Aufgaben zur Flächenberechnung

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das durch folgende Punkte gegeben ist. Runde das Ergebnis wenn nötig bis auf zwei Nachkommastellen.

durch die Punkte $\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(0\;\left|\;6\;\left|\;2\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(0\;\left|\;2\;\left|\;6\right.\right.\right)$ , $\mathrm D\left(0\;\left|\;8\;\left|\;8\right.\right.\right)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung in der analytischen Geometrie
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\2\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\6\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$ .
$\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\2\\6\end{pmatrix}\right|$
Berechne nun das Kreuzprodukt und danach den Betrag des Vektors.
$\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\2\\6\end{pmatrix}\right|\\\phantom{A}=\left|\begin{pmatrix}32\\0\\0\end{pmatrix}\right|\\\\\phantom{A}=\sqrt{32^2+0^2+0^2}\\\phantom{A}=32$
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durch die Punkte $\mathrm A\left(4\;\left|\;-3\;\left|\;3\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(1\;\left|\;-3\;\left|\;0\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(5\;\left|\;-1\;\left|\;5\right.\right.\right)$ , $\mathrm D\left(2\;\left|\;-1\;\left|\;2\right.\right.\right)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung in der analytischen Geometrie
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\-3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\0\\-3\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\-1\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$ .
$\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}-3\\0\\-3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right|$
Berechne nun das Kreuzprodukt und danach den Betrag des Vektors.
$\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}-3\\0\\-3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right|\\\phantom{A}=\left|\begin{pmatrix}-6\\-3\\6\end{pmatrix}\right|\\\phantom{A}=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(-3\right)^2+6^2}\\\phantom{A}=\sqrt{36+9+36}\\\phantom{A}=\sqrt{81}\\\phantom{A}=9$
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durch die Punkte $\mathrm A\left(2\;\left|\;-1\;\left|\;2\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(0\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(2\;\left|\;2\;\left|\;4\right.\right.\right)$ , $\mathrm D\left(0\;\left|\;4\;\left|\;3\right.\right.\right)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung in der analytischen Geometrie
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$ .
$\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}\right|$
Berechne nun das Kreuzprodukt und danach den Betrag des Vektors.
$\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}\right|\\\phantom{A}=\left|\begin{pmatrix}7\\4\\-6\end{pmatrix}\right|\\\phantom{A}=\sqrt{7^2+4^2+\left(-6\right)^2}\\\phantom{A}=\sqrt{49+16+36}\\\phantom{A}=\sqrt{101}\\\phantom{A}\approx 10{,}05$
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durch die Punkte $\mathrm A\left(-4\;\left|\;-2\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(-1\;\left|\;2\;\left|\;6\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(-6\;\left|\;-3\;\left|\;3\right.\right.\right)$ , $\mathrm D\left(-3\;\left|\;1\;\left|\;8\right.\right.\right)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung in der analytischen Geometrie
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\2\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-6\\-3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$ .
$\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\right|$
Berechne nun das Kreuzprodukt und danach den Betrag des Vektors.
$\mathrm A=\left|\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\right|\\\phantom{A}=\left|\begin{pmatrix}13\\-16\\5\end{pmatrix}\right|\\\phantom{A}=\sqrt{13^2+\left(-16\right)^2+5^2}\\\phantom{A}=\sqrt{169+256+25}\\\phantom{A}=\sqrt{450}\\\phantom{A}=15\sqrt{2}\\\phantom{A}=21{,}21$
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