In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist. Setze also $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein:

Antwort: Die Lösung ist x = 3 und y = 2.

In diesem Fall bietet sich das Additionsverfahren an, weil in beiden Gleichungen $\mathrm{y}$ vorkommt.

Wir rechnen also $\mathrm{I}+\mathrm{II}$:

$\begin{array}{llrl}& I)& \phantom{-}y-3x& =1\\ -& II)& y+x& =1\\ & A)& \phantom{-2x+}-4x& =0\end{array}$

Jetzt können wir $\mathrm{A})$ nach $\mathrm{x}$ auflösen:

$\begin{array}{rccc}-4x& =& 0& |:(-4)\\ x& =& 0& \end{array}$

Jetzt können wir $\mathrm{x}=0$ in $\mathrm{I}$ oder in $\mathrm{II}$ einsetzen. Welche Gleichung man wählt ist egal. Wir setzen $\mathrm{x}=0$ in $\mathrm{I}$ ein und erhalten:

$\begin{array}{rcccc}0& +& y& =& 1\\ & & y& =& 1\end{array}$

Antwort: Die Lösung ist x = 0 und y = 1.

Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an, weil man leicht nach einer Variable auflösen kann.

Wir lösen $\mathrm{I}$ nach $\mathrm{y}$ auf:

$\begin{array}{rccccc}4x& +& 2y& =& 4& |-4x\\ 2y& =& 4& -& 4x& |:2\\ y& =& 2& -& 2x& \end{array}$

Jetzt können wir $\mathrm{y}$ in $\mathrm{II}$ einsetzen:

$\begin{array}{rcccccc}6x& -& 3(2& -& 2x)& =& -3\\ 6x& -& 6& +& 6x& =& -3\\ 12x& -& 6& =& -3& |& +6\\ 12x& =& 3& |:12& & & \\ x& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}& & & & \end{array}$

Jetzt setzen wir $\mathrm{x}$ in $\mathrm{II}$ ein:

$\begin{array}{rcccc}6\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}& -& 3y& =& -3\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}& -& 3y& =& -3& |& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ -3y& =& -{\displaystyle \frac{9}{2}}& |:(-3)& \\ y& =& {\displaystyle \frac{3}{2}}& & \end{array}$

Antwort: Die Lösung ist also $x={\displaystyle \frac{1}{4}}$ und $y={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an, weil $\mathrm{I}$ nach $2\mathrm{y}$ aufgelöst ist. $\mathrm{II}$ kann man leicht auch nach $2\mathrm{y}$ auflösen:

$\begin{array}{rccccc}4y& =& 2x& +& 10& |:2\\ 2y& =& x& +& 5& \end{array}$

Jetzt setzen wir die beiden Gleichungen gleich:

$\begin{array}{rccccccc}3x& +& 4& =& x& +& 5& |-x\\ 2x& +& 4& =& 5& |-4& & \\ 2x& =& 1& |:2& & & & \\ x& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}& & & & & \end{array}$

Jetzt können wir $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Welche man wählt ist egal.

Wir setzen $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ in $\mathrm{I}$ ein:

$\begin{array}{rcccc}3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}& +& 4& =& 2y\\ {\displaystyle \frac{11}{2}}& =& 2y& |:2& \\ {\displaystyle \frac{11}{4}}& =& y& & \end{array}$

Antwort: Die Lösung ist also $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ und $y={\displaystyle \frac{11}{4}}$.