Bestimme den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ und interpretiere den Wert im beschriebenen Sachzusammenhang

Es ist $${\displaystyle \begin{array}{ccl}\text{E}(\text{X})& =& x_0\cdot \text{P}(\text{X}=x_0)+x_1\cdot \text{P}(\text{X}=x_1)+x_2\cdot \text{P}(\text{X}=x_2)+x_3\cdot \text{P}(\text{X}=x_3)\end{array}}$$

$\Rightarrow E(X)=0\cdot \mathrm{0,05}+1\cdot \mathrm{0,45}+2\cdot \mathrm{0,35}+3\cdot \mathrm{0,15}=\mathrm{0,45}+\mathrm{0,7}+\mathrm{0,45}=\mathrm{1,60}$.

Durchschnittlich sind $\mathrm{1,6}$ Kassen gleichzeitig besetzt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Werte der Zufallsgröße $X$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um ihren Erwartungswert liegen

$V(X)=\mathrm{0,64}\Rightarrow \sigma =\sqrt{V(X)}=\sqrt{\mathrm{0,64}}=\mathrm{0,8}$

$\mu -\sigma =\mathrm{1,6}-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,8}$ und $\mu +\sigma =\mathrm{1,6}+\mathrm{0,8}=\mathrm{2,4}$

$\Rightarrow P(\mathrm{0,8}<X<\mathrm{2,4})=P(X=1)+P(X=2)=\mathrm{0,45}+\mathrm{0,35}=\mathrm{0,8}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte der Zufallsgröße $X$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um ihren Erwartungswert liegen, beträgt $\mathrm{0,8}$.