Quotientenregel und Potenzgesetze

Es gibt zwei verschiedene Wege, die Ableitung von $f(x)$ zu bestimmen.

Variante 1

Bei der ersten Möglichkeit nutzt du die Quotientenregel.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} f'(x) &= \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1}{x^2} \\&=-\frac{1}{x^2} \end{aligned}$

Vereinfache nun den Zähler.

Variante 2

Bei der zweiten Möglichkeit nutzt du zunächst das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.

$f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f'(x) &= -1 \cdot x^{-2} \\&= -\frac{1}{x^2}\end{aligned}$

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Beide Varianten liefern das Endergebnis $-x^{-2}$ bzw. $-\frac{1}{x^2}$.

Tipp: Löse die Aufgabe mit Hilfe der Kettenregel.

Ableiten einer Wurzelfunktion

Die Ableitung von $g(x)$ bestimmst du mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel.

$g'(x) = (\sqrt{2x+1})'$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g'(x)} = ((2x+1)^{\frac{1}{2}})'$

Leite mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel ab.

$\phantom{g'(x)}=\dfrac{1}{2} \cdot (2x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2$

Kürze mit 2.

$\phantom{g'(x)}=(2x+1)^{-\frac{1}{2}}$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten.

$\phantom{g'(x)}=\dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{1}{2}}}$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g'(x)}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Die gesuchte Funktion ist also $g'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$.

Tipp: Bilde die Kompositionen bzw. Verkettungen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$.

Wenn du nicht genau weißt, was eine Komposition (oder Verkettung) von Funktionen ist, dann schau doch hier nach.

Kompositionen von Funktionen

Um die erste der beiden Kompositionen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zu erhalten, musst du $g(x)$ in $f(x)$ einsetzen.

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{2 x+1}) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Die andere Komposition der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ erhältst du, wenn du $f(x)$ in $g(x)$ einsetzt.

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g\left(\dfrac{1}x \right) = \sqrt{2 \cdot \dfrac{1}{x}+1}$

Ergänzung

Man sieht, dass sich die Ergebnisse unterscheiden: $\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}} \neq \sqrt{2\cdot\frac{1}{x}+1}$.

Es kommt also bei der Verkettung von Funktionen auf die Reihenfolge an!

Tipp: Nutze für $f(g(x))$ zuerst die Quotientenregel und dann die Kettenregel und für $g(f(x))$ erst die Kettenregel und dann die Quotientenregel.

Teil 1

Wende die Quotientenregel auf $\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ und dabei die Kettenregel auf $\sqrt{2x+1}$ an, um die Ableitung zu bestimmen.

$f(g(x))'= \dfrac{\sqrt{2x+1}\cdot0-1\cdot\frac12\cdot (2x+1)^{-\frac12}\cdot2}{2x+1}$

Vereinfache nun den Zähler.

$\phantom{f(g(x))'}= \dfrac{-(2x+1)^{-\frac12}}{2x+1}$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um $(2x+1)$ in den Nenner zu schreiben.

$\phantom{f(g(x))'}= \dfrac{-1}{(2x+1)(2x+1)^{\frac{1}{2}}}$

Verwende das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis.

$\phantom{f(g(x))'}= \dfrac{-1}{(2x+1)^{1+\frac{1}{2}}}$

Addiere $1$ und $\frac{1}{2}$ im Exponenten.

$\phantom{f(g(x))'} = - \dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}$

Teil 2

Wende hier die Kettenregel auf $\sqrt{\frac{2}{x}+1}$ und dabei die Quotientenregel auf $\frac{2}{x}$ an, um die Ableitung zu bestimmen.

$g(f(x))'=\dfrac{1}{\color{#FF6600} {2}}\cdot \left(\dfrac{2}{x}+1\right)^{-\frac12} \cdot \left(-\dfrac{\color{#FF6600} {2}}{x^2}\right)$

Kürze die $\color{#FF6600} {2}$.

$\phantom{g(f(x))'}=\left(\dfrac{2}{x}+1\right)^{-\frac12} \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um $\left(\dfrac{2}{x}+1\right)$ in den Nenner zu schreiben.

$\phantom{g(f(x))'}=\dfrac1{(\frac{2}{x}+1)^{\frac{1}{2}}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g(f(x))'}=\dfrac1{\sqrt{\frac{2}{x}+1}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)$

$\phantom{g(f(x))'}= -\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1} \cdot x^2}$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.

Die gesuchten Funktionen sind $g(f(x))'= -\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1} \cdot x^2}$ und $f(g(x))' = - \dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}$

Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

Tipp: Deine Ergebnisse aus Teilaufgabe a) und b) können dir hier helfen.

Kettenregel

Teil 1

Um die Ableitung von $f(g(x))$ zu bestimmen, wendest du die Kettenregel an.

$f(g(x))'= f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Setze $f'(x)$ und $g'(x)$ ein.

$\phantom{f(g(x))'}= -\dfrac{1}{(g(x))^2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Setze $g(x)$ ein.

$\phantom{f(g(x))'}= -\dfrac{1}{(\sqrt{2x+1})^2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen und vereinfache.

$\phantom{f(g(x))'}= -\dfrac{1}{(2x+1) \cdot \sqrt{2x+1}}$

Verwende die Potenzgesetze.

$\phantom{f(g(x))'} = - \dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}$

Teil 2

Um die Ableitung von $g(f(x))$ zu bestimmen, wendest du ebenfalls die Kettenregel an.

$g(f(x))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$

Setze $g'(x)$ und $f'(x)$ ein.

$\phantom{g(f(x))'} = \dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot f(x)+1}} \cdot \left( -\dfrac{1}{x^2} \right)$

Setze $f(x)$ ein.

$\phantom{g(f(x))'} = \dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}} \cdot \left( -\dfrac{1}{x^2} \right)$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.

$\phantom{g(f(x))'}= -\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1} \cdot x^2}$

Die gesuchten Funktionen sind also $g(f(x))'= -\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1} \cdot x^2}$ und $f(g(x))' = - \dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}$