Die Anzahl der Nullstellen von $f_k$ in Abhängigkeit von $k$

Gegeben ist $f_k(x)={\displaystyle \frac{x^2-k}{x+3}}$:

Die Nullstellen von $f_k(x)$ sind die Nullstellen des Zählers für $x\ne -3$.

$k>0\Rightarrow$es gibt 2 Nullstellen $x_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{k}$

$k=0\Rightarrow$ es gibt 1 Nullstelle $x=0$

$k<0\Rightarrow$es gibt keine Nullstellen

Die Funktion $f_0$ der Schar hat eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel

$k=0\Rightarrow f_0(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x+3}}$$\Rightarrow x^2=0$

$\Rightarrow$ Es gibt eine Nullstelle $x=0$ ohne Vorzeichenwechsel (Berührpunkt mit der x-Achse im Ursprung), da der Zähler von $f_k$ einen geraden Exponenten hat.

Begründe, dass $G_k$ für $k>9$ keine Extrempunkte besitzt

Gegeben ist $f_k^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x+k}{(x+3{)}^2}}$:

Für einen Extrempunkt muss $f_k^{\prime }(x)=0$ sein:

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel:

Für $k>9$ ist der Radikand negativ, d.h. es gibt keine Lösung für die quadratische Gleichung und damit besitzt $f_k$ für $k>9$ keine Extrempunkte.

Zeige, dass die Tangente $t_k$ die Steigung ${\displaystyle \frac{k}{9}}$ hat

Die Tangente an $G_k$ im Punkt $(0|f_k(0))$ soll die Steigung ${\displaystyle \frac{k}{9}}$ haben.

Es ist $f_k^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x^2+6x+k}{(x+3{)}^2}}$.

Dann folgt:

$f_k^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{0^2+6\cdot 0+k}{(0+3{)}^2}}={\displaystyle \frac{k}{9}}$

Die Tangente an $G_k$ im Punkt $(0|f_k(0))$ hat die Steigung ${\displaystyle \frac{k}{9}}$.

Bestimme denjenigen Wert von $k$, für den $t_k$ senkrecht zur Geraden mit der Gleichung $y=x-3$ steht

$t_k⟂y$, wenn $m_{t_k}\cdot m_y=-1$ ist.

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{k}{9}}\cdot 1=-1\Rightarrow k=-9$

Für $k=-9$ steht $t_k$ senkrecht zur Geraden mit der Gleichung $y=x-3$.

Gib eine Gleichung von $t_k$ an

Allgemeine Tangentengleichung:

$y_T=m_T\cdot x+b$

Mit $m_T={\displaystyle \frac{k}{9}}$, dem Punkt $(0|f_k(0))$, d.h. $f_k(0)={\displaystyle \frac{0^2-k}{0+3}}=-{\displaystyle \frac{k}{3}}$ folgt dann:

$t_k:y={\displaystyle \frac{k}{9}}\cdot x+b$

Setze den Punkt $\left(0\right|-{\displaystyle \frac{k}{3}})$ in $t_k$ ein:

$-{\displaystyle \frac{k}{3}}={\displaystyle \frac{k}{9}}\cdot 0+b\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{k}{3}}$

Die Tangentengleichung lautet dann:

Es gibt einen Punkt, der für alle $k\in ℝ\backslash \{9\}$ auf $t_k$ liegt

Es ist $t_k:y={\displaystyle \frac{k}{9}}\cdot x-{\displaystyle \frac{k}{3}}$.

Für welchen Wert von $x$ erhält man immer dasselbe Ergebnis unabhängig von $k$?

Schreibe $${\displaystyle y=\frac{k}{9}\cdot x-\frac{k}{3}=\frac{k}{9}(x-3)}$$. Damit dieser Ausdruck unabhängig von $k$ ist, muss $x=3$ sein. Dann ist immer $y=0$.

Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten $(3|0)$ und liegt für alle $k\in ℝ\backslash \{9\}$ auf $t_k$.