Aufgaben zur Berechnung des Scheitelpunktes

Die Firma Habmichgern soll eine Brücke planen. Die Länge soll $60\,\mathrm m$ betragen.

Der Chef der Firma bittet dich, mithilfe der folgenden Funktionsgleichung die maximale Höhe der Brücke zu berechnen.

$f(x)=-\ 0{,}02\cdot x^2+1{,}2\cdot x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertbestimmung durch quadratische Ergänzung

Die Idee hinter den Lösungsmethoden ist, dass der Scheitelpunkt $S$ der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel ist. Dass dies eine nach unten geöffnete Parabel ist, lässt sich an dem negativen Koeffizienten $(-0{,}02)$ erkennen. Du lernst hier zwei Wege, um an diesen Punkt zu kommen.

1. Lösungsmethode

Scheitelpunkt herausfinden

Der Ansatz dieses Lösungsweges ist es, die Funktion in die Scheitelpunktsform umzuformen.

Die Scheitelpunktsform lautet: $f(x)=a(x−d)^2+e$ .

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Du kannst zunächst $-0{,}02$ ausklammern. Dies ist dein $a$ .

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Du kannst nun den Wert für $d$ bestimmen, indem du die zweite binomische Formel anwendest.

Multipliziere $(x-d)^2$ in der Scheitelpunktsform aus.

Du erhältst:

Du kannst dir nun mithilfe von quadratischer Ergänzung den Term zu einer binomischen Formel konstruieren.

Quadratische Ergänzung:

$x^2 − 60x$ ist der erste Teil deiner binomischen Formel, also $x^2-2dx$ . Demnach ist $d = \frac{60}{2} = 30$ .

Jetzt kannst du deine binomische Formel vervollständigen:

Doch damit du den Wert des Funktionsterms nicht verfälschst, musst du $30^2$ auch wieder abziehen.

Der vollständige Term lautet:

Setze den Term in den Funktionsterm ein:

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Multipliziere die Klammer aus.

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Lösung

Nun hast du die Scheitelpunktform, an dieser kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

Die $y$ -Koordinate ist die Höhe des Brückenbogens, da der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel ist.

Also gilt: $h = 18\,\mathrm m$ .

2. Lösungmethode

Ausnutzen der Achsensymmetrie

Der Brückenbogen $f(x)$ ist an einer Senkrechte $t$ durch den Scheitelpunkt $S(x\mid y)$ achsensymmetrisch. Das kannst du ausnutzen.

Dafür musst du zuerst die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts herausfinden. Wenn du die hast, kannst du auch die $y$ -Koordiante ausrechnen.

Finde die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts.

Der Scheitelpunkt befindet sich in der Mitte der $60\,\mathrm m$ langen Brücke. Also rechnest du:

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

$\Rightarrow$ $S(30\mid y)$

Setze 30 für $x$ in der Funktion $f(x)$ ein.

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Löse die Funktion nach $y$ auf.

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Nun kannst du $y$ in $S$ einsetzen.

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Lösung

\displaystyle f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}2x

Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts $S$ ist die maximale Höhe des Brückenbogens.

Das heißt:

Die Brücke ist an ihrem höchsten Punkt 18 Meter hoch.

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