Quotientenregel und Potenzgesetze

Es gibt zwei verschiedene Wege, die Ableitung von $f(x)f(x)$ zu bestimmen.

Variante 1

Bei der ersten Möglichkeit nutzt du die Quotientenregel.

Vereinfache nun den Zähler.

Variante 2

Bei der zweiten Möglichkeit nutzt du zunächst das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}=x^{-1}f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{x\}=x^\{-1\}$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Beide Varianten liefern das Endergebnis $-x^{-2}-x^\{-2\}$ bzw. $-\frac{1}{x^2}-\backslash frac\{1\}\{x^2\}$.

Tipp: Löse die Aufgabe mit Hilfe der Kettenregel.

Ableiten einer Wurzelfunktion

Die Ableitung von $g(x)g(x)$ bestimmst du mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=(\sqrt{2x+1}{)}^{\mathrm{\prime }}g\text{'}(x)\; =\; (\backslash sqrt\{2x+1\})\text{'}$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}=((2x+1{)}^{\frac{1}{2}}{)}^{\mathrm{\prime }}\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}\; =\; ((2x+1)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\})\text{'}$

Leite mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel ab.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; (2x+1)^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\}\; \backslash cdot\; 2$

Kürze mit 2.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}=(2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=(2x+1)^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\}$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{1}{2}}}}\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{1\}\{(2x+1)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g^{\mathrm{\prime }}(x)}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}\backslash phantom\{g\text{'}(x)\}=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}$

Die gesuchte Funktion ist also $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}g\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}$.

Tipp: Bilde die Kompositionen bzw. Verkettungen der Funktionen $f(x)f(x)$ und $g(x)g(x)$.

Wenn du nicht genau weißt, was eine Komposition (oder Verkettung) von Funktionen ist, dann schau doch hier nach.

Kompositionen von Funktionen

Um die erste der beiden Kompositionen der Funktionen $f(x)f(x)$ und $g(x)g(x)$ zu erhalten, musst du $g(x)g(x)$ in $f(x)f(x)$ einsetzen.

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{2x+1})={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}(f\; \backslash circ\; g)(x)\; =\; f(g(x))\; =\; f(\backslash sqrt\{2\; x+1\})\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}$

Die andere Komposition der Funktionen $f(x)f(x)$ und $g(x)g(x)$ erhältst du, wenn du $f(x)f(x)$ in $g(x)g(x)$ einsetzt.

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=\sqrt{2\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}+1}(g\; \backslash circ\; f)(x)\; =\; g(f(x))\; =\; g\backslash left(\backslash dfrac\{1\}x\; \backslash right)\; =\; \backslash sqrt\{2\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{x\}+1\}$

Ergänzung

Man sieht, dass sich die Ergebnisse unterscheiden: ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}\mathrm{\ne }\sqrt{2\cdot \frac{1}{x}+1}\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}\; \backslash neq\; \backslash sqrt\{2\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{x\}+1\}$.

Es kommt also bei der Verkettung von Funktionen auf die Reihenfolge an!

Tipp: Nutze für $f(g(x))f(g(x))$ zuerst die Quotientenregel und dann die Kettenregel und für $g(f(x))g(f(x))$ erst die Kettenregel und dann die Quotientenregel.

Teil 1

Wende die Quotientenregel auf $\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}$ und dabei die Kettenregel auf $\sqrt{2x+1}\backslash sqrt\{2x+1\}$ an, um die Ableitung zu bestimmen.

$f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\sqrt{2x+1}\cdot 0-1\cdot \frac{1}{2}\cdot (2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2}{2x+1}}f(g(x))\text{'}=\; \backslash dfrac\{\backslash sqrt\{2x+1\}\backslash cdot0-1\backslash cdot\backslash frac12\backslash cdot\; (2x+1)^\{-\backslash frac12\}\backslash cdot2\}\{2x+1\}$

Vereinfache nun den Zähler.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{-(2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}}{2x+1}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}=\; \backslash dfrac\{-(2x+1)^\{-\backslash frac12\}\}\{2x+1\}$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um $(2x+1)(2x+1)$ in den Nenner zu schreiben.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{-1}{(2x+1)(2x+1{)}^{\frac{1}{2}}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}=\; \backslash dfrac\{-1\}\{(2x+1)(2x+1)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}$

Verwende das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{-1}{(2x+1{)}^{1+\frac{1}{2}}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}=\; \backslash dfrac\{-1\}\{(2x+1)^\{1+\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}$

Addiere $11$ und $\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$ im Exponenten.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}\; =\; -\; \backslash dfrac\{1\}\{(2x+1)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}$

Teil 2

Wende hier die Kettenregel auf $\sqrt{\frac{2}{x}+1}\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}$ und dabei die Quotientenregel auf $\frac{2}{x}\backslash frac\{2\}\{x\}$ an, um die Ableitung zu bestimmen.

$g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {({\displaystyle \frac{2}{x}}+1)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{2}{x^2}})g(f(x))\text{'}=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash color\{\#FF6600\}\; \{2\}\}\backslash cdot\; \backslash left(\backslash dfrac\{2\}\{x\}+1\backslash right)^\{-\backslash frac12\}\; \backslash cdot\; \backslash left(-\backslash dfrac\{\backslash color\{\#FF6600\}\; \{2\}\}\{x^2\}\backslash right)$

Kürze die $2\backslash color\{\#FF6600\}\; \{2\}$.

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={({\displaystyle \frac{2}{x}}+1)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}=\backslash left(\backslash dfrac\{2\}\{x\}+1\backslash right)^\{-\backslash frac12\}\; \backslash cdot\; \backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{x^2\}\backslash right)$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um $({\displaystyle \frac{2}{x}}+1)\backslash left(\backslash dfrac\{2\}\{x\}+1\backslash right)$ in den Nenner zu schreiben.

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{(\frac{2}{x}+1{)}^{\frac{1}{2}}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}=\backslash dfrac1\{(\backslash frac\{2\}\{x\}+1)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}\backslash cdot\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{x^2\}\backslash right)$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}=\backslash dfrac1\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}\}\backslash cdot\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{x^2\}\backslash right)$

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}\; \backslash cdot\; x^2\}$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.

Die gesuchten Funktionen sind $g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}g(f(x))\text{'}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}\; \backslash cdot\; x^2\}$ und $f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}f(g(x))\text{'}\; =\; -\; \backslash dfrac\{1\}\{(2x+1)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}$

Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

Tipp: Deine Ergebnisse aus Teilaufgabe a) und b) können dir hier helfen.

Kettenregel

Teil 1

Um die Ableitung von $f(g(x))f(g(x))$ zu bestimmen, wendest du die Kettenregel an.

$f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(g(x))\cdot g^{\mathrm{\prime }}(x)f(g(x))\text{'}=\; f\text{'}(g(x))\; \backslash cdot\; g\text{'}(x)$

Setze $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ und $g^{\mathrm{\prime }}(x)g\text{'}(x)$ ein.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{(g(x){)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{(g(x))^2\}\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}$

Setze $g(x)g(x)$ ein.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{2x+1}{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{(\backslash sqrt\{2x+1\})^2\}\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x+1\}\}$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen und vereinfache.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1)\cdot \sqrt{2x+1}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{(2x+1)\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{2x+1\}\}$

Verwende die Potenzgesetze.

$\phantom{f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}\backslash phantom\{f(g(x))\text{'}\}\; =\; -\; \backslash dfrac\{1\}\{(2x+1)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}$

Teil 2

Um die Ableitung von $g(f(x))g(f(x))$ zu bestimmen, wendest du ebenfalls die Kettenregel an.

$g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}=g^{\mathrm{\prime }}(f(x))\cdot f^{\mathrm{\prime }}(x)g(f(x))\text{'}\; =\; g\text{'}(f(x))\; \backslash cdot\; f\text{'}(x)$

Setze $g^{\mathrm{\prime }}(x)g\text{'}(x)$ und $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ ein.

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\cdot f(x)+1}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\; \backslash cdot\; f(x)+1\}\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; -\backslash dfrac\{1\}\{x^2\}\; \backslash right)$

Setze $f(x)f(x)$ ein.

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; -\backslash dfrac\{1\}\{x^2\}\; \backslash right)$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.

$\phantom{g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}\backslash phantom\{g(f(x))\text{'}\}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}\; \backslash cdot\; x^2\}$

Die gesuchten Funktionen sind also $g(f(x){)}^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}g(f(x))\text{'}=\; -\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{x\}+1\}\; \backslash cdot\; x^2\}$ und $f(g(x){)}^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}f(g(x))\text{'}\; =\; -\; \backslash dfrac\{1\}\{(2x+1)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}$