Vierfeldertafel

Du zeichnest zuerst eine leere Vierfeldertafel mit den beiden Ereignissen, die in der Aufgabenstellung angegeben sind. Anschließend kannst du die schwarzen Werte aus dem Text entnehmen und schließlich die roten Werte über Additionen und Subtraktionen ausrechnen, wie das genau funktioniert, wird im Artikel zu Vierfeldertafeln erklärt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{V} & 280 & \color{red}{70} & \color{red}{350} \\\hline\mathrm{\overline V}& \color{red}{120} & 30 & \color{red}{150} \\\hline\ & 400 & \color{red}{100} & 500 \end{array}$

Nun kannst du eine Vierfeldertafel mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten erstellen, indem du den Wert in jeder Zelle durch die Gesamtzahl $500$ teilst. Vielleicht hast du auch direkt diese Vierfeldertafel erstellt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{V} & 0{,}56 & 0{,}14& 0{,}7\\\hline\mathrm{\overline V}& 0{,}24& 0{,}06 & 0{,}3 \\\hline\ & 0{,}8 & 0{,}2 & 1 \end{array}$

Stochastische Unabhängigkeit

Um zu überprüfen, ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, musst du folgende Formel nachrechnen. Stimmt sie (auf beiden Seiten erhältst du dasselbe Ergebnis), dann sind sie unabhängig.

$P(A\cup V)=P(A)\cdot P(V)$

$P(A\cup V)$ kannst du in der Vierfeldertafel ablesen: $P(A\cup V)=0{,}56$

Auch die Werte für $P(A)$ und $P(V)$ kannst du ablesen und danach kannst du das Produkt ausrechnen:

$P(A)\cdot P(V)=0{,}8\cdot 0{,}7=0{,}56$

Damit stimmt die Formel und die beiden Ereignisse sind stochastisch unabhängig.

Bedeutung im Sachzusammenhang

Die Verbesserung der Symptome hängt nicht von der Wahl des Medikaments ab. Sie ist bei Hustensaft A genauso gut wie bei Hustensaft B.

Mit dem Satz von Sylvester lässt sich $P(\overline A\cup V)$ wie folgt berechnen: