Ziel der Linearfaktorzerlegung ist es, ein Polynom von seiner Normalform

%%\style{font-size:18px}{p(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_0}%%  

in die Linearfaktordarstellung

%%\style{font-size:18px}{p(x)=a_n\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\cdot\dots\cdot\left(x-x_k\right)\cdot Restglied}%%

umzuformen. Dabei sind  %%x_1%%%%x_2%% , ... ,  %%x_k%%   die Nullstellen des Polynoms  %%p%%. Das Restglied ist ein Polynom, das selbst keine reellen Nullstellen mehr hat.

Die Idee der Linearfaktorzerlegung ist, von dem Ausgangspolynom  %%f(x)%% nacheinander alle Nullstellen "abzuspalten".  Häufig verwendet man dazu die Polynomdivision .

Allgemeine Vorgehensweise

Für ein Polynom in der Form  %%p(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_0%% geht man wie folgt vor:

  1. Gemeinsame Faktoren ausklammern

  2. Nullstellen "abspalten"

  3. Sobald man keine weitere Nullstellen mehr abspalten kann, stellt man das Polynom in der Form   %%p(x)=a_n\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\cdot\dots\cdot\left(x-x_k\right)\cdot Restglied%% auf

%%\\%%      

Polynom 2. Grades

Bei quadratischen Polynomen der Form  %%ax^2+bx+c%%  kann man die Linearfaktordarstellung mit Hilfe der Nullstellen direkt hinschreiben.

  • Keine Nullstelle:

das Polynom kann nicht weiter zerlegt werden

  • Eine doppelte Nullstelle:

  %%a\left(x-x_1\right)^2%%

  • Zwei Nullstellen:

%%a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)%%

Zu Berechnung der Nullstellen siehe Artikel " quadratische Gleichung ".

%%\\%%   

Polynom höheren Grades

Hier erfolgt das Nullstellen-Abspalten meist über Polynomdivision . Dazu ist es oft einfacher, wenn man zuerst alle gemeinsamen Faktoren ausklammert. Dann kann man das Nullstellen-Abspalten in 5 Schritten durchführen:

%%\;%%

Beispiel:

  %%f(x)=x^3-3x^2-x+3%%

1.%%\;%%Erraten einer Nullstelle  %%{N}_1%%.

Durch Raten und Einsetzen sieht man, dass  %%{1}%% eine Nullstelle ist.

2.%%\;%%Aufstellen des dazugehörigen Linearfaktors %%(x - N_1)%%.

Der dazugehörige Linearfaktor ist  %%(x-{1})%%.

3.%%\;%%Das Ausgangspolynom mittels Polynomdivision durch den Linearfaktor teilen (Da %%{N}_1%% eine Nullstelle ist, entsteht kein Rest bei der Polynomdivsion).

%%(x^3-3x^2-x+3)\;:\;(x-{1})={x}^2-2x-3%%

4.%%\;%%Das neu entstandene Polynom nennen wir  %%\widetilde f(x)%% .

%%\widetilde f(x)=x^2 -2x -3%%

5.%%\;%%Das Ausgangspolynom %%f(x)%% können wir schreiben als  %%f(x)=\widetilde f(x)\cdot (x-N_1)%% .

%%f(x)=(x^2-2x-3)\cdot(x-1)%%

Falls  %%\widetilde f(x)%% noch Nullstellen besitzt und selbst noch kein Linearfaktor ist, startet man wieder mit Schritt 1, allerdings mit %%\widetilde f(x)%% als Ausgangspolynom.

Jetzt kann man mit  %%f(x)=x^2-2x-3%% als Ausgangspolynom und -1 als erratene Nullstelle wieder mit Schritt 1 beginnen.

Allgemein kann man auch die Linearfaktoren direkt aufstellen, indem man die Nullstellen ausrechnet. Mehr Methoden dazu siehe Artikel " Nullstellen berechnen ". Beachte dabei, dass man dann das Restglied durch Polynomdivision ausrechnen muss, falls man weniger als n Nullstellen hat.

Beispiel

%%\style{font-size:18px}{f(x)=2x^4+12x^3+16x^2-12x-18}\\%%

Man kann zuerst 2 ausklammern, also  %%f(x)=2\cdot(x^4+6x^3+8x^2-6x-9)%% und betrachtet von nun an das Polynom  %%x^4+6x^3+8x^2-6x-9\\%% .

  1. %%N_1=1%% ist eine Nullstelle

  2. %%(x-1)%%  ist der Linearfaktor dazu

  3. Polynomdivision:  %%(x^4+6x^3+8x^2-6x-9) : (x-1)=x^3+7x^2+15x+9%%

  4. Also %%\widetilde f(x)=x^3+7x^2+15x+9%%

  5. %%f(x)=2\cdot(x^3+7x^2+15x+9)\cdot(x-1)\\%%

Das neue Ausgangspolynom ist  %%\widetilde f(x)=x^3+7x^2+15x+9\\%%

  1. %%N_2=-1%%  ist Nullstelle

  2. %%(x+1)%%  ist der Linearfaktor dazu

  3. Polynomdivision:  %%(x^3+7x^2+15x+9) : (x+1)=x^2+6x+9%%

  4. %%\widetilde{\widetilde f}(x)=x^2+6x+9%%

  5. %%\widetilde f(x)=(x^2+6x+9)\cdot(x+1)%%

Das neue Ausgangspolynom ist  %%\widetilde{\widetilde f}(x)=x^2+6x+9%% .

Hier kann man sich die Polynomdivision sparen. Denn durch genaues Hinsehen sieht man, dass  %%x^2+6x+9=(x+3)^2%%  ein  Binom ist, es hat also die doppelte Nullstelle -3. %%\left(x+3\right)^2%% ist der entsprechende Linearfaktor dazu. 

Insgesamt ergibt sich also:

  %%\boldsymbol f\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol)\boldsymbol=\mathbf2\boldsymbol\cdot\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol+\mathbf3\boldsymbol)\boldsymbol\cdot\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol+\mathbf3\boldsymbol)\boldsymbol\cdot\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol+\mathbf1\boldsymbol)\boldsymbol\cdot\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol-\mathbf1\boldsymbol)%%

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melanie_wekerle 2017-04-14 14:08:51
hallo, ich mache eine GFS über dieses Thema und brauche für die Quellenangabe den nahmen des Autoren. Diesen finde ich hier aber nicht also bitte ich darum, dass mir der Name zugeschickt wird bzw. hier kommentiert wird
Renate 2017-04-15 07:28:18
Hallo melanie_wekerle,
hier genauso wie beim Artikel "Linearfaktordarstellung":

- Welche Nutzer / Teammitglieder speziell an diesem Artikel mitgewirkt haben, findet man ggf. im Bearbeitungsverlauf (Rädchen oben anklicken, "Bearbeitungsverlauf" auswählen) - allerdings ist auch bei diesem Artikel der unterste Eintrag "Legacy", sodass dich das wohl nicht an den / die Hauptautoren des Artikels führt.

- Wenn du eine Frage / ein Feedback zu dem Artikel hast, schreibe einfach einen Kommentar - an wen auch immer aus der Community.

- Wenn du zitieren willst, dann ist als Quelle Serlo anzugeben und nicht irgendeiner der (Mit-)Autoren. Das machst du dann so, wie man es auch bei einem Wikipedia-Artikel machen würde.

Viele Grüße und nochmals viel Erfolg bei deiner Arbeit
Renate
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