Teil 2 Analysis I: mit Hilfsmitteln

Berechne die Nullstellen der Funktion $f$

Löse die Gleichung $f(x)=0$:

$0=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4-2x^3-2x^2=x^2(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x-2)$

Verwende den Satz vom Nullprodukt:

$\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=0$ (doppelte Nullstelle) und

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x-2=0\Rightarrow x^2+4x+4=0\Rightarrow (x+2{)}^2=0\Rightarrow x_{\mathrm{3,4}}=-2$ (doppelte Nullstelle)

Ermittle jeweils die Art und die Koordinaten aller Punkte, in denen $G_f$ eine waagrechte Tangente besitzt

Gegeben: $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4-2x^3-2x^2$

Bilde die 1. Ableitung $f^{\prime }(x)$ und löse die Gleichung $f^{\prime }(x)=0$ (notwendige Bedingung).

$f^{\prime }(x)=-2x^3-6x^2-4x$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=-2x^3-6x^2-4x=-2x(x^2+3x+2)$

Verwende den Satz vom Nullprodukt:

$x_1=0$ (einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel)

$0=x^2+3x+2$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du

nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

$x_2=-{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-2$ (einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel)

$x_3=-{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-1$ (einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel)

Erstelle eine Monotonietabelle:

$f^{\prime }(-3)=12>0,f^{\prime }(-\mathrm{1,5})=-\mathrm{0,75}<0,f^{\prime }(-\mathrm{0,5})=\mathrm{0,75}>0,f^{\prime }(1)=-12<0$

$f(-2)=0$ (siehe Aufgabe a)$\Rightarrow HP(-2|0)$

$f(-1)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow TP(-1|-{\displaystyle \frac{1}{2}})$

$f(0)=0\Rightarrow HP(0|0)$

Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen $G_f$ für $-3\le x\le 1$ in ein kartesisches Koordinatensystem

Erstelle eine Wertetabelle:

Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.

1 Bestimme einen Funktionsterm von $p$

Gegeben: $S(-1|-\mathrm{1,5}),A(-3|-\mathrm{4,5}),B(1|-\mathrm{4,5})$

Scheitelform:

$p(x)=a(x+1{)}^2-\mathrm{1,5}$

Setze die Koordinaten von $A$ oder $B$ ein:

$-\mathrm{4,5}=a(1+1{)}^2-\mathrm{1,5}$

$-3=4a\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$

$p(x)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot (x+1{)}^2-\mathrm{1,5}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{9}{4}}✓$

Zeichne die zugehörige Parabel für $-3\le x\le 1$ in das vorhandene Koordinatensystem ein

2 Berechne die exakte Maßzahl des Flächeninhalts des beschriebenen Flächenstücks

Die beiden Schnittpunkte der beiden Graphen sind die Punkte $A$ und $B$.

$$\Rightarrow A={\displaystyle {\int }_{-3}^1(f(x)-p(x))\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_{-3}^1(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4-2x^3-2x^2-(-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{9}{4}}))\mathrm{d}x}}$$

$$A={\displaystyle {\int }_{-3}^1(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4-2x^3-2x^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{9}{4}})\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_{-3}^1(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4-2x^3-{\displaystyle \frac{5}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{9}{4}})\mathrm{d}x=}}$$$\begin{array}{l}{[-{\displaystyle \frac{1}{10}}{x}^5-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4-{\displaystyle \frac{5}{12}}{x}^3+{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{9}{4}}x]}_{-3}^1=\\ (-{\displaystyle \frac{1}{10}}\cdot 1^5-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1^4-{\displaystyle \frac{5}{12}}\cdot 1^3+{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 1^2+{\displaystyle \frac{9}{4}}\cdot 1)-(-{\displaystyle \frac{1}{10}}\cdot (-3{)}^5-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (-3{)}^4-{\displaystyle \frac{5}{12}}\cdot (-3{)}^3+{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot (-3{)}^2+{\displaystyle \frac{9}{4}}\cdot (-3))=\\ {\displaystyle \frac{119}{60}}-(-{\displaystyle \frac{99}{20}})={\displaystyle \frac{104}{15}}\end{array}$Die exakte Maßzahl des Flächeninhalts des beschriebenen Flächenstücks beträgt ${\displaystyle \frac{104}{15}}\mathrm{FE}$.

Berechne die Temperatur im Herstellungsprozess nach fünf Minuten

Berechne $T(5)=250\cdot 5\cdot e^{-\mathrm{0,1}\cdot 5}+22=1250\cdot e^{-\mathrm{0,5}}+22\approx \mathrm{780,16}$

Die Temperatur im Herstellungsprozess nach fünf Minuten beträgt rund $780°\mathrm{C}$.

Berechne die Temperatur, welche sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt

Berechne $${\displaystyle \underset{t\to \infty }{\lim }(\underset{\to 0}{\underbrace{250\cdot t\cdot e^{-\mathrm{0,1}t}}}+22)=22}$$

Die Exponentialfunktion $e^{-\mathrm{0,1}t}$ strebt viel schneller gegen null, als die Potenzfunktion $t$ gegen unendlich wächst. Deshalb geht $250\cdot t\cdot e^{-\mathrm{0,1}t}$ gegen null.

Die Temperatur, welche sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt, beträgt $22°\mathrm{C}$.

Ermittle rechnerisch dieses Temperaturmaximum

Gegeben: $T(t)=250\cdot t\cdot e^{-\mathrm{0,1}t}+22$

Berechne $\dot{T}(t)$ mithilfe der Produkt- und Kettenregel:

$\dot{T}(t)=250(1\cdot e^{-\mathrm{0,1}t}+t\cdot e^{-\mathrm{0,1}t}\cdot (-\mathrm{0,1}))=250\cdot e^{-\mathrm{0,1}t}-25\cdot t\cdot e^{-\mathrm{0,1}t}✓$

Klammere $e^{-\mathrm{0,1}t}$ aus:

$\dot{T}(t)=e^{-\mathrm{0,1}t}(250-25\cdot t)$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $\dot{T}(t)=0$:

$0=e^{-\mathrm{0,1}t}(250-25\cdot t)$

Weil $e^{-\mathrm{0,1}t}\ne 0$ für alle $t\in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$0=250-25\cdot t\Rightarrow t=10$

Erstelle eine Monotonietabelle:

$\dot{T}(0)=250>0,\dot{T}(1)=225\cdot e^{-\mathrm{0,1}}>0,\dot{T}(20)=e^{-2}(250-25\cdot 20)=-250\cdot e^{-2}<0$

$T(10)=250\cdot 10\cdot e^{-\mathrm{0,1}\cdot 10}+22=2500\cdot e^{-1}+22\approx \mathrm{941,7}$

Das Temperaturmaximum beträgt rund $942°C$.

Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $T$ im Bereich $0\le t\le 60$ in ein Koordinatensystem

Erstelle eine Wertetabelle.

Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.

Entnimm anschließend dem Graphen den Zeitpunkt $t_{\text{ 20-fach}},$zu dem die Temperatur im Abkühlvorgang dem 20-fachen der Anfangstemperatur entspricht

$T(0)=22\Rightarrow T_{\text{ 20-fach}}=20\cdot 22=440$

Zu $T_{\text{ 20-fach}}=440$ gehört die Zeit $t_{\text{ 20-fach}}\approx 28$ (siehe Abbildung, gestrichelte Linien)

Der Zeitpunkt $t_{\text{ 20-fach}}$, zu dem die Temperatur im Abkühlvorgang dem 20-fachen der Anfangstemperatur entspricht, beträgt rund $28$ Minuten.

Berechne $\dot{T}(20)$

Gegeben: $\dot{T}(t)=e^{-\mathrm{0,1}t}(250-25\cdot t)$ und $W(20|T(20))$

Berechne $\dot{T}(20)=e^{-2}(250-25\cdot 20)=-250\cdot e^{-2}\approx -\mathrm{33,8}$

Interpretiere den Wert im Sinne der vorliegenden Thematik

Der Wendepunkt $W(20|T(20))$ ist die Stelle der stärksten Temperaturabnahme mit etwa $-\mathrm{33,8}{\displaystyle \frac{°C}{min}}$