Teil 2 Analysis I: mit Hilfsmitteln

In sogenannten Aluminiumhütten wird nach einem bestimmten Verfahren Aluminium aus Aluminiumoxid gewonnen. Die Temperatur vom Ausgangsstoff bis zum fertigen Endprodukt Aluminium während des Herstellungsprozesses kann modellhaft durch die Funktion $T$ mit der Funktionsgleichung $T (t) = 250 \cdot t \cdot e^{- 0,1 t} + 22$ mit $t \in ℝ_{0}^{+}$ beschrieben werden. Dabei steht die Variable $t$ für die Zeit in Minuten ab dem Zeitpunkt $t_{0} = 0$ . Der Funktionswert von $T$ gibt die Temperatur in Grad Celsius zum Zeitpunkt $t$ an.

Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen wird verzichtet. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.

Berechnen Sie die Temperatur im Herstellungsprozess nach fünf Minuten und die Temperatur, welche sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert bestimmen
Berechne die Temperatur im Herstellungsprozess nach fünf Minuten
Berechne $T (5) = 250 \cdot 5 \cdot e^{- 0,1 \cdot 5} + 22 = 1250 \cdot e^{- 0,5} + 22 \approx 780,16$
Die Temperatur im Herstellungsprozess nach fünf Minuten beträgt rund $780 ° C$ .
Berechne die Temperatur, welche sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt
Berechne $\lim_{t \to \infty} (\underset{\to 0}{\underset{⏟}{250 \cdot t \cdot e^{- 0,1 t}}} + 22) = 22$
Die Exponentialfunktion $e^{- 0,1 t}$ strebt viel schneller gegen null, als die Potenzfunktion $t$ gegen unendlich wächst. Deshalb geht $250 \cdot t \cdot e^{- 0,1 t}$ gegen null.
Die Temperatur, welche sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt, beträgt $22 ° C$ .
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Teil 1
Berechne $T (5)$ .
Teil 2
Berechne $\lim_{t \to \infty} (250 \cdot t \cdot e^{- 0,1 t} + 22)$ .
Beim Erreichen des Temperaturmaximums liegt Aluminium in flüssiger Form vor. Es wird mittels eines Saugrohres abgesaugt und kühlt anschließend ab.
Ermitteln Sie rechnerisch dieses Temperaturmaximum.
[Mögliches Teilergebnis: $\dot{T} (t) = 250 \cdot e^{- 0,1 t} - 25 \cdot t \cdot e^{- 0,1 t}]$ [7 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Ermittle rechnerisch dieses Temperaturmaximum
Gegeben: $T (t) = 250 \cdot t \cdot e^{- 0,1 t} + 22$
Berechne $\dot{T} (t)$ mithilfe der Produkt- und Kettenregel:
$\dot{T} (t) = 250 (1 \cdot e^{- 0,1 t} + t \cdot e^{- 0,1 t} \cdot (- 0,1)) = 250 \cdot e^{- 0,1 t} - 25 \cdot t \cdot e^{- 0,1 t} ✓$
Klammere $e^{- 0,1 t}$ aus:
$\dot{T} (t) = e^{- 0,1 t} (250 - 25 \cdot t)$
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $\dot{T} (t) = 0$ :
$0 = e^{- 0,1 t} (250 - 25 \cdot t)$
Weil $e^{- 0,1 t} \neq 0$ für alle $t \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$0 = 250 - 25 \cdot t \Rightarrow t = 10$
Erstelle eine Monotonietabelle:
$\dot{T} (0) = 250 > 0, \dot{T} (1) = 225 \cdot e^{- 0,1} > 0, \dot{T} (20) = e^{- 2} (250 - 25 \cdot 20) = - 250 \cdot e^{- 2} < 0$
$t$
$0$
$0 < t < 10$
$10$
$10 < t < \infty$
$\dot{T} (t)$
$+$
$+$
$0$
$-$
$G_{T}$
Rand $T P$
$↗$
HP
$↘$
$T (10) = 250 \cdot 10 \cdot e^{- 0,1 \cdot 10} + 22 = 2500 \cdot e^{- 1} + 22 \approx 941,7$
Das Temperaturmaximum beträgt rund $942 ° C$ .
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Berechne $\dot{T} (t)$ mithilfe der Produkt- und Kettenregel.
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $\dot{T} (t) = 0$ $\Rightarrow t_{1}$ .
Erstelle eine Monotonietabelle.
Berechne $T (t_{1})$ .
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $T$ im Bereich $0 \leq t \leq 60$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dazu für beide Achsen einen geeigneten Maßstab. Entnehmen Sie anschließend dem Graphen den Zeitpunkt $t_{20-fach}$ , zu dem die Temperatur im Abkühlvorgang dem 20-fachen der Anfangstemperatur entspricht.
[5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $T$ im Bereich $0 \leq t \leq 60$ in ein Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle.
$t$
$0$
$10$
$20$
$30$
$40$
$50$
$60$
$T (t)$
$22$
$942$
$699$
$395$
$205$
$106$
$59$
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
$G_{T}$
Entnimm anschließend dem Graphen den Zeitpunkt $t_{20-fach},$ zu dem die Temperatur im Abkühlvorgang dem 20-fachen der Anfangstemperatur entspricht
$T (0) = 22 \Rightarrow T_{20-fach} = 20 \cdot 22 = 440$
Zu $T_{20-fach} = 440$ gehört die Zeit $t_{20-fach} \approx 28$ (siehe Abbildung, gestrichelte Linien)
Der Zeitpunkt $t_{20-fach}$ , zu dem die Temperatur im Abkühlvorgang dem 20-fachen der Anfangstemperatur entspricht, beträgt rund $28$ Minuten.
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Teil 1
Erstelle eine Wertetabelle.
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.
Teil 2
Berechne $T_{20-fach}$ und entnimm dem Graphen $G_{T}$ die zugehörige Zeit.
Für die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen der Funktion $T$ gilt ohne Nachweis $W (20 | T (20))$ . Berechnen Sie $\dot{T} (20)$ und interpretieren Sie den Wert im Sinne der vorliegenden Thematik. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Berechne $\dot{T} (20)$
Gegeben: $\dot{T} (t) = e^{- 0,1 t} (250 - 25 \cdot t)$ und $W (20 | T (20))$
Berechne $\dot{T} (20) = e^{- 2} (250 - 25 \cdot 20) = - 250 \cdot e^{- 2} \approx - 33,8$
Interpretiere den Wert im Sinne der vorliegenden Thematik
Der Wendepunkt $W (20 | T (20))$ ist die Stelle der stärksten Temperaturabnahme mit etwa $- 33,8 \frac{° C}{m i n}$
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Teil 1
Berechne $\dot{T} (20)$ .
Teil 2
Der Wendepunkt $W (20 | T (20))$ ist die Stelle der stärksten Temperaturabnahme.
Wie groß ist diese Temperaturabnahme?

$t$	$0$	$0 < t < 10$	$10$	$10 < t < \infty$
$\dot{T} (t)$	$+$	$+$	$0$	$-$
$G_{T}$	Rand $T P$	$↗$	HP	$↘$

$t$	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$
$T (t)$	$22$	$942$	$699$	$395$	$205$	$106$	$59$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Berechne die Temperatur im Herstellungsprozess nach fünf Minuten

Berechne die Temperatur, welche sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt

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Ermittle rechnerisch dieses Temperaturmaximum

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Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion T im Bereich 0≤t≤60 in ein Koordinatensystem

Entnimm anschließend dem Graphen den Zeitpunkt t 20-fach,zu dem die Temperatur im Abkühlvorgang dem 20-fachen der Anfangstemperatur entspricht

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Berechne T˙(20)

Interpretiere den Wert im Sinne der vorliegenden Thematik

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Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $T$ im Bereich $0 \leq t \leq 60$ in ein Koordinatensystem

Entnimm anschließend dem Graphen den Zeitpunkt $t_{20-fach},$ zu dem die Temperatur im Abkühlvorgang dem 20-fachen der Anfangstemperatur entspricht

Berechne $\dot{T} (20)$