Aufgaben zum Abstand - lernen mit Serlo!

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Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene mit dem Projektionsverfahren.

$E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$ , $P\left(3\;\left|\;-1\;\left|\;2\right.\right.\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet:

\displaystyle d=\left|\frac{\overrightarrow n\circ\left[\overrightarrow p-\overrightarrow a\right]}{\left|\overrightarrow n\right|}\right|,

wobei $\overrightarrow{ n}$ der Normalenvektor der Ebene, $\overrightarrow{ a}$ der Aufpunkt der Ebene und $\overrightarrow{ p}$ der Ortsvektor des Punktes ist.

Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.

$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]}{\left\|\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\right\|}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{3-1+\left(-2\right)\cdot\left(-1-2\right)+3\cdot2}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+3^2}}\right\|$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{2+6+6}{\sqrt{1+4+9}}\right\|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{14}{\sqrt{14}}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{14}{\sqrt{14}}$
	↓	Forme 14 um.
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{14}$

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$E:\;\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$ , $P\left(1\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet: $d=\left|\frac{\overrightarrow n\circ\left[\overrightarrow p-\overrightarrow a\right]}{\left|\overrightarrow n\right|}\right|,$ wobei $\overrightarrow{ n}$ der Normalenvektor der Ebene, $\overrightarrow a$ der Aufpunkt der

Ebene und $\overrightarrow{ p}$ der Ortsvektor des Punktes ist.

Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene $E$ .

$\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}$

Setze die Werte in die Formeln ein.

$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]}{\left\|\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}\right\|}\right\|$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{\left(-5\right)\cdot\left(-3-1\right)}{\sqrt{2^2+\left(-5\right)^2+1^2}}\right\|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{20}{\sqrt{4+25+1}}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{20}{\sqrt{30}}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{20}{\sqrt{30}}$

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$E:\;\begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{ x}+27=0$ , $P\left(2\;\left|\;-4\;\left|\;1\right.\right.\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

Die Formel zur Berechnung des Abstands mit Hilfe des Projektionsverfahrens lautet: $d=\left|\frac{\overrightarrow{n}\circ\left[\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\right]}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\right|,$ wobei

$\overrightarrow{ n}$ der Normalenvektor der Ebene, $\overrightarrow{ a}$ der Aufpunkt der

Ebene und $\overrightarrow{ p}$ der Ortsvektor des Punktes ist.

Finde zunächst einen Aufpunkt $\overrightarrow{ a}$ der Ebene $\mathrm E$ , d.h. suche einen möglichst einfachen Punkt, der die Ebenengleichung erfüllt.

z. B. $\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}9\\0\\0\end{pmatrix}$

Setze die Werte in die Formel ein.

$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{\begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}9\\0\\0\end{pmatrix}\right]}{\left\|\begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}\right\|}\right\|$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und den Betrag des Vektors.
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{-3\cdot\left(2-9\right)+2\cdot\left(-4\right)+\left(-6\right)\cdot1}{\sqrt{\left(-3\right)^2+2^2+\left(-6\right)^2}}\right\|$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{21-8-6}{\sqrt{9+4+36}}\right\|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac7{\sqrt{49}}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac77$
	$=$	$\displaystyle 1$

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