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Abbildung 1 zeigt die Pyramide ABCDS mit den Eckpunkten A(3|3|0), B(3|3|0), C(3|3|0), D(3|3|0) und S(0|0|4) sowie den Punkt O(0|0|0), der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt. Die Seitenfläche CDS der Pyramide liegt in der Ebene E.

Bild
  1. Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide.

  2. Genau eine der folgenden Gleichungen (1) bis (3) beschreibt eine Symmetrieebene der Pyramide. Geben Sie diese Gleichung an und begründen Sie für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene der Pyramide ist.

    (1) x1x3=0 (2) x1+x2+x3=4 (3) x1+x2=0

  3. Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform.

    (zur Kontrolle: 4x2+3x312=0 )

  4. Es gibt einen Punkt P(0|0|p), der im Innern der Pyramide liegt und von allen vier Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von p bestimmen:

    I Q=(00p)+t(043)

    II 44t+3(p+3t)12=0

    III |PQ|=p

    Erläutern Sie die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von p zugrunde liegen.

  5. Die Ebene E gehört zur Schar der Ebenen

    Ek:4kx1+41k2x2+3x312=0 mit k[1;1].

    Die Seitenfläche ADS der Pyramide liegt in der Ebene E1 der Schar, die Seitenfläche BCS in der Ebene E1.

    Zeigen Sie, dass der Punkt S in allen Ebenen der Schar enthalten ist.

  6. Weisen Sie nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade OS die Ebene Ek schneidet, unabhängig von k ist.

  7. Jede Ebene Ek der Schar schneidet die x1x2 -Ebene in einer Gerade gk. Mit Rk wird jeweils derjenige Punkt auf gk bezeichnet, der von O den kleinsten Abstand hat. In

    Abbildung 2 sind gk und Rk beispielhaft für eine Ebene Ek der Schar dargestellt.

    Pyramide

    Zeichnen Sie die Punkte R1 und R1 in Abbildung 2 ein.

  8. Durchläuft k alle Werte von 1 bis 1, dann dreht sich das Dreieck ORkS um die Strecke [OS]. Dabei entsteht ein Körper. Beschreiben Sie die Form des entstehenden Körpers und bestimmen Sie das Volumen dieses Körpers.