Aufgaben zur Symmetrie

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung der Exponenten

Die Funktion ist eine Parallele zur $xx$-Achse, und somit sicher achsensymmetrisch zur $yy$-Achse.

In der Funktion $f(x)=3f(x)=3$ ist $xx$ nicht enthalten. Bekannterweise ist $x^0=1x^0=1$. Wir können die Funktion also folgendermaßen ergänzen:

Der Exponent von $xx$ ist $00$, also gerade.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $yy$-Achse

Durch Berechnung

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung der Exponenten

Der Exponent von $xx$ sind ungerade.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Durch Berechnung

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung der Exponenten

Bekannterweise ist $x^0=1x^0=1$. Man kann also die Funktion folgendermaßen ergänzen:

$f(x)=4x+1\cdot x^{0}f(x)=4x+1\backslash cdot\; x^0$

Ein Exponent zur Basis $xx$ ist ungerade, ein Exponent ist gerade.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Es liegt keine Achsensymmetrie zur $yy$-Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

Durch Berechnung

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung der Exponenten

Der Exponent von $xx$ ist gerade.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse.

Durch Berechnung

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung der Exponenten

Alle Exponenten von $xx$ sind ungerade.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Durch Berechnung

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung der Exponenten

Alle Exponenten zur Basis $xx$ sind gerade.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $yy$-Achse.

Durch Berechnung

$\phantom{f(-x)}=-4x^4-8=f(x)\backslash phantom\{f(-x)\}=-4x^4-8=f(x)$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $yy$-Achse.

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung der Exponenten

Alle Exponenten zur Basis $xx$ sind gerade.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $yy$-Achse.

Durch Berechnung

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $yy$-Achse

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung der Exponenten

Da nicht alle Exponenten zur Basis $xx$ ungerade sind, ist $ff$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $xx$ gerade sind, ist $ff$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $yy$-Achse.

Insgesamt besitzt $ff$ also keine Symmetrie bezüglich der $yy$-Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Durch Berechnung

$\phantom{f(-x)}=x^5+2x^4+3x^3+x^2\backslash phantom\{f(-x)\}=x^5+2x^4+3x^3+x^2$

Das ist weder $ff$, noch $-f-f$. Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $yy$-Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung der Exponenten

Die Exponenten zur Basis $xx$ sind sowohl gerade als auch ungerade.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zur $yy$-Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.

Durch Berechnung

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.

$f(x)=x^5(x+3)(x+2)=(x^6+3x^5)\cdot (x+2)=x^7+2x^6+3x^6+6x^5=x^7+5x^6+6x^{5}f(x)=x^5\backslash left(x+3\backslash right)\backslash left(x+2\backslash right)=(x^6+3x^5)\backslash cdot(x+2)=x^7+2x^6+3x^6+6x^5=x^7+5x^6+6x^5$

Durch Betrachtung der Exponenten

Da nicht alle Exponenten zur Basis $xx$ ungerade sind, ist $ff$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $xx$ gerade sind, ist $ff$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $yy$-Achse.

Insgesamt besitzt $ff$ also keine Symmetrie bezüglich der $yy$-Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Durch Berechnung

Das ist weder $ff$, noch $-f-f$. Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $yy$-Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung der Exponenten

Alle Exponenten zur Basis $xx$ sind ungerade.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Durch Berechnung

$\phantom{f(-x)}=[(-1)\cdot x{]}^7-3[(-1)\cdot x{]}^5+(-1)\cdot x\backslash phantom\{f(-x)\}=[(-1)\backslash cdot\; x]^7-3[(-1)\backslash cdot\; x]^5+(-1)\backslash cdot\; x$

$\phantom{f(-x)}=(-1{)}^7\cdot x^7-3\cdot (-1{)}^5\cdot x^5+(-1)\cdot x\backslash phantom\{f(-x)\}=(-1)^7\backslash cdot\; x^7-3\backslash cdot(-1)^5\backslash cdot\; x^5+(-1)\backslash cdot\; x$

$\phantom{f(-x)}=(-1)\cdot x^7-3\cdot (-1)\cdot x^5+(-1)\cdot x\backslash phantom\{f(-x)\}=(-1)\backslash cdot\; x^7-3\backslash cdot(-1)\backslash cdot\; x^5+(-1)\backslash cdot\; x$

$\phantom{f(-x)}=(-1)\cdot (x^7-3x^5+x)=-f(x)\backslash phantom\{f(-x)\}=(-1)\backslash cdot(x^7-3x^5+x)=-f(x)$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung der Exponenten

Alle Exponenten zur Basis $xx$ sind ungerade.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Durch Berechnung

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch Betrachtung der Exponenten und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung der Exponenten

Da nicht alle Exponenten zur Basis $xx$ ungerade sind, ist $ff$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis $xx$ gerade sind, ist $ff$ nicht achsensymmetrisch bezüglich der $yy$-Achse.

Insgesamt besitzt $ff$ also keine Symmetrie bezüglich der $yy$-Achse und ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Durch Berechnung

$\phantom{f(-x)}=-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{1}{2}x-3\backslash phantom\{f(-x)\}=-\backslash frac12x^3-\backslash frac12x-3$

Das ist weder $ff$, noch $-f-f$. Also liegt keine Symmetrie bezüglich der $yy$-Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

Die Funktion $ff$ ist nicht achsensymmetrisch zur $yy$-Achse, da ein Exponent $\left(5\right)\backslash left(5\backslash right)$ ungerade ist, aber alle anderen Exponenten gerade sind.

Überprüfung:

Wenn $ff$ achsensymmetrisch ist, muss $f(x)=f(-x)f(x)=f(-x)$ sein.

$f(-x)=2(-x{)}^6-3(-x{)}^5+(-x{)}^2-10\phantom{f(-x)}=2x^6+3x^5+x^2-10\phantom{f(-x)}\mathrm{\ne }f(x)f(-x)=2(-x)^6-3(-x)^5+(-x)^2-10\backslash \backslash \backslash phantom\{f(-x)\}\; =2x^6+3x^5+x^2-10\backslash \backslash \backslash phantom\{f(-x)\}\backslash neq\; f(x)$

Man muss nur den Exponenten $55$ zu einer geraden Zahl abändern.

Mögliche Lösung: $f(x)=2x^6-3x^4+x^2-10f(x)\; =\; 2x^6\; -\; 3x^4\; +\; x^2\; -\; 10$