Zunächst legst du den Defintionsbereich fest:

$\displaystyle f\left(x\right)=\dfrac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

Damit ist der maximale Definitionsbereich $D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\ln(5)}2\right\}$.

Nullstellenbestimmung

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

Die einzige Nullstelle ist $(\ln(4)\mid0)$.$$

Ableitungen

Bilde die erste und zweite Ableitung von f:

1. Ableitung

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

$u'=e^x,\;v'=2e^{2x}$

Wende die Quotientenregel an.

2. Ableitung

$\displaystyle f'\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}$

Berechne die Ableitung von Zähler ($u'$) und Nenner ($v'$).

$u'=-3e^{3x}+16e^{2x}-5e^x,\;v'=\left(e^{2x}-5\right)\cdot2\cdot2e^{2x}$

Wende die Quotientenregel an.

$\displaystyle f'\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}$

Es wird nur der Zähler der 1. Ableitung gleich 0 gesetzt, da ein Bruch 0 wird, wenn der Zähler 0 wird.

$-u^3+8u^2-5u=0$

Klammere $u$ aus.

$u\cdot\left(-u^2+8u-5\right)=0$

Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

$\;\;\Rightarrow\;\;u_1=0$

Für weitere Extrema wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

$-u^2+8u-5=0$

Wende die Mitternachtsformel an.

$0=e^{x_1}$

Die Exponentialfunktion ist immer größer als 0. Die Gleichung ist daher nicht lösbar und $x_1$ keine Nullstelle.

$4-\sqrt{11}=e^{x_2}$

Wende den Logarithmus an.

$4+\sqrt{11}=e^{x_3}$

Wende den Logarithmus an.

$y$-Werte bestimmen

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

$x_2$  einsetzen.

$\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8-2\sqrt{11}}\right)\right.$

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

$x_3$ einsetzen.

$\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8+2\sqrt{11}}\right.\right)$

$f''\left(x\right)= \displaystyle \frac{e^{5x}-16e^{4x}+30e^{3x}-80e^{2x}+25e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^3}$

Setze $x_2$ ein.

$\Rightarrow \left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\ \left|\ \displaystyle \frac1{8-2\sqrt{11}}\right)\right.$

Die 2. Ableitung ist größer 0, da Zähler und Nenner beide kleiner 0 sind. Also liegt an der Stelle $x_2$ ein Tiefpunkt vor.

$f''\left(\ln(4+\sqrt{11})\right) = \displaystyle \frac{e^{5 \cdot \ln(4+\sqrt{11})}-16e^{4 \cdot \ln(4 +\sqrt{11})}+30e^{3 \cdot \ln(4 +\sqrt{11})}-80e^{2 \cdot \ln(4 + \sqrt{11})}+25e^{\ln(4+\sqrt{11})}}{(e^{2 \cdot \ln(4-\sqrt{11})} + 5)^3}$