Aufgaben zu linearen Funktionen und Geradengleichungen

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade verläuft durch die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

$P_{1} (2 | 1) P_{2} (5 | 4)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = m \cdot x + t$
Wende das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{l} 1) 1 = m \cdot 2 + t \\ 2) 4 = m \cdot 5 + t \end{array}$
$1) - 2) - 3$ $=$ $- 3 m$ $: (- 3)$
$m$ $=$ $1$
Setze m in 1) ein.
$1$ $=$ $1 \cdot 2 + t$ $- 2$
$t$ $=$ $- 1$
Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = x - 1 \Rightarrow f (x) = x - 1$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
$x - 1$ $=$ $0$ $+ 1$
$x_{N}$ $=$ $1$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (1 | 0)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt (t) $\Rightarrow S_{2} (0 | - 1)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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$P_{1} (- 3 | - 2) P_{2} (2 | 3)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} y = m \cdot x + t \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) - 2 = m \cdot (- 3) + t \\ 2) 3 = m \cdot 2 + t \end{array} \end{array}$
$1) - 2) - 5$ $=$ $- 5 m$ $: (- 5)$
$m$ $=$ $1$
↓
Setze m in 2) ein.
$3$ $=$ $2 + t$ $- 2$
$t$ $=$ $1$
↓
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y$ $=$ $x + 1 \Rightarrow f (x) = x + 1$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen
$x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$x_{N}$ $=$ $- 1$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (- 1 | 0)$ .
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S (0 | 1)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$
oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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$P_{1} (- 2 | 3) P_{2} (4 | - 1)$

$P_{1} (- 4 | - 1) P_{2} (3 | 1)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
$\begin{array}{l} y = mx + t \end{array}$
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) - 1 = - 4 m + t \\ 2) 1 = 3 m + t \end{array} \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1) - 2)$
$- 2$ $=$ $- 7 m$ $: (- 7)$
$m$ $=$ $\frac{2}{7}$
↓
Setze $m$ in $2)$ ein.
$1$ $=$ $\frac{2}{7} \cdot 3 + t$ $- \frac{6}{7}$
$t$ $=$ $1 - \frac{6}{7}$
$t$ $=$ $\frac{1}{7}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = \frac{2}{7} x + \frac{1}{7} \Rightarrow f (x) = \frac{2}{7} x + \frac{1}{7}$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze $y = 0$ , um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen
$\frac{2}{7} x + \frac{1}{7}$ $=$ $0$ $- \frac{1}{7}$
$\frac{2}{7} x$ $=$ $- \frac{1}{7}$ $: \frac{2}{7}$
$x$ $=$ $\frac{- \frac{1}{7}}{\frac{2}{7}}$
↓
Dividiere die Brüche. $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$ $=$ $- \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{2}$
$x_{N}$ $=$ $- \frac{1}{2}$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (- \frac{1}{2} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S_{2} (0 | \frac{1}{7})$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung sieben nach rechts und zwei nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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$P_{1} (- 3 | \frac{9}{2}) P_{2} (4 | - 1)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
$\begin{array}{l} y = mx + t \end{array}$
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) \frac{9}{2} = - 3 m + t \\ 2) - 1 = 4 m + t \end{array} \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1) - 2) :$
$\frac{11}{2}$ $=$ $- 7 m$ $: (- 7)$
$m$ $=$ $\frac{\frac{11}{2}}{- 7}$
$m$ $=$ $- \frac{11}{14}$
Setze $m$ in $2)$ ein.
$- 1$ $=$ $- \frac{11}{14} \cdot 4 + t$
$- 1$ $=$ $- \frac{44}{14} + t$ $+ \frac{44}{14}$
$\begin{array}{l} t = \frac{30}{14} \end{array}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = - \frac{11}{14} x + \frac{30}{14}$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen.
$- \frac{11}{14} x + \frac{30}{14}$ $=$ $0$ $- \frac{30}{14}$
$- \frac{11}{14} x$ $=$ $- \frac{30}{14}$ $: (- \frac{11}{14})$
↓
Dividiere die Brüche. Das heißt multipliziere mit dem Kehrbruch.
$x$ $=$ $- \frac{30}{14} \cdot (- \frac{14}{11})$
$x_{N}$ $=$ $\frac{30}{11}$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (\frac{30}{11} | 0)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S (0 | \frac{30}{14})$
Zeichnung
Verbinde die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 14 nach rechts und 11 nach unten und verbinde diese beiden Punkte.
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$P_{1} (- 4 | - 2) P_{2} (\frac{7}{2} | 4)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Bestimmung der Funktionsgleichung
$\begin{array}{l} y = mx + t \end{array}$
Setze $P_{1}$ und $P_{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1) - 2 = - 4 m + t \\ 2) 4 = 3,5 m + t \end{array} \end{array}$
Wende das Additionsverfahren an. Berechne $1) - 2)$ :
$- 6$ $=$ $- 7,5 m$ $: (- 7,5)$
$m$ $=$ $\frac{- 6}{- 7,5}$
$m$ $=$ $0,8$
↓
Setze $m$ in $1)$ ein.
$- 2$ $=$ $0,8 \cdot (- 4) + t$
$- 2$ $=$ $- 3,2 + t$ $+ 3,2$
$\begin{array}{l} t = 1,2 \end{array}$
Setze $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y = 0,8 x + 1,2 \Rightarrow f (x) = 0,8 x + 1,2$
Bestimmung der Achsenschnittpunkte
Setze $y = 0$ , um den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse zu bestimmen
$0,8 x + 1,2$ $=$ $0$ $- 1,2$
$0,8 x$ $=$ $- 1,2$ $: 0,8$
$x$ $=$ $\frac{- 1,2}{0,8}$
$x_{N} = - 1,5$
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_{1} (- 1,5 | 0)$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt $\Rightarrow S (0 | 1,2)$
Zeichnung
Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ ,
oder die beiden vorgegebenen Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ .
Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 0,8 nach oben und verbinde diese beiden Punkte.
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CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann → Was bedeutet das?

$1) - 2) - 5$	$=$	$- 5 m$	$: (- 5)$
$m$	$=$	$1$
	↓	Setze m in 2) ein.
$3$	$=$	$2 + t$	$- 2$
$t$	$=$	$1$
	↓	Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y$	$=$	$x + 1 \Rightarrow f (x) = x + 1$

1) - 2)
	↓
$4$	$=$	$- 6 m$	$: (- 6)$
$m$	$=$	$\frac{4}{- 6}$
	↓	Kürze mit 2.
$m$	$=$	$- \frac{2}{3}$
	↓	Setze m in 1) ein
$3$	$=$	$- 2 (- \frac{2}{3}) + t$
	↓	Multipliziere.
$3$	$=$	$\frac{4}{3} + t$	$- \frac{4}{3}$
$t$	$=$	$3 - \frac{4}{3}$
	↓	Subtrahiere.
$t$	$=$	$1 \frac{2}{3}$
	↓	Setze m und t in die allg. Geradengleichung ein.
$y$	$=$	$- \frac{2}{3} x + 1 \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} x + 1 \frac{2}{3}$	$=$	$0$	$- 1 \frac{2}{3}$
$- \frac{2}{3} x$	$=$	$- 1 \frac{2}{3} = - \frac{5}{3}$	$: (- \frac{2}{3})$
$x$	$=$	$\frac{- \frac{5}{3}}{- \frac{2}{3}}$
	↓	Brüche dividieren.
$x_{N}$	$=$	$- \frac{5}{3} \cdot (- \frac{3}{2})$
	$=$	$\frac{5}{2} = 2,5$

$- 2$	$=$	$- 7 m$	$: (- 7)$
$m$	$=$	$\frac{2}{7}$
	↓	Setze $m$ in $2)$ ein.
$1$	$=$	$\frac{2}{7} \cdot 3 + t$	$- \frac{6}{7}$
$t$	$=$	$1 - \frac{6}{7}$
$t$	$=$	$\frac{1}{7}$

$\frac{2}{7} x + \frac{1}{7}$	$=$	$0$	$- \frac{1}{7}$
$\frac{2}{7} x$	$=$	$- \frac{1}{7}$	$: \frac{2}{7}$
$x$	$=$	$\frac{- \frac{1}{7}}{\frac{2}{7}}$
	↓	Dividiere die Brüche. $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$	$=$	$- \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{2}$
$x_{N}$	$=$	$- \frac{1}{2}$

$\frac{11}{2}$	$=$	$- 7 m$	$: (- 7)$
$m$	$=$	$\frac{\frac{11}{2}}{- 7}$
$m$	$=$	$- \frac{11}{14}$

$- 1$	$=$	$- \frac{11}{14} \cdot 4 + t$
$- 1$	$=$	$- \frac{44}{14} + t$	$+ \frac{44}{14}$

$- \frac{11}{14} x + \frac{30}{14}$	$=$	$0$	$- \frac{30}{14}$
$- \frac{11}{14} x$	$=$	$- \frac{30}{14}$	$: (- \frac{11}{14})$
	↓	Dividiere die Brüche. Das heißt multipliziere mit dem Kehrbruch.
$x$	$=$	$- \frac{30}{14} \cdot (- \frac{14}{11})$
$x_{N}$	$=$	$\frac{30}{11}$

$- 6$	$=$	$- 7,5 m$	$: (- 7,5)$
$m$	$=$	$\frac{- 6}{- 7,5}$
$m$	$=$	$0,8$
	↓	Setze $m$ in $1)$ ein.
$- 2$	$=$	$0,8 \cdot (- 4) + t$
$- 2$	$=$	$- 3,2 + t$	$+ 3,2$

$0,8 x + 1,2$	$=$	$0$	$- 1,2$
$0,8 x$	$=$	$- 1,2$	$: 0,8$
$x$	$=$	$\frac{- 1,2}{0,8}$

Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Zeichnung

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