Lösung 2d

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die %%8,0m%% voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph %%G_f%% aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich %%-4\leq x\leq4%% modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte %%F_1%% und %%F_2%% der Masten durch die Punkte %%(-4|0)%% bzw. %%(4|0)%% dagestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

%%a)%% Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechenen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau. (2 BE)

%%b)%% Berechen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau. (5 BE)

Der Graph von %%f%% soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in %%\mathbb{R}%% definierte quadratische Funktion %%q%% betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt %%(0|2)%% hat und durch den Punkt %%(4|f(4))%% verläuft.

%%c)%% Ermitteln Sie den Term %%q(x)%% der Funktion %%q%%, ohne dabei zu runden. (4 BE)

%%d)%% Für jedes %%x\in ]0;4[%% wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte %%(x|q(x))%% und %%(x|f(x))%% der Graphen von %%q%% bzw %%f%% betrachtet, wobei in diesem Bereich %%q(x) > f(x)%% gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen %%G_f%% im Bereich %%0<x<4%% annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann. (3 BE)

Lösung

Den Abstand zwischen zwei Funktionen bestimmst du, indem du die beiden Funktionen ganz einfach voneinander abziehst.
Anschließend bekommst du daraus eine neue Funktion.
Diese Funktion kannst du ableiten und das Maximum berechnen, indem du die Ableitung Null setzt. (Hierbei musst du darauf achten, dass sich das Maximum in dem angegebenen Intervall %%x\in ]0;4[%% liegt.)
Wenn du dann noch die zweite Ableitung ausrechnest, hast du bewiesen, dass es sich bei dem Extrempunkt aus der ersten Ableitung auf jeden Fall um ein Maximum und nicht um ein Terrassenpunkt handelt.

Schritte:

  • Funktionen voneinander abziehen. Betrag nehmen, dann ist die Reihenfolge egal (%%|q(x)-f(x)|=0%%)
  • Ableitung der neuen Funktion bilden und Null setzen
  • Extrempunkt herausfinden (sollte im Intervall %%]0;4[%% liegen)
  • Zweite Ableitung bilden und Extrempunkt (Maximum) bestätigen
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