Ansatz: $y=mx+t$

In diesem Ansatz musst du $m$ und $t$ bestimmen.

Zuerst berechnest du $m$:

• $m$ ist die Steigung der Tangente.

• Die Tangente hat an der Stelle x=7 die Steigung der Funktion $f(x)=2x^3+x^2-\mathrm{0,5}x+2$,

• und diese Steigung bestimmt man mit Hilfe der Ableitung von $f$.

Bilde daher die Ableitung $f^{\prime }(x)$.

$f^{\prime }(x)=6x^2+2x-\mathrm{0,5}$

Setze $x=7$ in diese Ableitung ein und berechne so die Steigung $m$ der Tangente.

$m=f^{\prime }(7)=\mathrm{307,5}$

Dieses $m$ kannst du nun in den Ansatz $y=mx+t$ einsetzen und erhältst:

$y=\mathrm{307,5}x+t$

Nun musst du noch $t$ bestimmen.

• Dazu brauchst du einen Punkt, der auf der Geraden liegt, und den du in den Ansatz einsetzen kannst.

Dafür kommt natürlich nur der Punkt $P$ bei $x=7$ in Frage, an dem die Tangente den Graphen von $f$ berührt.

$P(7|y_P)$

Da $P$ auf dem Graphen von $f$ liegt, erhältst du den $y$-Wert von $P$ dadurch, dass du

• $x=7$ in $f(x)$ einsetzt.

$y_P=f(7)=\mathrm{733,5}$

Der Punkt $P$ hat also die Koordinaten:

$P(7|\mathrm{733,5})$

• Setze $P$ in die Geradengleichung $y=\mathrm{307,5}x+t$ ein.

$\mathrm{733,5}=\mathrm{307,5}\cdot 7+t$

Löse diese Gleichung nach $t$ auf, um den $y$-Achsenabschnitt $t$ der Tangente zu berechnen.

$\mathrm{733,5}=\mathrm{2152,5}+t|-\mathrm{2152,5}$

$-1419=t$

Dies setzt du in den Ansatz für die Tangente ein, wobei du nun wieder $x$ und $y$ (und nicht mehr die Koordinaten von $P$) schreibst.

Damit erhältst du die gesuchte Tangentengleichung.