Bestimme rechnerisch eine Gleichung von $t$

Gegeben sind $f(x)={\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2-1$ und $P(4|1)$.

Ansatz für die Tangentengleichung:

$t:y=m\cdot x+b$

Dabei ist $m=f^{\prime }(4)$.

Berechne $f^{\prime }(4)$:

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2-{\displaystyle \frac{6}{8}}x\Rightarrow f^{\prime }(4)={\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot 4^2-{\displaystyle \frac{6}{8}}\cdot 4=6-3=3\Rightarrow m=3$

Dann ist $t:y=3\cdot x+b$.

Setze $P(4|1)$ ein:

$1=3\cdot 4+b\Rightarrow b=1-12=-11$

Die Gleichung von $t$ ist $y=3\cdot x-11$

Es gibt genau eine weitere Tangente an $G$, die parallel zu $t$ verläuft.

Skizziere diese in der Abbildung