Aufgaben zur Diskussion von ln-Funktionen

…

Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und die 1. Ableitung der folgenden Funktion:

$\displaystyle f(x)=\frac{1+(\mathrm{\ln x})^2}{1-(\mathrm{\ln x})^2}$

$D_f=D_{\max}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ln-Funktion

Bestimme den Definitionsbereich von f:

$\displaystyle f(x)=\frac{1+(\mathrm{\ln x})^2}{1-(\mathrm{\ln x})^2}$

Um die Definitionslücken zu finden, benötigst du die Nullstellen des Nenners. Setze den Nenner des Bruchs gleich 0.

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

$\mathrm x>0$

$\Rightarrow$ $D_f=\;\rbrack\;0;\;\infty\;\lbrack\;\backslash\;\left\{\;\dfrac1e;\;e\right\}$

Bestimme die Nullstellen von f:

$\displaystyle f(x)=\frac{1+(\mathrm{lnx})^2}{1-(\mathrm{lnx})^2}$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

$\textstyle1+(\mathrm{lnx})^2=0$

Durch das Quadrieren kann der zweite Summand nicht negativ werden.

$\Rightarrow$ Die Funktion hat keine Nullstellen.

Ableitung bilden

Bilde die Ableitung:

$\displaystyle f(x)=\frac{1+(\mathrm{lnx})^2}{1-(\mathrm{lnx})^2}$

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs (jeweils unter Verwendung der Kettenregel).

$\mathrm u`=2\cdot\mathrm{lnx}\cdot\frac1{\mathrm x},\;\mathrm v`=-2\cdot\mathrm{lnx}\cdot\frac1{\mathrm x}$

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{2\cdot\ln x\cdot\frac{1}{x}\cdot(1-(\ln x)^2)-(-2)\cdot\ln x\cdot\frac{1}{x}\cdot(1+(\ln x)^2)}{(1-(\ln x)^2)^2}$
	↓	$\frac1x$ ausklammern und verbleibende Elemente ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{{\displaystyle\frac1x}\cdot\left(2\cdot\ln x-2\cdot\left(\ln x\right)^3+2\cdot\ln x+2\cdot\left(\ln x\right)^3\right)}{\left(1-\left(\ln x\right)^2\right)^2}$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{4\cdot\ln x}{x\cdot\left(1-\left(\ln x\right)^2\right)^2}$

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