Aufgaben zu vermehrtem und vermindertem Grundwert

Wie gut kennst du dich mit dem Grundwert aus? Lerne mit diesen Aufgaben das Rechnen mit dem vermehrten und verminderten Grundwert!

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Die Masse des herumliegenden Beton-Steins beträgt nach Schätzung des Maurers 10 kg, nach Schätzung des Architekten 16 kg.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz
erster Satz
Ergänze zuerst den ersten Satz:
$x\%\widehat=10\,\text{kg}$ (Schätzung des Maurers)
$100\%\widehat=16\,\text{kg}$ (Schätzung des Architekten)
Dividiere durch 100.
$1\%\widehat=0{,}16\,\text{kg}$
Errechne die Differenz der beiden Schätzungen.
$16\,\text{kg}-10\,\text{kg}=6\,\text{kg}$
Dividiere nun den Wert eines Prozents durch die errechnete Differenz.
$\frac{6\,\text{kg}}{0{,}16\,\text{kg}}=37{,}5\%$
Ergänze den Satz.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Schätzung des Maurers liegt 37,5% unter der Schätzung des Architekten.
zweiter Satz
Ergänze nun den zweiten Satz:
$x\%\widehat=16\,\text{kg}$
$100\%\widehat=10\,\text{kg}$
Dividiere durch 100.
$1\%\widehat=0{,}1\,\text{kg}$
Errechne die Differenz der beiden Schätzungen.
$\mathrm{16\ kg-10\ kg=6\,{kg}}$
Dividiere nun den Wert eines Prozents durch die errechnete Differenz.
$\frac{6\,\text{kg}}{0{,}1\,\text{kg}}\widehat=60\%$
Ergänze den Satz.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Schätzung des Architekten war 60% größer als die des Maurers.
2
Du siehst in einem Geschäft folgende Preistafel:
Was meinst du dazu?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Gegeben: $100\,€=100\%$
Gesucht: Wert von $25%$ Rabatt= $W$
Dreisatz anwenden.
$100\,€=100\%$
$x=25\%$
$W=\left(100\,€\cdot25\%\right):100\%$
$=25\,€$
Die Lösung von $100\,€$ subtrahieren.
$100\,€-25\,€=75\,€$
Antwort: Die Werbetafel beinhaltet eine falsche Aussage, da der reduzierte Preis 75 € betragen müsste, wenn der Preis um 25% gesenkt wird.
Wahrscheinlicher Fehler: Der Schreiber hat anscheinend die 25% Preisnachlass auf die 80 € bezogen, da 25% von 80 € 20 € sind. Die Summe von 20 € und 80 € ergibt 100 €.
Das ist aber bei dieser Aufgabenstellung der falsche Ansatz!

Fabian wiegt 60 kg. Nachdem er eine Woche lang einen Magen-Darm-Virus hatte, wiegt er nur noch 58,8 kg. Wie viel Prozent seines ursprünglichen Körpergewichts hat er verloren?

Löse die Aufgabe zu vermehrtem und vermindertem Grundwert.

Zu einem Fest kommen $24\ \%$ mehr Personen als die Veranstalter erwartet haben. Welcher Wert hat das Verhältnis der tatsächlichen Anzahl $n_2$ zur geschätzten Anzahl $n_1$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentzahl
$n_1=100\%$
$n_2=n_1+24\%=124\%$
Zu der Prozentzahl $124\ \%$ gehört der Faktor $1{,}24$ .
Das heißt, wenn sich der Anfangswert ( $100\ \%$ ) um $24\ \%$ vergrößern soll, muss man mit $1{,}24$ multiplizieren. Dann hat man den Wert, der $124\ \%$ des Anfangswertes entspricht.
$n_2=n_1\cdot 1{,}24$ $\left|:\;n_1\right.$
$\frac{n_2}{n_1}=1{,}24$
⇒ Man weiß also, dass das Verhältnis $\frac{n_2}{n_1}=1{,}24$ gilt.
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Die Körpergröße eines Kindes hat im Laufe eines Jahres von $x_{alt}$ auf $x_{neu}$ zugenommen. Wobei $\frac{x_{neu}}{x_{alt}}=1{,}084$ . Um wieviel Prozent ist es gewachsen?

5
Eine Baugrube mit einem Volumen von 400 m³ soll ausgehoben werden. Durch das Ausbaggern der Grube wird der Aushub aufgelockert, sodass sich das Volumen dadurch um 14% vergrößert. Wie viele LKWs mit 12 m³ Ladevolumen sind zum Abtransport des Aushubs erforderlich?
LKWs

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Grundwert $G = 400\, m³$
Prozentsatz $p = 14\%$
Gesucht wird der Prozentwert $W=\frac G{100\%}\cdot p$
= Volumenvergrößerung durch Auflockerung
$W=\frac{400\, m^3}{100\%}\cdot14\%=56\, m^3$
Abzutransportieren sind:
$400\, m^3+56\, m^3=456\, m^3$
Ein LKW fasst $12\, m³$ Erde.
Anzahl der LKWs:
$\frac{456\, m^3}{12\, \frac{m^3}{\mathrm{LKW}}}=38\, \mathrm{LKWs}$
$\Rightarrow$ Zum Abtransport der Erde sind 38 LKWs erforderlich.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Um ein Zimmer mit Holz zu verkleiden, sind $50\ \mathrm{m}^2$ Holzpaneele vorhanden. Die Fläche, die verkleidet werden soll, ist $46{,}8\ \mathrm{m}^2$ groß.
Wie viele $\mathrm{m}^2$ Paneele müssen noch nachgeliefert werden, wenn mit $18\%$ Verschnitt zu rechnen ist?
(Runde auf zwei Nachkommastellen.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Sei $n$ die nachzuliefernde Menge.
Grundwert: $G$ = $(50+n)\;m^2$
Prozentsatz: $p$ = $18%$
Verschnitt: $W=\frac{G\cdot p}{100\%}=\frac{(50+n)\;m^2\cdot18\%}{100\%}=(9+0{,}18n)m^2$
Wähle $n$ so, dass $G-W=(41+0{,}82n)\; m^2$ der zu verkleidenden Fläche von $46{,}8\;m^2$ entspricht.
$41+0{,}82n=46{,}8\;\Rightarrow0{,}82n=5{,}8\;\Rightarrow\;n=\frac{580}{82}=\frac{290}{41}\approx7{,}07$
Es müssen ca. $7{,}07\; m^2$ Paneele nachgeliefert werden.
7
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
500 g Erdbeeren werden auf dem Wochenmarkt für 1,75 € angeboten. Beim Kauf von 1,5 kg zahlt der Kunde nur 4,50 €.
Wie viel Prozent beträgt die Ersparnis?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verminderter und vermehrter Grundwert
Bestimme den Grundwert $G$ als Preis von 3 Schalen Erdbeeren a 500 $\, g$ .
$3\cdot500\, g$ Erdbeeren kosten: $3\cdot1{,}75\, €=5{,}25\, €$
Ein Direktkauf von 1,5 kg Erdbeeren kostet 4,50 €.
Ersparnis = $5{,}25\, €-4{,}50\, €=0{,}75\, €$ (Prozentwert $W$ )
prozentuale Ersparnis $p=\frac WG\cdot100\%=\frac{0{,}75\, €}{5{,}25\, €}\cdot100\%=\frac{1}7\cdot100\%\approx14{,}3\%$
$\Rightarrow$ Die Ersparnis beim Kauf von 1,5 kg Erdbeeren beträgt etwa 14,3%.
8
Herr Boller plant in seinem Garten einen Teich anzulegen. Das Volumen des Teiches soll 15,6 $m^3$ betragen.
Welche Erdmenge muss Herr Boller per Container abfahren lassen, wenn mit einer Auflockerung von 15% zu rechnen ist, also den Arbeiten sogar noch 15% mehr Erde ausgehoben werden müssen?
m³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Vermehrten Grundwert berechnen
Ordne die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.
Gegeben:
Grundwert $G=15{,}6\,\text{m}^3$
Prozentsatz $p = 15\%$
Es muss mehr Erde ausgehoben werden als der Grundwert angibt. Bei der gesuchten Größe handelt es sich also um einen vermehrten Grundwert.
Gesucht: vermehrter Grundwert $G_+$
Berechne zuerst wie viel Erde zusätzlich ausgehoben wird. Berechne dazu den Prozentwert $W$ zu den gegebenen Werten $p$ und $G$ mit Hilfe der Formel.
Lösung:
$W=G\cdot p\\=15{,}6\,\text{m}^3\cdot15\%\\=15{,}6\,\text{m}^3\cdot0{,}15\\= 2{,}34\,\text{m}^3$
Dieses Volumen an Erde, wird zusätzlich ausgehoben, wird also zu dem Grundwert addiert.
$G_+=G + W \\= 15{,}6\,\text{m}^3+2{,}34\,\text{m}^3=17{,}94\,\text{m}^3$
Antwort: Insgesamt müssen $17{,}94\; m^3$ Erdreich ausgehoben werden.
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Herr X. gewinnt im Lotto. Er spendet 8% seines Lottogewinns für den Bau eines Spielplatzes in der Nachbarschaft. Er überweist dafür 6464€.
Bestimme, wie viel Geld ihm vom Lottogewinn noch übrig bleibt.
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
$8\%\;\hat=\; 6464€$
$1\%\;\hat=\;808€$
Wenn Herr X. 8% seines Gewinns spendet, bleiben ihm noch:
$100\%-8\%=92\%$
Multipliziere den errechneten Prozentwert mit dem Wert eines Prozents, um den verbleibenden Gewinn zu bestimmen.
$92\ \%\ \hat{=}\ 92\cdot808€=74336€$
Antwort: Es bleiben Herrn X. noch $74336\ €$ des Lottogewinns übrig.
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Beim Braten von Fleisch gehen ca. 25% des Gewichtes beim Erhitzen verloren. Wie viel Fleisch muss eingekauft werden, wenn nach dem Braten 180 g vorliegen soll?
g

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
$180\,g\widehat=100\%-25\%$
$180\,g\widehat=75\%$
Lösungsmöglichkeit 1:
Gleichung mit $x$ (Gesamtmenge Fleisch) aufstellen.
Dabei muss $x$ mit dem Prozentsatz $\left(75\%=0{,}75\right)$ multipliziert die 180 g ergeben.
$x\cdot0{,}75=180\,g \qquad \left|:0{,}75\right.$
$x=240\,g$
Lösungsmöglichkeit 2:
mit Dreisatz:
$75\%\widehat=180\,g \qquad \left|:75\right.$
$1\%\widehat=2{,}4\,g \qquad \left|\cdot100\right.$
$100\%\widehat=240\,g$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Man muss $240\,g$ Fleisch einkaufen.
11
Eine Sonnenblume ist $75\ cm$ groß. Bis sie ausgewachsen ist, wächst sie noch um $55\%$ .
1. Um wie viel Zentimeter wächst sie noch?
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentwert und vermehrten Grundwert berechnen
  Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert, Prozentsatz zu.
  Gegeben: $G=75\ cm;p=55\%$
  Gesucht: W, G $^+$
  Wende die Prozentformel an.
  $W=p\cdot G$
  $W=55\%\cdot75\ cm=0{,}55\cdot75\ cm=41{,}25\ cm$
  Setze die Zahlen ein.
  Erste Antwort: Sie wächst $41{,}25\ cm.$
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2. Wie groß ist sie, wenn sie ausgewachsen ist?
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentwert und vermehrten Grundwert berechnen
  Addiere Grundwert und Prozentwert um den vermehrten Grundwert zu berechnen.
  G $^+$ $=75\ cm+41{,}25\ cm=116{,}25\ cm$
  Der vermehrte Grundwert entspricht der jetzigen Größe der Sonnenblume.
  Zweite Antwort: Die Sonnenblume ist jetzt $116{,}25\ cm$ groß.
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Im Tank eines Autos befinden sich 30 Liter Benzin. Auf einem Ausflug an den See werden $6\ \%$ des Benzins verbraucht.

Wie viel Liter Benzin wurden verbraucht?

Wie viel Liter Benzin sind jetzt noch im Tank?
l

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentwert und verminderten Grundwert berechnen
Subtrahiere den Prozentwert vom Grundwert, um den verminderten Grundwert zu berechnen.
G $^-$ = $30$ $-1{,}8$ $=28{,}2\ l$
Der verminderte Grundwert entspricht der jetzigen Tankfüllung.
Zweite Antwort: Im Tank des Autos sind jetzt noch $28{,}2\ l$ .
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle \frac{W}{G}$
	↓	Berechne hierzu zuerst W mit der Differenz von Grundwert und vermindertem Grundwert.
$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle G-G^-$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein und berechne.
$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle 60kg-58{,}8kg$
$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle 1{,}2kg$
	↓	Berechne jetzt den Prozentsatz.
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle \frac{1{,}2kg}{60kg}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}02$
	$=$	$\displaystyle 2\%$

$\displaystyle G^-$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1-p\right)$
	↓	Setze die gegebenen Größen ein.
$\displaystyle 58{,}8\ kg$	$=$	$\displaystyle 60\ kg\cdot\left(1-p\right)$
	↓	Dividiere durch 60 kg.
$\displaystyle 58{,}8\ kg:60\ kg$	$=$	$\displaystyle 1-p$
	↓	Führe die Division durch.
$\displaystyle 0{,}98$	$=$	$\displaystyle 1-p$
	↓	Addiere p.
$\displaystyle 0{,}98+p$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Subtrahiere $0{,}98$ und vereinfache.
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 1-0{,}98$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 0{,}02$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 2\%$

$\displaystyle \frac{x_{neu}}{x_{alt}}$	$=$	$\displaystyle 1{,}084$	$\displaystyle \cdot x_{alt}$
$\displaystyle x_{neu}$	$=$	$\displaystyle 1{,}084\cdot x_{alt}$

$\displaystyle W$	$=$	$\displaystyle p\cdot G$
	↓	Setze die Zahlen ein.
	$=$	$\displaystyle 6\%\cdot30$
	$=$	$\displaystyle 0{,}06\cdot30$
	$=$	$\displaystyle 1{,}8\ l$

Aufgaben zu vermehrtem und vermindertem Grundwert

erster Satz

zweiter Satz

Berechnung mit der Formel für den Prozentsatz

Berechnung mit der Formel für den verminderten Grundwert

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Vermehrten Grundwert berechnen

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