Aufgaben zur Symmetrie

1
Entscheide, ob der Graph der ganzrationalen Funktion $f$ punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs oder achsensymmetrisch bzgl. der $y$ -Achse ist oder ob keine der beiden Symmetrien vorliegt.
1. $f(x)=3$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Die Funktion ist eine Parallele zur $x$ -Achse, und somit sicher achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
  In der Funktion $f(x)=3$ ist $x$ nicht enthalten. Bekannterweise ist $x^0=1$ . Wir können die Funktion also folgendermaßen ergänzen:
  Der Exponent von $x$ ist $0$ , also gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse
  Durch Berechnung
  $f(x)=3$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=3$
  $f(-x)=f(x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
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2. $f(x)=15x$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Der Exponent von $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f(x)=15x$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=15(-x)=-15x$
  $-f(x)=-15x$
  $f(-x)=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs
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3. $f(x)=4x+1$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Bekannterweise ist $x^0=1$ . Man kann also die Funktion folgendermaßen ergänzen:
  $f(x)=4x+1\cdot x^0$
  Ein Exponent zur Basis $x$ ist ungerade, ein Exponent ist gerade.
  $\Rightarrow$ Es liegt keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
  Durch Berechnung
  $f(x)=4x+1$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=4\cdot(-x)+1=-4x+1$
  $f(-x)\neq f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zu $y$ -Achse
  $-f(x)=-(4x+1)=-4x-1$
  $f(-x)\neq-f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
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4. $f(x)=-6x^2$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Der Exponent von $x$ ist gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse.
  Durch Berechnung
  $f(x)=-6x^2$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=-6(-x)^2=-6x^2$
  $f(-x)=f(x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur y-Achse
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5. $f(x)=6x^3-3{,}5x$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten von $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f(x)=6x^3-3{,}5x$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=6\left(-x\right)^3-3{,}5\left(-x\right)$
  $\phantom{f(-x)}=-6x^3+3{,}5x=(-1)\cdot(6x^3-3{,}5x)=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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6. $f(x)=-4x^4-8$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse.
  Durch Berechnung
  $f(x)=-4x^4-8$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=-4\cdot(-x)^4-8$
  $\phantom{f(-x)}=-4x^4-8=f(x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
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7. $f(x)=6x^2+10-7x^4$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$ -Achse.
  Durch Berechnung
  $f(x)=6x^2+10-7x^4$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=6\cdot(-x)^2+10-7\cdot(-x)^4$
  $\phantom{f(-x)}=6x^2+10-7x^4=f(x)$
  $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$ -Achse
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8. $f(x)=-x^5+2x^4-3x^3+x^2$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f(x)=-x^5+2x^4-3x^3+x^2$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=-(-x)^5+2(-x)^4-3(-x)^3+(-x)^2$
  $\phantom{f(-x)}=x^5+2x^4+3x^3+x^2$
  Das ist weder $f$ , noch $-f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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9. $f(x)=(2x-3)^2$
  Achsensymmetrie zur y-Achse
  Punktsymmetrie zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  $f(x)=(2x-3)^2$
  
  Benutze die 2. binomische Formel, um die Klammer aufzulösen.
  $f(x)=4x^2-12x+9$
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Die Exponenten zur Basis $x$ sind sowohl gerade als auch ungerade.
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f(x)=4x^2-12x+9$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=4(-x)^2-12(-x)+9$
  Rechne aus
  $f(-x)=4x^2+12x+9$
  $f(-x)\neq f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur y-Achse
  $-f(x)=-(4x^2-12x+9)$
  $-f(x)=-4x^2+12x-9$
  $f(-x)\neq -f(x)$
  $\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung
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10. $f(x)=x^5(x+3)(x+2)$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  $f(x)=x^5\left(x+3\right)\left(x+2\right)$
  Multipliziere aus, um die Überprüfung einfacher zu machen.
  $f(x)=x^5\left(x+3\right)\left(x+2\right)=(x^6+3x^5)\cdot(x+2)=x^7+2x^6+3x^6+6x^5=x^7+5x^6+6x^5$
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f\left(x\right)=x^7+5x^6+6x^5$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f\left(-x\right)=\left(-x\right)^7+5\left(-x\right)^6+6\left(-x\right)^5$
  $\phantom{f(-x)}=-x^7+5x^6-6x^5$
  Das ist weder $f$ , noch $-f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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11. $f(x)=x^7-3x^5+x$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f(x)=x^7-3x^5+x$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=\left(-x\right)^7-3\left(-x\right)^5+\left(-x\right)$
  $\phantom{f(-x)}=[(-1)\cdot x]^7-3[(-1)\cdot x]^5+(-1)\cdot x$
  $\phantom{f(-x)}=(-1)^7\cdot x^7-3\cdot(-1)^5\cdot x^5+(-1)\cdot x$
  $\phantom{f(-x)}=(-1)\cdot x^7-3\cdot(-1)\cdot x^5+(-1)\cdot x$
  $\phantom{f(-x)}=(-1)\cdot(x^7-3x^5+x)=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
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12. $f(x)=-\frac23x^5+\frac34x$
  keine Symmetrie
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Alle Exponenten zur Basis $x$ sind ungerade.
  $\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.
  Durch Berechnung
  $f(x)=-\frac23x^5+\frac34x$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=-\frac23(-x)^5+\frac34(-x)$
  $\phantom{f(-x)}=\frac23x^5-\frac34x$
  $\phantom{f(-x)}=-\left(-\frac23x^5+\frac34x\right)=-f(x)$
  $\Rightarrow$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
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13. $f(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-3$
  Achsensymmetrisch zur y-Achse
  Punktsymmetrisch zum Ursprung
  keine Symmetrie
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie
  In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.
  Durch Betrachtung der Exponenten
  Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $f$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $f$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.
  Insgesamt besitzt $f$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Durch Berechnung
  $f(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-3$
  Setze $-x$ in $f(x)$ ein.
  $f(-x)=\frac12\left(-x\right)^3-\frac12(-x)^2-3$
  $\phantom{f(-x)}=-\frac12x^3-\frac12x-3$
  Das ist weder $f$ , noch $-f$ . Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
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2
Gegeben ist die Funktion $f(x) = 2x^6 - 3x^5 + x^2 - 10$ .
1. Begründe, warum die Funktion nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsensymmetrie von Graphen
  Die Funktion $f$ ist nicht achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, da ein Exponent $\left(5\right)$ ungerade ist, aber alle anderen Exponenten gerade sind.
  Überprüfung:
  Wenn $f$ achsensymmetrisch ist, muss $f(x)=f(-x)$ sein.
  $f(-x)=2(-x)^6-3(-x)^5+(-x)^2-10\\\phantom{f(-x)} =2x^6+3x^5+x^2-10\\\phantom{f(-x)}\neq f(x)$
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2. Verändere die Funktionsgleichung an möglichst wenig Stellen um eine zur y-Achse symmetrische Funktion zu bekommen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsensymmetrie von Graphen
  Man muss nur den Exponenten $5$ zu einer geraden Zahl abändern.
  Mögliche Lösung: $f(x) = 2x^6 - 3x^4 + x^2 - 10$
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Aufgaben zur Symmetrie

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