Gemischte Aufgaben zur Ableitung

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$f (x) = \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) + 4$

Überlege zunächst, welche der genannten Hilfsmittel und Ableitungsregeln nützlich sein können und leite die Funktion anschließend ab!

Konstantenregel
Quotientenregel
Kettenregel
Ableitungsregel des Logarithmus

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quotientenregel

Zur Ableitung dieser Funktion musst du neben der Quotientenregel wissen, wie man den natürlichen Logarithmus mithilfe der Kettenregel ableitet.

Kettenregel vorbereiten

Die Funktion $f$ zerteilt sich in die innere Funktion $v (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ und die äußere Funktion $u (x) = \ln x$ .

Wegen $f^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$ benötigst du von beiden Funktionen die Ableitung

Ableitung von $\ln x$

$\ln x$ ist eine Grundfunktion, deren Ableitung du im Artikel Ableitung berechnen findest:

$u^{'} (x) = \frac{1}{x}$

Ableitung der inneren Funktion mithilfe der Quotientenregel

Um die innere Funktion abzuleiten, benötigst du die Quotientenregel.Damit du einfach in die Regel einsetzen kannst, empfiehlt es sich, Zähler und Nenner vorab einzeln abzuleiten:

$p (x) = 1 + x \Rightarrow p^{'} (x) = 1$

$q (x) = 1 - x \Rightarrow q^{'} (x) = - 1$

Die Quotientenregel lautet:

$v ´ (x)$	$=$	$\frac{p ´ (x) \cdot q (x) - q ´ (x) \cdot p (x)}{q {(x)}^{2}}$
	↓	Setze diese Bestandteile in die Formel ein
$v ´ (x)$	$=$	$\frac{1 \cdot (1 - x) - (- 1) \cdot 1 (+ x)}{{(1 - x)}^{2}}$
	↓	Berechne im Zähler, beachte die Vorzeichen.
$v ´ (x)$	$=$	$\frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$
	↓	Berechne im Zähler
$v ´ (x)$	$=$	$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Kettenregel anwenden

Nachdem du die Bestandteilte der Kettenregel berechnet hast, kannst du die Regel jetzt anwenden.

$f (x)$	$=$	$\ln (\frac{1 + x}{1 - x}) + 4$
	↓	Verwende die Summen- und Konstantenregel für die Zahl 4 und die Kettenregel.
$f ´ (x)$	$=$	$u ´ (v (x)) \cdot v ´ (x)$
	↓	Setze die Bestandteile ein. Beachte dabei: $\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$
$f ´ (x)$	$=$	$\frac{1 - x}{1 + x} \cdot \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$
	↓	Multipliziere die Bruchterme und kürze dabei $(1 - x)$ .
$f ´ (x)$	$=$	$\frac{2}{(1 + x) (1 - x)}$

Insgesamt ist also die Summenregel, die Faktorregel die Kettenregel, die Quotientenregel und die Ableitungsregel des $\ln$ zum Einsatz gekommen. Außerdem musstest du mit Bruchtermen rechnen.

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→ Was bedeutet das?

Kettenregel vorbereiten

Ableitung von ln⁡x

Ableitung der inneren Funktion mithilfe der Quotientenregel

Kettenregel anwenden

Ableitung von $\ln x$