FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: E-Funktion
Definitionsbereich festlegen
f(x)=e2xâ5exâ4â
e2xâ5 | = | 0 | +5 |
e2x | = | 5 | |
| â | Wende den Logarithmus an. |
2x | = | ln(5) | :2 |
x | = | 2ln(5)â | |
Damit ist der maximale Definitionsbereich Dfâ=Râ{2ln(5)â}.
f(x)=e2xâ5exâ4â
exâ4 | = | 0 | +4 |
ex | = | 4 | |
| â | Wende den Logarithmus an. |
x | = | ln(4) | |
Die einzige Nullstelle ist (ln(4)âŁ0).
1. Ableitung
f(x)=e2xâ5exâ4â
uâČ=ex,vâČ=2e2x
fâČ(x) | = | (e2xâ5)2exâ
(e2xâ5)â2e2xâ
(exâ4)â | |
| â | Löse die Klammern auf. |
| = | (e2xâ5)2e3xâ5exâ2e3x+8e2xâ | |
| â | Fasse gleiche Elemente zusammen. |
| = | (e2xâ5)2âe3x+8e2xâ5exâ | |
2. Ableitung
fâČ(x)=(e2xâ5)2âe3x+8e2xâ5exâ
uâČ=â3e3x+16e2xâ5ex,vâČ=(e2xâ5)â
2â
2e2x
fâČâČ(x) | = | (e2xâ5)4(â3e3x+16e2xâ5ex)â
(e2xâ5)2â(e2xâ5)â
2â
2e2xâ
(âe3x+8e2xâ5ex)â | |
| â | KĂŒrze  mit (e2xâ5) . |
| = | (e2xâ5)3(â3e3x+16e2xâ5ex)â
(e2xâ5)â2â
2e2xâ
(âe3x+8e2xâ5ex)â | |
| â | Löse die Klammern auf. |
| = | (e2xâ5)3â3e5x+16e4xâ5e3x+15e3xâ80e2x+25ex+4e5xâ32e4x+20e3xâ | |
| â | Fasse gleiche Elemente zusammen. |
| = | (e2xâ5)3e5xâ16e4x+30e3xâ80e2x+25exâ | |
Extrema bestimmen
fâČ(x)=(e2xâ5)2âe3x+8e2xâ5exâ
Es wird nur der ZĂ€hler der 1. Ableitung gleich 0 gesetzt, da ein Bruch 0 wird, wenn der ZĂ€hler 0 wird.
âe3x+8e2xâ5ex=0
Substitution
âu3+8u2â5u=0
uâ
(âu2+8uâ5)=0
Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.
âu1â=0
FĂŒr weitere Extrema wird nur das Innere der Klammer betrachtet.
âu2+8uâ5=0
u2,3â | = | 2â
(â1)â8±64â4â
(â1)â
(â5)ââ | |
| â | Unter der Wurzel subtrahieren . |
| = | â2â8±44ââ | |
| â | 2 lĂ€sst sich aus der Wurzel ziehen. |
| = | â2â8±211ââ | |
u2,3â
u2â=â2â8+211ââ=4â11â
u3â=â2â8â211ââ=4+11â
Resubstitution
u1â=ex1â
Die Exponentialfunktion ist immer gröĂer als 0. Die Gleichung ist daher nicht lösbar und x1â keine Nullstelle.
u2â=ex2â
4â11â=ex2â
ln(4â11â)=x2â
u3â=ex3â
4+11â=ex3â
ln(4+11â)=x3â
y-Werte bestimmen
f(x)=e2xâ5exâ4â
f(ln(4â11â)) | = | e2â
ln(4â11â)â5eln(4â11â)â4â=(4â11â)2â54â11ââ4â | |
| = | 16â811â+11â5â11ââ=22â811ââ11ââ | |
| = | 8â211â1â | |
(ln(4â11â) â 8â211â1â)
f(x)=e2xâ5exâ4â
f(ln(4+11â)) | = | e2â
ln(4+11â)â5eln(4+11â)â4â | |
| = | (4+11â)2â54+11ââ4â=22+811â11ââ | |
| = | 8+211â1â | |
(ln(4+11â) â 8+211â1â)
Art der Extrema bestimmen
fâČâČ(x)=(e2xâ5)3e5xâ16e4x+30e3xâ80e2x+25exâ
â(ln(4â11â) â 8â211â1â)
Die 2. Ableitung ist gröĂer 0, da ZĂ€hler und Nenner beide kleiner 0 sind. Also liegt an der Stelle x2â ein Tiefpunkt vor.
fâČâČ(ln(4+11â))=(e2â
ln(4â11â)+5)3e5â
ln(4+11â)â16e4â
ln(4+11â)+30e3â
ln(4+11â)â80e2â
ln(4+11â)+25eln(4+11â)â
â(ln(4+11â) â 8+211â1â)
Die 2. Ableitung ist kleiner 0, da der ZĂ€hler kleiner und der Nenner gröĂer 0 ist. Also liegt an der Stelle x3â ein Hochpunkt vor.