{LE}$ ) unterhalb der x-Achse, so kommt man auf etwa $16$ Kästchen.
Da $4$ kleine Kästchen $1\; \text{FE}$ ergeben, erhält man also $\dfrac{16}{4}=4\; \text{FE}$ .
Da sich die Fläche unterhalb der x-Achse befindet, erhält man als Näherungswert für das Integral $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \;\mathrm{d}x\approx-4$ .
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Zähle die kleinen Kästchen (Seitenlänge $0{,}5 \; \text{LE}$ ) unterhalb der x-Achse, beachte dabei, dass $4$ kleine Kästchen $1\; \text{FE}$ ergeben.
Beachte außerdem, dass sich die Fläche unterhalb der x-Achse befindet.

Betrachtet wird die in $]−3;+\infty[$ definierte Integralfunktion $J: x\mapsto \displaystyle\int_{-2}^{x} f(t)\; \mathrm{d}t$ .

Begründen Sie, dass die in $]−3;+\infty[$ definierte Funktion

$F:x\mapsto \dfrac{1}{2}x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)$ für $x\gt -3$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

Zeigen Sie damit, dass $\lim\limits_{x \rightarrow -3}J(x)=-\infty$ gilt, und deuten Sie diese Aussage geometrisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion

$F$ ist eine Stammfunktion von $f$

Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann muss $F^{'} (x) = f (x)$ sein.

$\displaystyle F(x)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)$
	↓	Bilde die erste Ableitung.
$\displaystyle F'(x)$	$=$	$\displaystyle x-3+5\cdot\dfrac{1}{x+3}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle x-3+\dfrac{5}{x+3}$
$\displaystyle F'(x)$	$=$	$\displaystyle f(x)\;\checkmark$

Zeige damit, dass $\lim\limits_{x \rightarrow -3}J(x)=-\infty$ gilt

Wegen $]−3;+\infty[$ geht der Grenzwert gegen $- 3^{+}$ .

Zu zeigen ist also $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}J(x)=-\infty$ .

Es ist $J(x)= \displaystyle\int_{-2}^{x} f(t)\; \mathrm{d}t=F(x)-F(-2)$

Betrachte $F (x) - F (- 2)$ :

$F(x)-F(-2)= \underbrace{0{,}5x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)}_{F(x)}-\underbrace{(2+6+5\cdot 0)}_{F(-2)}$

$\Rightarrow\;F(x)-F(2)=0{,}5x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)-8$

Untersuche nun das Verhalten des Terms $0{,}5x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)-8$ für $x \rightarrow -3^+$ :

$\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}0{,}5x^2-3x+5\cdot \ln(x+3)-8=\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}\underbrace{0{,}5x^2}_{\rightarrow 4{,}5}\underbrace{-3x}_{\rightarrow+9}+\underbrace{5\cdot \ln(\underbrace{x+3}_{\rightarrow 0^+})}_{\rightarrow -\infty}-8=-\infty$

Damit ist gezeigt, dass $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}J(x)=-\infty$ ist.

Deute diese Aussage geometrisch

In der Abbildung ist die Fläche $A_{1}$ markiert.

Gezeigt wurde $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}J(x)=-\infty$ mit $J(x)= \displaystyle\int_{-2}^{x} f(t)\; \mathrm{d}t$

Die markierte Fläche $A_{1}$ ist somit unendlich groß.

Sie hat keinen endlichen Flächeninhalt. Der Graph schneidet die senkrechte Asymptote nicht.

Anmerkung: Beachte $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\; \mathrm{d}x=- \displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\; \mathrm{d}x$

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Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass $J$ mindestens zwei Nullstellen besitzt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralfunktion
$J$ besitzt mindestens zwei Nullstellen
Jede Integralfunktion $F(x)= \displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\; \mathrm{d}t$ hat an der Stelle $x = a$ eine Nullstelle, also besitzt jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle.
$J$ hat also eine Nullstelle für $x_{1} = - 2$ .
Eine zweite Nullstelle kann man finden, wenn man sich den Verlauf des Graphens von $f$ ansieht.
In der obigen Abbildung sind zwei Flächen gekennzeichnet, $A_{2}$ und $A_{3}$ .
Beide Flächen haben den gleichen Flächeninhalt, sodass die Flächenbilanz null ist. Bei $x_{2}$ liegt demnach die zweite Nullstelle von $J$ .
Hinweis:
Im Bereich von $- 3 < x < - 2$ gibt es ein weiteres Flächenstück, das den gleichen Flächeninhalt wie $A_{2}$ hat.
Allerdings ergibt hier das Integral $J(x)= \displaystyle\int_{-2}^{-2{,}81} f(t)\; \mathrm{d}t\approx -4$ , sodass sich die beiden Integrale nicht gegenseitig aufheben.
Es gibt also keine weitere Nullstelle von $J (x)$ .
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Teil 1
Jede Integralfunktion $F(x)= \displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\; \mathrm{d}t$ hat an der Stelle $x = a$ eine Nullstelle.
Teil 2
Eine zweite Nullstelle kann man finden, wenn man sich den Verlauf des Graphens von $f$ ansieht. Gesucht ist eine Stelle $x_{2} > 2$ , sodass die beiden Flächen von $- 2$ bis $2$ (unterhalb der x-Achse) und von $2$ bis $x_{2} > 2$ (oberhalb der x-Achse) den gleichen Flächeninhalt haben. Die Flächenbilanz ist dann gleich null.

	$\displaystyle x-3+\frac{5}{x+3}$
	↓ Erweitere mit dem Hauptnenner $(x + 3)$ .
$=$	$\displaystyle x\cdot\dfrac{(x+3)}{(x+3)}-3\cdot\dfrac{(x+3)}{(x+3)}+\dfrac{5}{x+3}$
	↓ Schreibe auf einen Nenner.
$=$	$\displaystyle \dfrac{x\cdot(x+3)-3\cdot(x+3)+5}{x+3}$
	↓ Löse die Klammern auf.
$=$	$\displaystyle \dfrac{x^2+3x-3x-9+5}{x+3}$
	↓ Vereinfache.
$=$	$\displaystyle \dfrac{x^2-4}{x+3}$

Zeichnen Sie die beiden Geraden in die Abbildung ein

Geben Sie die Bedeutung der beiden Graphen an

Die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden angeben

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Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von $G$ mit der y-Achse

$G$ verläuft für $x\gt-3$ oberhalb der Geraden mit der Gleichung $y = x - 3$

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Zeige $\dfrac{x^2-4}{x+3}$ ist gleich $x-3+\dfrac{5}{x+3}$

Begründe, dass $f$ genau die Nullstellen $- 2$ und $2$ hat

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Term der ersten Ableitungsfunktion f'

Berechne die x-Koordinate von $T$

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Näherungswert für das Integral $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \;\mathrm{d}x$

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$F$ ist eine Stammfunktion von $f$

Zeige damit, dass $\lim\limits_{x \rightarrow -3}J(x)=-\infty$ gilt

Deute diese Aussage geometrisch

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$J$ besitzt mindestens zwei Nullstellen

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$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x-3+\dfrac{5}{x+3}$
	↓	Setze $x = 0$ ein.
$\displaystyle f\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle 0-3+\dfrac{5}{0+3}$
	$=$	$\displaystyle -3+\dfrac{5}{3}$
	↓	HN ist $3$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-9+5}{3}$
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{4}{3}$

Zeichnen Sie die beiden Geraden in die Abbildung ein

Geben Sie die Bedeutung der beiden Graphen an

Die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden angeben

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Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von GGG mit der y-Achse

GGG verläuft für x>−3x\gt-3x>−3 oberhalb der Geraden mit der Gleichung y=x−3y=x-3y=x−3

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Zeige x2−4x+3\dfrac{x^2-4}{x+3}x+3x2−4​ ist gleich x−3+5x+3x-3+\dfrac{5}{x+3}x−3+x+35​

Begründe, dass fff genau die Nullstellen −2−2−2 und 222 hat

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Term der ersten Ableitungsfunktion f'

Berechne die x-Koordinate von TTT

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Näherungswert für das Integral ∫−22f(x) dx\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \;\mathrm{d}x∫−22​f(x)dx

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FFF ist eine Stammfunktion von fff

Zeige damit, dass lim⁡x→−3J(x)=−∞\lim\limits_{x \rightarrow -3}J(x)=-\inftyx→−3lim​J(x)=−∞ gilt

Deute diese Aussage geometrisch

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JJJ besitzt mindestens zwei Nullstellen

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Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von $G$ mit der y-Achse

$G$ verläuft für $x\gt-3$ oberhalb der Geraden mit der Gleichung $y = x - 3$

Zeige $\dfrac{x^2-4}{x+3}$ ist gleich $x-3+\dfrac{5}{x+3}$

Begründe, dass $f$ genau die Nullstellen $- 2$ und $2$ hat

Berechne die x-Koordinate von $T$

Näherungswert für das Integral $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \;\mathrm{d}x$

$F$ ist eine Stammfunktion von $f$

Zeige damit, dass $\lim\limits_{x \rightarrow -3}J(x)=-\infty$ gilt

$J$ besitzt mindestens zwei Nullstellen