Aufgaben zum Umgang mit Bruchtermen

…

Fasse jeweils zu einem Bruch zusammen. In welchen Fällen ändert sich durch die Umformung die maximale Definitionsmenge?

$\dfrac2x-\dfrac x2+x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Defninitionsbereich einer Funktion

$\displaystyle \frac{2}{x}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{2}+x$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0\right\}$
	↓	Zusammenfassung zu einem Bruch
$\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{x}{2}+x$	$=$
	↓	Bilde den Hauptnenner
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{2x}-\frac{x^2}{2x}+\frac{2x^2}{2x}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x^2+4}{2x}$
	↓	Neue Definitionsmenge bestimmen
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0\right\}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

\displaystyle 1-\frac{2-y}y

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge einer Funktion

$\displaystyle 1-\frac{2-y}{y}$	$=$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0\right\}$
	↓	Zusammenfassen zu einem Bruch; den Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \frac{y-\left(2-y\right)}{y}$
	$=$	$\displaystyle \frac{y-2+y}{y}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2y-2}{y}$

$\Rightarrow$ Die maximale Definitionsmenge bleibt gleich.

\displaystyle \frac x{x-x^2}-\frac3{1-x}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge einer Funktion

$\displaystyle \frac{x}{x-x^2}-\frac{3}{1-x}$	$=$
	↓	Klammere $x$ aus
	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x\cdot\left(1-x\right)}-\frac{3}{1-x}$
	↓	Lese die Definitionslücken ab.
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{1;0\right\}$
	↓	Bruch berechnen
$\displaystyle \frac{x}{x\cdot\left(1-x\right)}-\frac{3}{1-x}$	$=$
	↓	Kürze mit $x$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x}$
	↓	Subtrahiere die Brüche
	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{1-x}$
	↓	Lese die Definitionslücke ab
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{1\right\}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Definitionsbereich ändert sich.

\displaystyle \frac t{t-a}+\frac2t+1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge einer Funktion

$\frac t{t-a}+\frac2t+1$

Die Nenner dürfen nicht 0 sein.

$\;\;\Rightarrow\;\;t\neq a\wedge t\neq0$

$\displaystyle \frac{t}{t-a}+\frac{2}{t}+1$	$=$
	↓	Bilde den Hauptnenner $t\cdot\left(t-a\right)$ und erweitere alle Brüche auf diesen
	$=$	$\displaystyle \frac{t\cdot t}{t\cdot\left(t-a\right)}+\frac{2\cdot\left(t-a\right)}{t\cdot\left(t-a\right)}+\frac{t\cdot\left(t-a\right)}{t\cdot\left(t-a\right)}$
	↓	Addiere
	$=$	$\displaystyle \frac{t^2+2\cdot\left(t-a\right)+t\cdot\left(t-a\right)}{t\cdot\left(t-a\right)}$
	↓	Multipliziere im Zähler die Klammern aus und fasse zusammen
	$=$	$\displaystyle \frac{2t^2+2t-2a-at}{t\cdot\left(t-a\right)}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Definitionsbereich verändert sich nicht.

Verändern würde er sich nur, wenn sich $t$ oder $a$ kürzen lassen würden.

$\frac{a-3}{a^2-3a}\cdot\frac{2a}{a+3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge einer Funktion

$\displaystyle \frac{a-3}{a^2-3a}\cdot\frac{2a}{a+3}$	$=$
	↓	a ausklammern
	$=$	$\displaystyle \frac{a-3}{a\cdot\left(a-3\right)}\cdot\frac{2a}{a+3}$
	↓	Definitionslücken ablesen
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{-3;\ 0;\ 3\right\}$
	↓	Zusammenfassen zu einem Bruch
$\displaystyle \frac{a-3}{a\cdot\left(a-3\right)}\cdot\frac{2a}{a+3}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(a-3\right)\cdot2a}{a\cdot\left(a-3\right)\cdot\left(a+3\right)}$
	↓	Bruch mit $a\cdot\left(a-3\right)$ kürzen
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{a+3}$
	↓	neue Definitionsmenge bestimmt
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{-3\right\}$

$1-\frac{x-3}{x+2}:\frac{3-x}{x+2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge einer Funktion

$\displaystyle 1-\frac{x-3}{x+2}:\ \frac{3-x}{x+2}$	$=$
	↓	mit dem Kehrwert multiplizieren
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{x-3}{x+2}\cdot\frac{x+2}{3-x}$
	↓	Definitionsbereich ablesen
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{-2;\ 3\right\}$
	↓	Zusammenfassen zu einem Bruch
$\displaystyle 1-\frac{x-3}{x+2}:\ \frac{3-x}{x+2}$	$=$
	↓	mit dem Kehrwert multiplizieren
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{x-3}{x+2}\cdot\frac{x+2}{3-x}$
	↓	$(x + 2)$ kürzen
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{x-3}{3-x}$
	↓	-1 im Zähler ausklammern
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{-\left(3-x\right)}{3-x}$
	↓	$(3 - x)$ kürzen
	$=$	$\displaystyle 1-\left(-1\right)$
	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Neue Definitionsmenge bestimmen/ablesen
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ$