Definitionsmenge:

Die Nullstellen des Nenners sind $x_1=-2$ und $x_2=2\Rightarrow D_f=ℝ\backslash \{-2;2\}$

Art der Definitionslücken:

Die Definitionslücken sind $x_1=-2\Rightarrow$hebbare Definitionslücke

und $x_2=2\Rightarrow$Polstelle 2. Ordnung ohne Vorzeichenwechsel

Nullstellen:

Die Nullstellen des Zählers sind $x_3=0$ und $x_4=-2\text{aber}{x}_4\notin D_f$

Demnach ist $x_3=0$ die einzige Nullstelle.

Art und Gleichung aller Asymptoten:

Es gibt eine senkrechte Asymptote $x=2$.

Der Zählergrad ($Z$) von $f$ ist $2$ und der Nennergrad ($N$) ist $3\Rightarrow Z<N$

$\Rightarrow$es gibt eine waagrechte Asymptote $y_A=0$

Begründung:

1 Im Ursprung gibt es einen absoluten Hochpunkt$\Rightarrow g^{\prime }(0)=0$.

2 Im Hochpunkt einer Funktion liegt immer eine Rechtskrümmung (konkave Krümmung) vor, da die Funktion dort von steigend zu fallend wechselt, was mathematisch bedeutet, dass die zweite Ableitung $g^{\prime \prime }(x)$ negativ ist.

3 $G_g$ liegt vollständig oberhalb der x-Achse$$\Rightarrow {\displaystyle {\int }_{-1}^{1}g(x)\mathrm{d}x>0}$$.

Kreuze entsprechend an.

Funktion $h$:

Der Nenner der Funktion $h$ darf nicht gleich null werden.

Es gilt: $g(x)=0$ für $x=-1$ und $x=1$ (das sind die einzigen Nullstellen von $g$).

$\Rightarrow D_h=ℝ\backslash \{-1;1\}$

Funktion $j$:

Als Exponent der e-Funktion dürfen alle $x\in ℝ$ eingesetzt werden.

$\Rightarrow D_j=ℝ$

Lösung zu i):

$(3x-{\displaystyle \frac{1}{13}})\cdot (e^{x-4}-1)=0$

Verwende den Satz vom Nullprodukt:

$\Rightarrow (3x-{\displaystyle \frac{1}{13}})=0\vee (e^{x-4}-1)=0$

Der erste Faktor wird null: $(3x-{\displaystyle \frac{1}{13}})=0\Rightarrow 3x={\displaystyle \frac{1}{13}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{39}}$

Der zweite Faktor wird null: $(e^{x-4}-1)=0\Rightarrow e^{x-4}=1\Rightarrow x-4=0\Rightarrow x=4$

$\Rightarrow L=\{{\displaystyle \frac{1}{39}};4\}$

Lösung zu ii):

$\Rightarrow L=\{e^e+4\}$

Lösung zu i):

$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}20-20\\ 5-10\\ 12-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\\ 12\end{array}\right)\Rightarrow D(10|5|12)$

Lösung zu ii):

$E:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AB}+t\cdot \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}20-10\\ 10-10\\ 0-0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20-10\\ 5-10\\ 12-0\end{array}\right)$

$\Rightarrow E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 12\end{array}\right)$

Bekannt sind $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 12\end{array}\right)$.

$A=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{{10}^2+0^2+0^2}\cdot \sqrt{0^2+(-5{)}^2+{12}^2}=\sqrt{100}+\sqrt{169}=10\cdot 13=130$

Die Maßzahl des Flächeninhalts des Solarmoduls beträgt $130{\text{ dm}}^2$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}15\\ 8\\ \mathrm{2,5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}15\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ \mathrm{2,5}\end{array}\right)$.

Der Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}_E$ der Ebene $E$ ist gleich dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren von $E$.

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_E=\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -120\\ -50\end{array}\right)$

Wenn $\overrightarrow{PQ}\parallel {\overrightarrow{n}}_E$, dann steht der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ senkrecht auf $E$ $\Rightarrow$ der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ muss ein Vielfaches des Vektors ${\overrightarrow{n}}_E$ sein.

Es gilt: $(-20)\cdot \overrightarrow{PQ}=(-20)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ \mathrm{2,5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -120\\ -50\end{array}\right)={\overrightarrow{n}}_E$, also ist der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ein Vielfaches des Vektors ${\overrightarrow{n}}_E$ sein.