Aufgaben zur Flächenberechnung

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das

durch die Punkte $\mathrm A\left(0\;\left|\;0\right.\right)$ , $\mathrm B\left(4\;\left|\;1\right.\right)$ , $\mathrm C\left(1\;\left|\;4\right.\right)$ , $\mathrm D\left(5\;\left|\;5\right.\right)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
$\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}4&1\\1&4\end{pmatrix}\right|$
Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrix}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
$=\left|16-1\right|=\left|15\right|=15$
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durch die Punkte $\mathrm A\left(-1\;\left|\;-1\right.\right)$ , $\mathrm B\left(6\;\left|\;-1\right.\right)$ , $\mathrm C\left(-1\;\left|\;6\right.\right)$ , $\mathrm D\left(6\;\left|\;6\right.\right)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\7\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
$\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}7&0\\0&7\end{pmatrix}\right|$
Benutze die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .
$=\left|7\cdot7\right|=\left|49\right|=49$
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durch die Punkte $\mathrm A\left(-7\;\left|\;-3\right.\right)$ , $\mathrm B\left(-2\;\left|\;1\right.\right)$ , $\mathrm C\left(-5\;\left|\;4\right.\right)$ , $\mathrm D\left(0\;\left|\;6\right.\right)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
$\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}5&2\\2&7\end{pmatrix}\right|$
Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrix}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
$=\left|35-4\right|=\left|31\right|=31$
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durch die Punkte $\mathrm A\left(-4\;\left|\;-1\right.\right)$ , $\mathrm B\left(2\;\left|\;-1\right.\right)$ , $\mathrm C\left(-1\;\left|\;1\right.\right)$ , $\mathrm D\left(5\;\left|\;1\right.\right)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\end{array}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
$\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}6&3\\0&2\end{pmatrix}\right|$
Benutze die Eigenschaften der Determinante einer unteren Dreiecksmatrix .
$=\left|12\right|=12$
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durch die Punkte $\mathrm A\left(0\;\left|\;-17\right.\right)$ , $\mathrm B\left(10\;\left|\;-3\right.\right)$ , $\mathrm C\left(-12\;\left|\;-5\right.\right)$ , $\mathrm D\left(-2\;\left|\;9\right.\right)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}10\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\14\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-12\\-5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12\\12\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
$\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}10&-12\\14&12\end{pmatrix}\right|$
Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrizen}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
$=\left|120+168\right|=\left|288\right|=288$
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den Punkt $\mathrm A\left(-4\;\left|\;-6\right.\right)$ und die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ aufgespannt wird.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
$\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}-3&4\\5&2\end{pmatrix}\right|$
Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrix}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
$=\left|-6-20\right|=\left|-26\right|=26$
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den Punkt $\mathrm B\left(2\;\left|\;3\right.\right)$ und die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\begin{pmatrix}-4\\1\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$ aufgespannt wird.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}},\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right)\right|$ .
$\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}-4&4\\1&1\end{pmatrix}\right|$
Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrix}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
$=\left|-4-4\right|=\left|-8\right|=8$
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