Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit den Eckpunkten $A (- 3 | - 3 | 0)$ , $B (3 | - 3 | 0)$ , $C (3 | 3 | 0)$ , $D (- 3 | 3 | 0)$ und $S (0 | 0 | 4)$ sowie den Punkt $O (0 | 0 | 0)$ , der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt. Die Seitenfläche $C D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .

Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide
$O = G + M$
$O = {| \vec{A B} |}^{2} + 4 \cdot A_{△}$
Berechne die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A S}$ (siehe Skizze der Pyramide):
$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 3 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow | \vec{A B} | = 6$
Für die Seitenfläche wird noch die Höhe $h$ benötigt.
Berechne $h$ mit dem Satz des Pythagoras:
$h = \sqrt{3^{3} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$
Dann folgt für die Oberfläche:
$\begin{array}{l} O = {| \vec{A B} |}^{2} + 4 \cdot A_{△} \\ O = 6^{2} + 4 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2} = 36 + 60 = 96 \end{array}$
Der Inhalt der Oberfläche der Pyramide beträgt $96 FE$ .
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Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche und den Flächeninhalt der vier Seitenflächen.
Genau eine der folgenden Gleichungen (1) bis (3) beschreibt eine Symmetrieebene der Pyramide. Geben Sie diese Gleichung an und begründen Sie für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene der Pyramide ist.
(1) $x_{1} - x_{3} = 0$ (2) $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4$ (3) $x_{1} + x_{2} = 0$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
Zur Veranschaulichung zeigt die Abbildung die 4 Symmetrieebenen der Pyramide.
Die Pyramide hat insgesamt vier Symmetrieebenen:
$E_{1} : E_{B S D} E_{2} : E_{A S C} E_{3} : x_{1} = 0 E_{4} : x_{2} = 0$
Keine der drei gegebenen Ebenengleichungen entspricht der Ebenengleichung $E_{3}$ bzw. der Ebenengleichung $E_{4}$ .
Es bleiben nur die Ebenen $E_{1} : E_{B S D} und E_{2} : E_{A S C}$ zur Überprüfung übrig.
Die Ebenen $E_{1} : E_{B S D} und E_{2} : E_{A S C}$ gehen durch den Koordinatenursprung $O$ und enthalten den Punkt $S$ .
Prüfe für die Ebene $E_{1} : E_{B S D}$ , ob die Punkte $S$ und $O$ in einer der drei gegebenen Ebenen liegen.
Prüfung für die Ebene (1):
$(1) x_{1} - x_{3} = 0 S (0 | 0 | 4) \in (1) ? \Rightarrow 0 - 4 \neq 0 \Rightarrow S \notin (1)$
Damit entfällt die Gleichung der Ebene (1) als Symmetrieebene.
Prüfung für die Ebene (2):
$(2) x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4 S (0 | 0 | 4) \in (2) ? \Rightarrow 0 + 0 + 4 = 4 ✓ \Rightarrow S \in (2)$
$(2) x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4 O (0 | 0 | 0) \in (2) ? \Rightarrow 0 + 0 + 0 \neq 4 \Rightarrow O \notin (2)$
Damit entfällt die Gleichung der Ebene (2) als Symmetrieebene.
Es bleibt nur die Ebene (3) als Symmetrieebene übrig.
Prüfung für die Ebene (3):
$(3) x_{1} + x_{2} = 0 S (0 | 0 | 4) \in (3) ? \Rightarrow 0 + 0 = 0 ✓ \Rightarrow S \in (3)$
$(3) x_{1} + x_{2} = 0 O (0 | 0 | 0) \in (3) ? \Rightarrow 0 + 0 = 0 ✓ \Rightarrow O \in (3)$
Der vollständigkeitshalber erfolgt noch die Prüfung für die Punkte $B$ und $D$ .
$(3) x_{1} + x_{2} = 0 B (3 | - 3 | 0) \in (3) ? \Rightarrow 3 - 3 = 0 ✓ \Rightarrow B \in (3)$
$(3) x_{1} + x_{2} = 0 D (- 3 | 3 | 0) \in (3) ? \Rightarrow - 3 + 3 = 0 ✓ \Rightarrow D \in (3)$
Die Punkte $S, O$ und $B, D$ liegen in der Ebene $(3) x_{1} + x_{2} = 0$ .
Die Ebene (3) ist die gesuchte Symmetrieebene.
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Die Symmetrieebenen der Pyramide enthalten den Punkt $S$ und gehen durch den Koordinatenursprung $O$ .
Prüfe für die 3 gegebenen Ebenengleichungen, ob sie die Punkte $S$ und $O$ enthalten.
Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
(zur Kontrolle: $4 x_{2} + 3 x_{3} - 12 = 0$ )
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Bestimme eine Gleichung von E in Koordinatenform
Die Seitenfläche $C D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .
Berechne die Richtungsvektoren $\vec{C D}$ und $\vec{C S}$ :
$\vec{C D} = \vec{O D} - \vec{O C} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$\vec{C S} = \vec{O S} - \vec{O C} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 3 \\ 4 \end{array})$
Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} - 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 3 \\ - 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 24 \\ 18 \end{array}) = 6 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$
$E : (\vec{O X} - \vec{O S}) \circ \vec{n} = 0 \Rightarrow (\vec{O X} - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array}) = 0$
Ausmultipliziert, erhält man die Koordinatenform der Ebene $E$ :
$E : 4 x_{2} + 3 x_{3} - 12 = 0$
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Die Seitenfläche $C D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .
Berechne die Richtungsvektoren $\vec{C D}$ und $\vec{C S}$ .
Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Erstelle die Ebenengleichung in Normalform und wandle sie in die Koordinatenform um.
Es gibt einen Punkt $P (0 | 0 | p)$ , der im Innern der Pyramide liegt und von allen vier Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von $p$ bestimmen:
I $\vec{Q} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ p \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array})$
II $4 \cdot 4 t + 3 \cdot (p + 3 t) - 12 = 0$
III $| \vec{P Q} | = p$
Erläutern Sie die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen (Projektionsverfahren)
Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen
Gleichung I:
Gleichung I beschreibt eine Gerade, deren Aufpunkt der Vektor $\vec{O P}$ ist und deren Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene $E$ ist. Die Gerade ist somit Lotgerade zur Ebene E.
Gleichung II:
In die Gleichung der Ebene $E$ wurde die Geradengleichung eingesetzt, um $t$ berechnen zu können. Mit $t$ kann der Lotfußpunkt berechnet werden.
Gleichung III:
Der Betrag des Vektors $\vec{P Q}$ ist der gesuchte Abstand des Punktes P von den Seitenflächen und auch von der Grundfläche. Dieser Abstand muss gleich dem Wert von $p$ sein $\Rightarrow | \vec{P Q} | = p$ .
Siehe Skizze (Seitenansicht):
Die beiden orangefarbigen Strecken sind gleich lang.
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Gleichung I:
Geradengleichung, welche Gerade wird beschrieben?
Gleichung II:
Ebenengleichung $E$ ; was wurde in diese Gleichung eingesetzt und was kann man berechnen?
Gleichung III:
Welche beiden Längen sind gleich groß?
Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen
$E_{k} : 4 k \cdot x_{1} + 4 \sqrt{1 - k^{2}} \cdot x_{2} + 3 x_{3} - 12 = 0$ mit $k \in [- 1; 1]$ .
Die Seitenfläche $A D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E_{- 1}$ der Schar, die Seitenfläche $B C S$ in der Ebene $E_{1}$ .
Zeigen Sie, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)
Zeige, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist
$S (0 | 0 | 4) \in E_{k} ?$
$0$ $=$ $4 k \cdot x_{1} + 4 \sqrt{1 - k^{2}} \cdot x_{2} + 3 x_{3} - 12$
↓
Setze $S (0 | 0 | 4)$ ein:
$0$ $=$ $4 k \cdot 0 + 4 \sqrt{1 - k^{2}} \cdot 0 + 3 \cdot 4 - 12$
↓
Fasse zusammen
$0$ $=$ $12 - 12$
$0$ $=$ $0$
Du hast eine wahre Aussage erhalten. $S$ liegt in allen Ebenen $E_{k}$ .
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Setze die Koordinaten von $S$ in $E_{k}$ ein.
Weisen Sie nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $O S$ die Ebene $E_{k}$ schneidet, unabhängig von $k$ ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel von Geraden und Ebenen
Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $O S$ die Ebene $E_{k}$ schneidet, unabhängig von $k$ ist
Schnittwinkel Gerade Ebene:
$\sin α = \frac{| \vec{n} \circ \vec{u} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{u} |}$
Die Gerade $O S$ startet im Koordinatenursprung und geht durch den Punkt $S (0 | 0 | 4)$ .
Der Richtungsvektor der Geraden ist dann der Vektor $\vec{u} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array})$ und der Normalenvektor der Ebene ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} 4 k \\ 4 \sqrt{1 - k^{2}} \\ 3 \end{array})$ .
Dann folgt:
$\sin α = \frac{| (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 k \\ 4 \sqrt{1 - k^{2}} \\ 3 \end{array}) |}{4 \cdot \sqrt{(4 k)^{2} + 16 \cdot (1 - k^{2}) + 9}}$
$\sin α = \frac{12}{4 \cdot \sqrt{16 k^{2} + 16 - 16 k^{2} + 9}} = \frac{12}{4 \cdot \sqrt{25}} = \frac{3}{5}$
Der Winkel zwischen Gerade und Ebene ist unabhängig von $k$ .
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Berechne den Schnittwinkel zwischen der Geraden und der Ebene: $\sin α = \frac{| \vec{n} \circ \vec{u} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{u} |}$
Dabei ist der Vektor $\vec{u}$ der Richtungsvektor der Geraden und $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene $E_{k}$ .
Welche Schlussfolgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen?
Jede Ebene $E_{k}$ der Schar schneidet die $x_{1} x_{2}$ -Ebene in einer Gerade $g_{k}$ . Mit $R_{k}$ wird jeweils derjenige Punkt auf $g_{k}$ bezeichnet, der von $O$ den kleinsten Abstand hat. In
Abbildung 2 sind $g_{k}$ und $R_{k}$ beispielhaft für eine Ebene $E_{k}$ der Schar dargestellt.
Zeichnen Sie die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen (Analytische Geometrie)
Zeichne die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein
$Pyramide mit den Punkten R_1 und R_{-1}$
Pyramide mit den Punkten $R_{1}$ und $R_{- 1}$
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Zeichne die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein.
Beachte Aufgabe e).
Durchläuft $k$ alle Werte von $- 1$ bis $1$ , dann dreht sich das Dreieck $O R_{k} S$ um die Strecke $[O S]$ . Dabei entsteht ein Körper. Beschreiben Sie die Form des entstehenden Körpers und bestimmen Sie das Volumen dieses Körpers.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Beschreibe die Form des entstehenden Körpers
Durchläuft $k$ alle Werte von $- 1$ bis $1$ , dann dreht sich das Dreieck $O R_{k} S$ um die Strecke $[O S]$ .
Nach Aufgabe e) gilt:
Die Seitenfläche $A D S$ der Pyramide liegt in der Ebenenschar für $k = - 1$ und die Seitenfläche $B D S$ der Pyramide liegt in der Ebenenschar für $k = 1$ .
Für $k = - 1$ schneidet $E_{- 1}$ die $x_{1} x_{2}$ -Ebene im Punkt $R_{- 1}$ (siehe Skizze in Aufgabe g).
Der Punkt $R_{- 1}$ hat von $O$ den Abstand $3$ .
Für $k = 1$ schneidet $E_{1}$ die $x_{1} x_{2}$ -Ebene im Punkt $R_{1}$ (siehe Skizze in Aufgabe g).
Der Punkt $R_{1}$ hat von $O$ den Abstand 3.
Nach Aufgabenstellung liegt die Seitenfläche $C D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ mit der Gleichung $E : 4 x_{2} + 3 x_{3} - 12 = 0$ . Die Ebene $E$ gehört zur Ebenenschar $E_{k}$ für $k = 0$ . Die Ebene $E_{0}$ schneidet die $x_{1} x_{2}$ -Ebene im Punkt L (siehe Skizze in Aufgabe h). Der Punkt $L$ hat von O den Abstand 3.
Weiterhin gilt nach Aufgabe e), dass der Punkt $S$ in allen Ebenen $E_{k}$ liegt. Nach Aufgabe f) ist die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $O S$ die Ebene $E_{k}$ schneidet, unabhängig von $k$ .
Durchläuft $k$ alle Werte von $- 1$ bis $1$ , dann laufen die Punkte $R_{k}$ beginnend bei $k = - 1$ über $k = 0$ bis $k = 1$ auf einem Halbkreis mit dem Radius 3 um O.
Es entsteht ein halber Kreiskegel. Er hat den Radius $r = 3$ und die Höhe $h = 4$ .
(siehe Skizze)
Anmerkung: Die Seitenfläche $A B S$ der Pyramide liegt nicht in der Ebenenschar $E_{k}$ .
$E_{A B S} : - 4 x_{2} + 3 x_{3} - 12 = 0$ , d.h. die $x_{2}$ -Komponente ist hier negativ, während die $x_{2}$ - Komponente der Normalenvektoren von $E_{k}$ nie negativ wird $(x_{2} = \sqrt{1 - k^{2}} \geq 0)$ .
Halber Kreiskegel
Bestimme das Volumen dieses Körpers
Der halbe Kreiskegel hat den Radius $r = 3$ und die Höhe $h = 4$ , dann folgt für das Volumen:
$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h \Rightarrow V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot 4 = 6 π$
Das Volumen des Körpers beträgt $6 π VE$ .
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Teil 1
Das sich drehende Dreieck von $R_{- 1}$ bis $R_{1}$ erzeugt einen Körper. Welcher Körper ist das?
Teil 2
Berechne das Volumen des Körpers.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$0$	$=$	$4 k \cdot x_{1} + 4 \sqrt{1 - k^{2}} \cdot x_{2} + 3 x_{3} - 12$
	↓	Setze $S (0 \| 0 \| 4)$ ein:
$0$	$=$	$4 k \cdot 0 + 4 \sqrt{1 - k^{2}} \cdot 0 + 3 \cdot 4 - 12$
	↓	Fasse zusammen
$0$	$=$	$12 - 12$
$0$	$=$	$0$

Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide

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Bestimme eine Gleichung von E in Koordinatenform

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Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von p zugrunde liegen

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Zeige, dass der Punkt S in allen Ebenen der Schar enthalten ist

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Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade OS die Ebene Ek schneidet, unabhängig von k ist

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Zeichne die Punkte R−1 und R1 in Abbildung 2 ein

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Beschreibe die Form des entstehenden Körpers

Bestimme das Volumen dieses Körpers

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Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen

Zeige, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist

Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $O S$ die Ebene $E_{k}$ schneidet, unabhängig von $k$ ist

Zeichne die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein