Aufgaben zu linearen Funktionen und Geradengleichungen

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade verläuft durch die Punkte $P_1$ und $P_2$ . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

${\mathrm P}_1\left(2|1\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(5|4\right)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze ${\mathrm P}_1$ und ${\mathrm P}_2$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t$
Wende das Additionsverfahren an.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1)\;1=\mathrm m\cdot2+\mathrm t\\2)\;4=\mathrm m\cdot5+\mathrm t\end{array}$
$\displaystyle 1)-\;2)\;-3$ $=$ $\displaystyle -3m$ $\displaystyle :(-3)$
$\displaystyle m$ $=$ $\displaystyle 1$
Setze m in 1) ein.
$\displaystyle 1$ $=$ $\displaystyle 1\cdot2+t$ $\displaystyle -2$
$\displaystyle t$ $=$ $\displaystyle -1$
Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\mathrm y=\mathrm x-1\;\Rightarrow\;\mathrm f(x)=x-1$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
$\displaystyle x-1$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle +1$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N}}$ $=$ $\displaystyle 1$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $\mathrm S_1\left(1|0\right)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt (t) $\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S_2\left(0|-1\right)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $\mathrm S_1$ und $\mathrm S_2$ oder die beiden vorgegebenen Punkte $\mathrm P_1$ und $\mathrm P_2$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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${\mathrm P}_1\left(-3|-2\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(2\,|\,3\right)$

${\mathrm P}_1\left(-2|\,3\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(4\,|-1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen

Bestimmung der Funktionsgleichung

Setze ${\mathrm P}_1$ und ${\mathrm P}_2$ in die allgemeine Geradengleichung ein.

$y=mx+t$

Wende das Additionsverfahren an.

$3=-2m+t$
$-1=4m+t$

1) - 2)
	↓
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle -6m$	$\displaystyle :\left(-6\right)$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{-6}$
	↓	Kürze mit 2.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}$
	↓	Setze m in 1) ein
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle -2\left(-\frac{2}{3}\right)+t$
	↓	Multipliziere.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}+t$	$\displaystyle -\frac{4}{3}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 3-\frac{4}{3}$
	↓	Subtrahiere.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 1\frac{2}{3}$
	↓	Setze m und t in die allg. Geradengleichung ein.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}x+1\frac{2}{3}$

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze $y=0$ ein, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu erhalten

$\displaystyle -\frac{2}{3}x+1\frac{2}{3}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1\frac{2}{3}$
$\displaystyle -\frac{2}{3}x$	$=$	$\displaystyle -1\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$	$\displaystyle :\left(-\frac{2}{3}\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{5}{3}}{-\frac{2}{3}}$
	↓	Brüche dividieren.
$\displaystyle x_N$	$=$	$\displaystyle -\frac{5}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{2}=2{,}5$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $\mathrm S_1\left(\frac52\,|\,0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(0\,|\,\frac53\right)$

Zeichnung

Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $\mathrm S_1$ und $\mathrm S_2$ ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte $\mathrm P_1$ und $\mathrm P_2$ .

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${\mathrm P}_1\left(-4\,|-1\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(3\,|\,1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen

Bestimmung der Funktionsgleichung

$\mathrm y=\mathrm{mx}+\mathrm t\\$

Setze ${\mathrm P}_1$ und ${\mathrm P}_2$ in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1)\;-1=-4\mathrm m+\mathrm t\\2)\;1=3\mathrm m+\mathrm t\end{array}\\$

Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1)-2)$

$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle -7m$	$\displaystyle :\left(-7\right)$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{7}$
	↓	Setze $m$ in $2)$ ein.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{7}\cdot3+\mathrm{t}$	$\displaystyle -\frac{6}{7}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 1-\frac{6}{7}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{7}$

Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\mathrm y=\frac27\mathrm x+\frac17\Rightarrow\mathrm f(x)=\frac27x+\frac17$

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze $y=0$ , um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen

$\displaystyle \frac{2}{7}\mathrm{x}+\frac{1}{7}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -\frac{1}{7}$
$\displaystyle \frac{2}{7}\mathrm{x}$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{7}$	$\displaystyle :\frac{2}{7}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{-\frac17}{\frac27}\\$
	↓	Dividiere die Brüche. $\rightarrow$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac17\cdot\frac72$
$\displaystyle {\mathrm x}_\mathrm N$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $\mathrm S_1\left(-\frac12\,|\,0\right)$ .

Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow\;\;\mathrm S_2\left(0\,|\,\frac17\right)$

Zeichnung

Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $\mathrm S_1$ und $\mathrm S_2$ ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte $\mathrm P_1$ und $\mathrm P_2$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung sieben nach rechts und zwei nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

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${\mathrm P}_1\left(-3\,|\,\frac92\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(4\,|-1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen

Bestimmung der Funktionsgleichung

$\mathrm y=\mathrm{mx}+\mathrm t\\$

Setze ${\mathrm P}_1$ und ${\mathrm P}_2$ in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1)\;\frac92=-3\mathrm m+\mathrm t\\2)\;-1=4\mathrm m+\mathrm t\end{array}\\$

Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1)-\;2):$

$\displaystyle \frac{11}2$	$=$	$\displaystyle -7m$	$\displaystyle :(-7)$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{\frac{11}2}{-7}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle -\frac{11}{14}\\$

Setze $m$ in $2)$ ein.

$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle -\frac{11}{14}\cdot4+\mathrm t$
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle -\frac{44}{14}+\mathrm t$	$\displaystyle +\frac{44}{14}$

$\mathrm t=\frac{30}{14}\\$

Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\mathrm y=-\frac{11}{14}\mathrm x+\frac{30}{14}$

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen.

$\displaystyle -\frac{11}{14}\mathrm x+\frac{30}{14}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -\frac{30}{14}$
$\displaystyle -\frac{11}{14}\mathrm x$	$=$	$\displaystyle -\frac{30}{14}$	$\displaystyle :\left(-\frac{11}{14}\right)$
	↓	Dividiere die Brüche. Das heißt multipliziere mit dem Kehrbruch.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{30}{14}\cdot\left(-\frac{14}{11}\right)$
$\displaystyle {\mathrm x}_\mathrm N$	$=$	$\displaystyle \frac{30}{11}$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $\mathrm S_1\left(\frac{30}{11}\,|\,0\right)$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(0\,|\,\frac{30}{14}\right)$

Zeichnung

Verbinde die beiden vorgegebenen Punkte $\mathrm P_1$ und $\mathrm P_2$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 14 nach rechts und 11 nach unten und verbinde diese beiden Punkte.

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${\mathrm P}_1\left(-4\,|-2\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(\frac72\,|\,4\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen

Bestimmung der Funktionsgleichung

$\mathrm y=\mathrm{mx}+\mathrm t\\$

Setze ${\mathrm P}_1$ und ${\mathrm P}_2$ in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1)\;-2=-4\mathrm m+\mathrm t\\2)\;4=3{,}5\mathrm m+\mathrm t\end{array}\\$

Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1)-2)$ :

$\displaystyle -6$	$=$	$\displaystyle -7{,}5m$	$\displaystyle :\left(-7{,}5\right)$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{-6}{-7{,}5}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle 0{,}8$
	↓	Setze $m$ in $1)$ ein.
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 0{,}8\cdot\left(-4\right)+\mathrm{t}$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle -3{,}2+\mathrm{t}$	$\displaystyle +3{,}2$

$\mathrm t=1{,}2\\$

Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\mathrm y=0{,}8\mathrm x+1{,}2\Rightarrow\mathrm f(x)=0{,}8x+1{,}2$

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze $y=0$ , um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen

$\displaystyle 0{,}8\mathrm{x}+1{,}2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1{,}2$
$\displaystyle 0{,}8\mathrm{x}$	$=$	$\displaystyle -1{,}2$	$\displaystyle :0{,}8$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-1{,}2}{0{,}8}$

${\mathrm x}_\mathrm N=-1{,}5$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $\mathrm S_1\left(-1{,}5\,|\,0\right)$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(0\,|\,1{,}2\right)$

Zeichnung

Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $\mathrm S_1$ und $\mathrm S_2$ ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte $\mathrm P_1$ und $\mathrm P_2$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 0,8 nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

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$\displaystyle 1)-\;2)\;-3$	$=$	$\displaystyle -3m$	$\displaystyle :(-3)$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1\cdot2+t$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle x-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N}}$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 1)-\;2)\;-5$	$=$	$\displaystyle -5m$	$\displaystyle :\left(-5\right)$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Setze m in 2) ein.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 2+t$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \mathrm{x}+1\Rightarrow\mathrm{f}(x)=x+1$

$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N}}$	$=$	$\displaystyle -1$