Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und die 1. Ableitung der folgenden Funktion:
f(x)=2−ln(x2−1)1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Nullstellen des Nenner
f(x)=2−ln(x2−1)1
Der Nenner ist dann 0, wenn ln(x2−1)=2 ist.
| ln(x2−1) | = | 2 | ∣e(...) |
| x2−1 | = | e2 | +1 |
| x2 | = | e2+1 | |
| x | = | ±e2+1 |
⇒x1=−e2+1,x2=e2+1
Definitionsbereich des Logarithmus
f(x)=2−ln(x2−1)1
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
| x2−1 | > | 0 | +1 |
| x2 | > | 1 | |
| ∣x∣ | > | 1 |
⇒x>1 oder x<−1
⇒ Df=]−∞;−1[∪ ]1;+∞[\{−e2+1,e2+1}
Nullstellenbestimmung
⇒ Da im Zähler der Funktion kein Element mit x vorkommt, hat die Funktion keine Nullstellen.
Ableitungen
Bilde die 1. Ableitung
f(x)=2−ln(x2−1)1
Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.
f(x)=(2−ln(x2−1))−1
Leite jetzt mit Hilfe der Kettenregel ab:
f‘(x)=−(2−ln(x2−1))−2⋅(−x2−11⋅2x)=(x2−1)⋅(2−ln(x2−1))22x
