Lösung 1e

Aufgabenstellung

%%1%% Gegeben ist die in %%\mathbb{R}%% definierte Funktion %%f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}%%. Der Graph von %%f%% wird mit %%G_f%% bezeichnet.

%%a)%% Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von %%G_f%% mit der %%y%%-Achse und begründen Sie, dass %%G_f%% oberhalb der %%x%%-Achse verläuft. (2 BE)

%%b)%% Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von %%G_f%% sowie das Verhalten von %%f%% für %%x \to -\infty%% und für %%x \to \infty%%. (3 BE)

%%c)%% Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung %%f''%% von %%f%% die Beziehung %%f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)%% für %%x\in \mathbb{R}%% gilt. Weisen Sie nach, dass %%G_f%% linksgekrümmt ist. (4 BE)

%%\rightarrow%% Zur Kontrolle: %%f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)%%

%%d)%% Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von %%G_f%%. (3 BE)

e) Berechnen Sie die Steigung der Tangente %%g%% an %%G_f%% im Punkt %%P(2|f(2))%% auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt %%P%% und die Gerade %%g%% in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: %%-4\leq x\leq4%%, %%-1 \leq y \leq 9%%). (3 BE)

Lösung

Berechnen der Tangentensteigung

Die Steigung der Tangente ist per Definition gleich zur Ableitung in einem Punkt. Setze also %%x=2%% in die erste Ableitung ein.

%%\begin{array}{rcl} &f'(2)&=&\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}\cdot2}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 2}\right)\\ &&=& \frac{1}{2}\cdot\left(e^1-e^{-1}\right)\\ &&\approx& 1,2 \end{array}%%

Die Steigung ist also %%1,2%%.

Zeichnen des Punktes und der Tangente

Bestimme zunächst die %%y%%-Koordinate von %%P%%.

%%\begin{array}{rcl} f(2)&=& e^{\frac{1}{2}\cdot 2}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 2}\\ &=& e^1 + e^{-1}\\ &\approx & 3,1 \end{array}%%

Die Koordinaten des Punktes sind also %%P(2|3,1)%%.

Du zeichnest den Punkt Punkt %%P%% in ein Koordinatensystem und bestimmst mit Hilfe eines Steigungsdreiecks einen weiteren Punkt %%Q%%. Diese beiden Punkte verbindest du zu der Geraden %%g%%.

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